RÉSISTANCE DES CORDAGES A L'EXTENSION
73. D'après les expériences de M. Duhamel [2] , la force des cordages augmente dans une proportion un peu plus grande que leur poids. Elle
[1] Annales des mines, 2* série, tome III, page 513.
[»] Traité de l'art de la corderie, ou arUcle cordages du dictionnaire de marine de V Encyclopédie méthodique.
S fil! dut *J
augmente aussi dans une proportion pins grande que le nombre des fi
les cordes sont composées, ce qu'on peut attribuer à ce que dans les grosso .1 cordes les fils sont moins affaiblis par la torsion.
A poids égal les cordages neufs goudronnés sont plus faibles que les edr- j . dages blancs; en retranchant le poids du goudron ils sont à peu près de II il même force. Mais le goudron diminue avec le temps la force du charme, - ' et en général les cordages blancs durent plus longtemps que les cordages goudronnés, lors même qu'ils sont exposés à être mouillés et sécnés alternativement. En imbibant les cordages de graisse ou d'huile on diminue leur force sans leur procurer une plus longue durée.
Ou peut conclure comme résultat moyen qu'en nommant d le diamètre d'une corde blanche en centimètres, le poids capable de la rompre est exprimé par
400 d1 kilogrammes.
74. D'après Coulomb, les cordes blanches portent jusqu'à 50 ou 60" par fil de carret, mais on ne doit jamais les charger de plus de 40*.
Les cordes goudronnées ne portent que les \ ou les f des cordes blanches [fl.
75. Résultats principaux des expériences sur la force des cordages faites par M. de Hoirfontaine , C du génie la]. Ces expériences ont été faites au moyen d'un levier.
[i] Mémoires des savant» étrangers, tome X, page 3S5.
[i] Mémoire sur les ponts de cordages construits à Met* en 1837. Mémorial de l'officier du Génie, n° 10.
I INDICATION
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kilogramme!.
Grelin neuf en chanvre de
IS
rompue.
Mm, réuni par une future
ttss
rompue.
laidere neuTe en chanvre
rompue.
Grelin neuf en chanvre de
rompue.
Grelin neuf en chanvre de
rompue.
iniiitrc neuve en chanvre
sa
rompue.
Grelin neuf en chanvre de
rompue.
rompue.
Grelin neuf en chanvre de
rompue.
as
rompue.
rompue.
Mime corde fortnee en ganse
au moyen d'une épissure
triple
rompue.
Tieillecorde de chèvre. . .
rompue.
Grelin neuf en chanvre de
Même corde fonmeen ganse
au moyen d'une épissure Awiiere neuve en chanvre
rompue, rompue.
de Strasbourg ....
rompue.
rompue.
Les cordes, qui ne cédaient pas sous une certaine charge supportée pa- 1 dant quelques minutes, rompaient quand l'action de la même charge sepro- 1 longeait pendant plusieurs heures. La nature du chanvre peut changer de ] plus de i la résistance des cordes de même grosseur. La résistance' des ce doit être évaluée moyennement de 5 à 6 kil. par millimètre qnarré de la set- 1 tion : mais on ne doit pas leur faire supporter plus de la moitié de cet effort.
ARTICLE III
DE LA RÉSISTANCE d'o CORPS PRISMATIQUE A LA FLEXION PRODUITE PAR UN EFFORT DIRIGÉ PERPENDICULAIREMENT A LA LONGUEUR DE CE COUPS.
76. Quand un corps prismatique est tiré dans le sens de la longueur, tous les éléments longitudinaux, ou fibres, s'allongent. Si le même corps est comprimé, et qu'il ne puisse céder en pliant, les fibres s'accourcissent. Lorsque les allongements ou accourcissements sont très-petits , ils sont proportionnels à l'effort qui les produit. La variation de longueur d'un corps, pour on effort donné , est d'ailleurs évidemment proportionnelle à la longueur de ce corps.
77. Quand un corps prismatique est fléchi , les libres situées du côté do la face convexe sont allongées; les fibres situées du cote de la face concave
nulle; & que la somme des moments des forces verticales et horizontales dont fl s'agit, et du poids P, pris par rapport à l'axe fixe aa! , soit nulle.
On nommera
E la force nécessaire pour allonger ou pour accourcir un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle, d'une quantité égale à la longueur 'de ce prisme ;
P le rayon du cercle oscillateur de la courbe du solide, au point où est faite la section transversale mana';
u Fabscisse d'un point quelconque de la section ama'n^ comptée sur aa! ;
v l'ordonnée d'un point quelconque de cette section , prise perpendiculairement à ad;
b la plus grande valeur u;
/! u l'ordonnée pm de la courbe qui termine la partie de la section transversale où les fibres s'allongent;
ft u l'ordonnée pn de la courbe qui termine la partie où les fibres s'acconrcissent;
x la distance de la section transversale ama'n à l'extrémité encastrée ;
a la distance du point d'application du poids P à l'extrémité encastrée , qui ne diffère pas sensiblement de la longueur AB du solide.
