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DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. 91
D'après d'autres expériences sur des barreaux encastrés horizontalement à une extrémité, et chargés à 1 autre extrémité d'un poids suspendu à a pieds 8 pouces du point d'appui , la charge qui cause la rupture est pour une barre d'un pouce quarré. . . . 280 liv ** v •- du -p° ,dj une barre de 2 pouces sur ; pouce 539
Le résultat obtenu sur la barre à base quarrée posée diagonalement, est conforme au rapport indiqué n° 117. La valeur moyenne de la constante R donnée par les expériences sur des barres à base quarrée ou rectangulaire, est
R=3858oooo k .
148. Le tableau suivant contient les résultats de quelques nouvelles expériences, publiées par M. Tredgold sur des barres de fer fondu maintenues horizontalement par une extrémité, et chargées à l'autre extrémité (a). Les poids qui causaient la rupture avaient un bras de levier de 2 pieds anglais.
INDICATION DES PIECES
Largeub
des pièces.
des pièces.
Crakgc
qui rompt.
Pièce provenant de vieilles fontes. . . .
Mélange de vieux fer de Park, et de bonne
Mélange de fer avec un de cuivre. . .
pouce.
lirre*.
Les cinq premières expériences donnent moyennement pour le 1er fondu
[a) Practical essay on the slrength of casl iron> 2 e . édition, page 80 et suivantes.
t)2 LEÇONS SUR L APPLICATION
149. Expériences de M. George Buchanau sur des barreaux de fer fondu posés horizontalement et chargés au milieu (a). La distance des supports était de 3 s pouces anglais.
Charge
Flèche I
Largeur.
Hauteur.
au milieu.
de
courbure.
pouce»
anglais.
anglais.
Ii»r«* av.du-poi.l».
anglais.
déchargée , revint à la ligue
droite , à ^ po. près, rompue.
déchargée , revint a la ligne
droite, à -p> po. près, rompue.
On peut juger, d après ces résultats, que la résistance du fer fondu à la rupture est environ cinq fois plus grande que celle du bois de chêne.
On n a pas d'expériences concluantes sur la résistance du fer forgé à la rupture produite par un effort exercé perpendiculairement à la longueur des pièces.
Notions sur les théories de la résistance à la rupture proposées par Galilée , et par Mariotte et Léibnitz.
i5o. La première consistait à placer Taxe horizontal d'équilibre au point inférieur de la section de rupture , ( Fig. n), et à considérer la force intérieure développée en chaque point de cette section comme constante pour tous les points. Nommant
(a) The Editiburg philosophical journal, tome 12, 1825.
DE LA MÉCANIQUE, I re . PARTIE. C)3
R la résistance pour l'unité de surface; b la largeur de la section;
f t u^f^u, les valeurs pm, pn de l'ordonnée du contour de la section qui répondent à une même abscisse u;
c la hauteur de la section;
on avait ainsi
pour l'expression du moment de la résistance à la rupture. Cette expression, dans le cas où la section est un rectangle dont les côtés sont b f c, devient
La théorie attribuée communément à Mariotte et à Léibnitz consistait à placer également Taxe horizontal d'équilibre au point inférieur de la section, et à supposer la force intérieure développée en chaque point proportionnelle à la distance de ce point a l'axe d'équilibre. Le moment de la résistance à la rupture était alors
— I du I dv. v l .
c Jo Jf.u
Il devenait, dans le cas du rectangle,
Remarque sur la théorie de la résistance à la rupture.
i5 1. La théorie présentée dans les n°* 1 13 et suivans est fondée sur l'hypothèse que les fibres longitudinales, à l'instant de la rupture, offrent des résistances proportionnelles aux extensions et contractions de ces fibres, et
qui sont égales pour des extensions et contractions égales. La situation de Taxe d'équilibre contenant les fibres invariables est déterminée par la condition énoncée n°* 77 et 78, en sorte que cet axe est au milieu de la hauteur delà section, quand la section peut être partagée dans sa hauteur en deux parties symétriques, connue cela a lieu pour le rectangle et le cercle.
Si cette hypothèse était exactement conforme aux effets naturels , les valeurs de la constante R déduites , au moyen des formules précédentes, des expériences sur la rupture rapportées dans les n°* 94 et suivans , ne différeraient point des résultats obtenus par les expériences directes sur la rupture des corps produite par extension ou par écrasement. Lorsque cet accord n'a pas lieu , on doit l'attribuer à ce que les fibres des corps n'opposant pas, quand la rupture vient à s'opérer, des résistances égales à l'extension et à la compression , l'axe d'équilibre change de situation, en sorte que les expressions du moment de rupture ne s'accordent pas avec l'état du solide.