Bans l'état naturel du corps dx est la longueur de la portion infiniment
petite de la fibre dont les coordonnées sont u> v. Après la flexion, cette tonds
gueur a augmenté de— t?, parce que l'angle de deux normales consécutives
F dx
est — -La proportion suivant laquelle cette fibre s'est allongée est donc p
dx
- — , ou -.
dx p
L'aire de la section transversale de la fibre étant dudv > la résistance qu'elle oppose à l'allongement est
r E. dudv. -;
et le moment de cette résistance, pris par rapport à l'axe aa' , est
E. dudv. -;
Far conséquent les sommes des résistances des fibres étendues et des fibres comprimées sont respectivement
-/*»/' *■•> — f du f dv.v, '
p./ ù tS O ft/ 0 »/ o
et la somme des moments de ces résistances, pris par rapport à Taxe ad, at
-j / t/i» / ' dp.p>+ / du / * do.t*\. t\<J o */ o %/ o %/ o J
78. On aura donc pour exprimer l'équilibre des forces horizontales, condition qui détermine ta situation de l'axe an-,
/ du I dv.v= I du I dc.v.
L'axe aa' passe par le centre de gravité de la section transversale matut.
79. On aura ensuite, pour exprimer l'équilibre de rotation autour de cet axe,
-( / du f dc.v*+ ! du I
dc.t?] = P(a— x).
On néglige les moments des forces verticales, ce qui est permis quand l'épaisseur du corps est petite par rapport à sa longueur. Il est nécessaire d'ailleurs que l'épaisseur du corps soit petite par rapport à sa longueur pour que les allongements et accourcissemenls des fibres, et les forces intérieures qui en résultent, soient telles qu'on le suppose ici ; et les résultats suivants ne peuvent être appliqués lorsque celte condition n'est pas satisfaite.
■ont le double est alors la valeur du moment de résistance à la flexion. Dans le cas contraire, il fout déterminer d'abord la position de l'axe d'équilibre, su moyen de la condition exprimée n° 78, et calculer ensuite séparément les «rieurs des deux intégrales qui entrent dans l'expression de ce moment.
81. Si la figure de la section est un rectangle (Fig. 2), dont b et c soient la largeur et la hauteur, la valeur du moment de résistance à la flexion est
/b /»ic te»
du I <fo.t*=E — o J o 12
Ainsi la résistance à la flexion est proportionnelle à la largeur et au cube de k hauteur du solide.
82. Si cette figure (Fig. 3) est formée de deux triangles égaux, dont les côtés soient p et q> la valeur du moment dont il s'agit est
qu
pq*
du I cto.t>*=E
83. Si la figure de la section transversale est un rectangle dont les côtés soient b, c, et si Taxe horizontal contenant les fibres invariables forme l'angle 9 avec le côté b} on aura pour le moment de la résistance à là flexion
b5 c sin. 2 9 -4- bcz cos. 2 y « = E I I<
Ainsi une pièce à base quarréc résiste également dans tous les sens à la flexion. De plus, la base étant rectangulaire, et b étant le plus grand côté, la moindre valeur du moment a lieu lorsque la pièce fléchit dans le sens du côté c.
84. Lorsque la figure de la section transversale (Fig. 4) est un cercle dont r est le rayon, l'expression générale du moment • devient
du I </r.t>*=2E / du. -(r2-!*2)'
/lie r* dx.— sin. *jc o 5 *r*
m upë =ct Lunumi
Omrmt^l*eer^m jetante. +* ia rcniifiri àblra
da cercle «■* M est wriL «at caore efcs te k rajaart de t à-
S». Le hké 4* fcrâa daa trjw «t b ifetMi des 1 ferâdeoVaxrraadrii. r^y .fiM^lpiaytakriMrs ejnrtericaa?
86. Considérons, rom d» b ■* 77. n sotie prismatique droit (Kg fcwtrt IwrtwtafalCl « aae «xtféajitc A.rtrim^àtortreexlrcBMl d'an poids.
x l'abscisse Kp d'an point m de b courbe du solide, comptée sur to
«mille AB; y l'ordonnée pm;
9 le rayon du cerde oseubteur de b courbe da solide en m ; P le poids placé à l'extrémité H dn solide ; a b distance horizontale AB des deux extrémités da solide j f l'ordonnée BM de l'extrémité de b courbe ; s b longueur Amii du solide; > l'angle formé avec l'horizon par b tangente de b courbe du soft
—, on a
dx
dx f **\
« — =P[ ax ,
dx \ 2/
fax* x*\ •r = P( ,
P ,fl5
lang. a= .
87. Quand le solide est posé horizontalement sur deux appuis (Fig. 6), les équations précédentes conviennent à la courbe formée par chacune des moitiés. Nommant
/ la ièche AG de la courbe du solide;
2 P le poids suspendu" au milieu du solide ;
Sa la distance MM' des appuis ;
2* la longueur MAM' du solide entre les appuis ;
a l'inclinaison de la courbe à l'extrémité M. On a, en supposant la courbure du solide très-petite,
p as
tang. a = — .
La flèche de la courbe est proportionnelle au poids 2 P, et au cube de la distance des appuis.
88. En considérant toujours, comme dans le n° 86, un solide prismatique droit (Fig. 7), encastré horizontalement à une extrémité, on peut le sup-
poser chargé, dans tous les points de sa longueur, de poids distribués A manière quelconque. Nommant
x, y les coordonnées horizontale et verticale d'un point quelconque * la courbe du solide ; s' l'abscisse d'un point quelconque m' situé entre m et l'extrémité H; a la distance AB;
p' la valeur du poids suspendu en m' , rapportée à l'unité de longueur i l'abscisse, en sorte que p'dx' est le poids supporté par l'élément ~ la projection est dx' ( La quantité/»' est censée donnée en fonction de jr*) f l'ordonnée BM de l'extrémité de la courbe. On aura
:Jdx'.p'(x--X), ■
-= I dx I dx'.p'ix'-x),
/x S*x /"a dx I dx I dx'.p' {x'-x).
89. Si les poids portés par chacun des éléments de la longueur du solide sont égaux, ce qui comprend le cas où ces poids seraient ceux mêmes des éléments, p' aura une valeur constante p, et l'on aura
par des poids distribués uniformément sur sa longueur, chaque moi- «fit dans le même eas que si, étant encastrée horizontalement à une exilé, elle était fléchie à la fois par des poids distribués uniformément sur longueur, et par une force égale à la somme de ces poids, et agissant en contraire à l'autre extrémité. On a donc
/or*
p ha* ~V 24 '
lang. a=r— .
Sa
D'après le n° 87, si le poids 2 pa était suspendu au milieu du solide, au
Beu d'être réparti uniformément sur toute sa longueur, la flèche serait plus
grande dans le rapport de 8 à 5. Ces résultats sont confirmés par l'expérience.
91. Pour appliquer les résultats précédents à un corps donné, il faudra
substituer à la place de * l'expression du moment de flexion qui convient à
k figure de la section transversale de ce corps, conformément aux not 80 et
■irants. On attribuera ensuite à la constante E (n° 77) la valeur qui convient
à h nature du corps, et qui doit être déterminée par l'observation.
Les expériences les plus propres à déterminer cette valeur consistent à placer horizontalement un solide prismatique sur deux appuis, à le charger la milieu d'un poids, et à observer la flèche de la courbure produite par ce poids. Si la section transversale du solide est un rectangle (Fig. 2) dont les
bc* 2P (2a)5
eûtes soient b et c, on a (n° 81 ), e=E — , et (n° 87) /*=— .
donc
SP (2a)8 (2a3)
E 4.&C5 4.bc*.f
* a étant l'intervalle des appuis , et 2 P le poids placé au milieu de la Ion gneor du solide.
Si la section transversale est un cercle, on a
'désignant le rayon du cercle.
92. On doit quelquefois tenir compte de l'action du poids du solide. On j parviendra, d'après le n" 90, enajoutanta 2P les f de ce poids. Ainsi, «te désignant par S II, on a pour le cas d'une section rectangulaire
"4.bc*
s. an ) (an)«
et pour le cas d'une section circulaire
ap+jpnxta)» E /9p+5.an\ <««■)'
E ISx.H' ^ 8 /««.H/1'
93. On remarquera enfin qu'il n'est pas nécessaire de connaître les valeun absolues du poids placé au milieu du solide et de la flèche de courbure cor- ' respondante, mais seulement l'accroissement de la flèche de courbure corrapondant à un accroissement donné de ce poids. En effet, nommant P' , P" dem valeurs successives de P, et f, f les deux valeurs correspondantes de f, l'une ou l'autre des équations précédentes donne pour une section rectangulaire.
Nous allons maintenant exposer les résultats des expériences connues,