On doit remarquer toutefois, i° que les principaux résultats obtenus précédemment n'en sont pas moins vrais; en sorte que les résistances des bases rectangulaires sont toujours proportionnelles à la largeur et au quarré de l'épaisseur, et que les résistances des bases de figures semblables le sont toujours au cube des dimensions homologues. Les rapports seuls des résistances pour les bases de diverses figures sont changés. 2 0 Dans les applications, on n'est point dans le cas de calculer les résistances respectives des corps en les considérant dans l'état qui précède la rupture : on les considère au contraire, comme on le verra dans la suite, lorsqu'ils n'ont pu prendre encore qu'une légère flexion, qui nen
DE LA MÉCAWIQUïf, 1 99 . P-AHTIE. g5
a point altéré l'élasticité; et les résultats précédens conviennent alors sensiblement à la manière dont la résistance s'exerce.
De la nipture diïn solide prismatique dune petite
longueur,
i5a. Les notions précédentes, comme on l'a remarqué n° 79, ne peuvent êlre appliquées avec exactitude qu'autant que la longueur du solide prismatique est beaucoup plus grande que les dimensions de sa section transversale. C'est effectivement ce qui a lieu dans les cas qui se présentent le pïus fréquemment dans les constructions et dont la considération est le plus importante. A l'égard des cas* où la longueur du solide surpasse peu les dimensions de la section transversale, ou même est plus petite que ces dimensions, comme ils n'ont pas été suffisamment étudiés par l'expérience, on se bornera à présenter à ce sujet quelques aperçus.
Considérons le solide AM ( Fig. 9 ) encastré horizontalement à une extrémité , et supposons d'abord que le fil auquel est suspendu le poids P soit placé dans le plan de la section A, c'est-à-dire contre la face verticale du corps dans lequel l'extrémité du solide AM est encastrée. L'action du poids P ne tendra pas alors à faire fléchir la portion AM du solide; mais elle tendra à séparer cette portion de celle qui est encastrée, et avant que cette séparation ne s'opère les fibres qui unissent les parties prêtes à se disjoindre se seront alongées d'une certaine quantité. Il est naturel d'admettre que l'effort nécessaire'pour produire cet alongement est proportionnel i° à l'aire *<Te la section transversale du solide , 2 0 à la grandeur de l'alongement donf il s'agit. Par conséquent, si la section tranversale est un rectangle dont 6 représente le côCé
t)6 leçons sun l'application
horizontal et c le côté vertical ; et si nous désignons par 3 l'aîongement dans le seus vertical (supposé très-petit) des parties du solide placées dans la section transversale A;
D un coefficient constant spécifique représentant la résistance du corps à un glissement d'une partie sur Vautre dans le plan de la section transversale; l'effort dont il s'agit sera représenté par Dà.bc. Nous écrirons donc ici pour équation d'équilibre
V=Vlbc;
et nous concevrons que la rupture aura lieu lorsque l'alongcment w aura pris une valeur telle qu'il entraine la disjonction des doux parties du corps. Le poids qui causerait la rupture serait donc proportionnel à Taire de la section transversale.
i53. Revenons maintenant à la .considération du solide dont la partie à gauche du point A est encastrée fixement, mais dont la partie à droite de ce point est libre, et sollicitée à son extrémité M par le poids P. D'après les remarques faites dans le n° 77, l'équilibre de la partie A M exige que les forces intérieures développées dans la section transversale A par l'action du poids P aient des composantes verticales dont la somme soit égale à ce poids; et il faut de plus que les composantes horizontales de ces mêmes forces fassent équilibre au poids P autour de Taxe horizontal correspondant aux fibres dont la longueur ne varie pas. Nous avons considéré jusqu'ici ce dernier équilibre seul : mais dans le cas dont il s'agit il devient nécessaire de considérer également l'équilibre des forces verticales. Supposant donc ces forces verticales développées dans la section d'une manière conforme à ce qui a été expliqué ci-dessus (ce
DE LA MÉCANIQUE, l'\ PARTIE. 97
qui ne peut être bien éloigné de la vérité, surtout lorsque la longueur du solide est fort petite), nous écrirons d'abord 1 équation
Et quant à l'équilibre de rotation , si nous représentons par p le rayon du cercle oscillateur de la courbe affectée par Taxe longitudinal du solide au point A, nous aurons, conformément à ce qu'on a vu dans l'article précédent, pour exprimer cet équilibre, l'équation
a désignant toujours la longueur A M, et £ ayant la signification indiquée n° 77.
Lorsque le solide supportera sans rompre Faction du poids P, nous regarderons l'équilibre qui s'établit dans la section transversale A comme étant exprimé par ces deux équations. Si la longueur du solide était presque nulle, on considérerait seulement la première. Si cette longueur était fort grande, on considérerait seulement la seconde. Dans les cas intermédiaires on les considérera toutes deux , et elles donneront respectivement les valeurs des quantités 3 et p exprimant respectivement le degré d'alongement des parties dans le sens vertical, et le degré de flexion qui ont lieu au point d'encastrement A.
i54. A l'égard de la rupture on remarquera que, conformément aux notions présentées dans le n° 112, nous la regardons comme étant déterminée par un certain degré d'extension acquis par les parties du corps qui se trouvent le plus fortement tendues. Or il est visible qu'en supposant ici l'état d'équilibre de la section A conforme aux notions précédentes, les parties placées à la face supérieure du solide dans cette section se seront allongées par
g8 LEÇONS SUR INAPPLICATION
l'effet de rabaissement vertical de la partie A M et de la flexion de cette partie, d une fraction de leur longueur x primée par
ou en mettant pour d et ^ leurs valeurs tirées des équations précédentes,
bc V^D'
Or la grandeur de cet allongement étant le terme qui détermine la rupture, il s'en suit que le poids qui peut rompre le solide est proportionnel à l'expression
bc
Cette formule satisfait aux cas extrêmes : si la longueur du solide est fort petite, on négligera le terme affecté du
rapport —5 , et la résistance à la rupture sera proportion-
nelle à bc; si cette longueur est fort grande par rapport à la hauteur c, on négligera au contraire le terme
j^, et la résistance sera proportionnelle à , comme
l'indique dans ce cas l'expérience. 11 est vraisemblable
que, dans les cas intermédiaires, la formule dont il s'agit
s'éloignera peu des effets naturels, lorsqu'on déterminera
les coefficiens constaus — et ^ de manière à satisfaire
à des résultats obtenus directement par l'expérience.
i55. Lorsqu'au lieu d'une pièce encastrée par une extrémité on considérera une pièce posée horizontalement sur deux appuis et chargée au milieu (Fig. 10), les mêmes considérations pourront être appliquées, en
DE ÊK MÉCANIQUE , I re . PARTIE. 99
concevant que a désigne la moitié de la distance des appuis, et P la moitié du poids placé au milieu de . la pièce.
ARTICLE V
De LA RÉSISTANCE DUR CORPS PRISMATIQUE A LA TORSIOR.
1 56. On peut essayer de former la théorie de ce genre de résistance au moyen de considérations analogues à celles qui ont été employées pour la résistance à la flexion.
Soit (Fig. 12) un solide prismatique encastré horizontalement à lune des extrémités. Supposons qu'une force P agisse à l'autre extrémité avec le bras de levier Bc pour tordre le solide autour de l'axe Ce; imaginons que par l'effet de la torsion , un diamètre b b de la section extrême , sur laquelle agit la force P, se soit transporté en b' b'. Le diamètre correspondant A A de l'extrémité encastrée n'aura subi aucun déplacement; et on doit concevoir que tous les diamètres des sections intermédiaires, tels que dd, se sont déplacés proportionnellement à leur distauce Ce de l'extrémité encastrée. Par l'effet de ces déplacemens , les molécules qui , dans deux sections transversales consécutives, étaient avant la torsion vis-àvis les unes des autres, ont été éloignées l'une de l'autre d'une quantité proportionnelle, i° à la distance de ces molécules à l'axe Ce; 2° à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives, différence proportionnelle à l'angle bcb\ et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer, la torsion étant censée très-petite, que les résistances naissant des déplacemens relatifs sont proportionnelles a ces déplacemens. Le moment de la résistance qui a lieu dans une section quelconque du solide, doit
d'ailleurs être égal au moment du poids P. Considérons une section transversale quelconque, et nommons a la longueur du solide, depuis la section fixe À A
jusqu'à la section bb où agit la force P; 9 l'angle bcb' décrit par les diamètres de cette section
extrême, angle qui est supposé fort petit; r la distance d'un point quelconque d'une section
transversale au centre e de cette section; <y l'angle de la ligne r avec un diamètre de la même
section ;
/' =f (^) ^équation de la courbe qui forme le contour de la section;
R le bras de levier Bc avec lequel la force P agit pour produire la torsion ;
G un poids constant pour chaque espèce de corps, représentant la résistance spécifique à la torsion.
L'élément de l'aire de la section transversale placé à l'extrémité du rayon r étant dydr. r, on aura
G-df dr.r*
pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet élément; et pour exprimer l'équilibre entre le moment de la force P, et la somme des momens des résistances semblables,
ou
157. La section transversale étant un cercle dont r est le rayon, on a/(<p) = r, et la formule précédente donne
rn = — • a ir — = G d ou 0 = — . .
a 4 ia 9 G «rr*
DE LA MÉCANIQUE, l r# . PARTIE. 101
i58. La section transversale étant un quarré dont le côté est b (Fig. i3), on doit chercher à part l'expression de la résistance à la torsion de l'un des huit triangles
égaux à ABC. L'équation de A B est r= — - — . On a
a cos. 7
d'ailleurs
i i sin. f , a sin. ?
cos. 4 ?"~3*cos. 3 ? 3'cos^
et par conséquent
0 COS.* y 3
le moment de la résistance du triangle ABC est
G 0 fr* 4
et par conséquent Ton a pour le moment de la résistance du quarré
d'où
Le moment de la résistance du quarré est à celui du cerçle inscrit dans le rapport de i à ^.
i5g. Quant au cas d'une section rectangulaire, des recherches fondées sur des notious que nous ne pouvons exposer ont montré que l'hypothèse précédente, qui consiste à supposer les résistances qui ont lieu dans chaque élément de la section transversale proportionnelles aux distances de ces élémens au centre de cette section , n'était pas ici exactement conforme aux effets naturels. On doit employer dans ce cas une méthode plus exacte, d'a-
près laquelle on trouve pour l'expression du moment de résistance à la torsion d'une pièce rectangulaire homogène dont b,c représentent la largeur et 1 épaisseur (a),
d'où
P 3(6' + c' )aft G 0 3 c*
(a) Cette expression a été donnée par M. Cauchy, Exercices de mathématiques, 4' année, page 5g.
Les équations différentielles qui expriment les conditions de l'équilibre et du mouvement des corps solides, et qui sont la base des recherches dont il s'agit , ont été données en premier lieu par l'auteur , pour le cas d'un corps homogène, dans un mémoire présenté en 1821 à l'Académie des sciences , et imprimé dans le tome 7* de ses Mémoires. Cette matière a été depuis le sujet de recherches très-étendues, qui sont contenues principalement dans un mémoire de MM. Lamé et Clapeyron , présenté à l'Académie des sciences en 1828, et imprimé dans le journal de mathématiques de M. Crelle, dans un mémoire de M. Poisson imprimé dans le tome 8 e des Mémoires de l'Académie, et dans les Exercices de mathématiques de M. Cauchy.
Nous remarquerons que toutes les formules présentées dans les articles précédons sont conformes aux résultats qui ont été obtenus au moyen de ces recherches nouvelles. Les corps étant homogènes, et l'effort dû à la pression atmosphérique pouvant être négligé par rapport aux efforts auxquels ces corps sont exposés, on trouvera pour la constante désignée dans le n° 77 par E la même valeur numérique, soit que l'on cherche à la déterminer par des expériences directes faites en tirant une pièce prismatique dans le sens de
sa longueur (auquel cas on a E= — , P désignant le poids qui tend
la pièce, q l'aire de la section transversale, S l'allongement divisé par la longueur primitive) } soit qu'oo détermine cette constante E en faisant fléchir t mus versai ement une pièce rectangulaire ou
DE LA MÉCANIQUE, l". PARTIE. Iû3
160. Les résultats des n 0 ' précédens serviront à calculer l'angle de torsion affecté par un corps prismatique sous un effort donné, lorsque la valeur de la constante G aura été déterminée par des expériences préliminaires. Ces expériences consistée t à observer simultanément l'angle de torsion d un corps, le poids qui produit la torsion, et le bras de levier au bout duquel agit ce poids. La valeur de G se calcule par les formules des n°* i56 et suivans (a), qui donnent, si le corps est rond ,
G = P — p i si le corps est quarré,
et s'il est rectangulaire,
circulaire, conformément à ce qui a été dit dans les n" 91 et suivans.
Quant à la constante G qui entre dans les formules relatives à la torsion, elle est (en supposant toujours les corps homogènes et négligeant l'eflet de la pression atmosphérique qui s'exerce à leur
surface) liée à la constante E par la relation G =~ -g-
[a) Il est sana doute superflu de remarquer que, dans toutes ces formules , on doit mettre pour 0 le nombre exprimant la longueur de l'arc correspondant à l'angle de torsion dans le cercle dont le rayon est l'unité. Par conséquent si l'angle dont il s'agit est expri-
mé en degrés, il faut multiplier le nombre de degrés par — lorsque ce sont des degrés sexagésimaux ; et par lorsque ce sont des degrés centésimaux.
LEÇONS SLR L APPLICATION
Résistance du fer forgé à la torsion .
161. Le tableau suivant contient les résultats des expériences faites par M. Duleau , sur la résistance du fer forgé à la torsion (a). Le poids qui produit la torsion est 10 kilogrammes, et le bras de levier de ce poids est o w ,32.
DESIGNATION DES FLRS.
Loroueor.
Fer rond du Périgord.. .
Idem
Fer rond anglais, marqué
Dow lais
For rond de l'Ariègc. . .
Idem
Fer rond du Périgord. . .
Idem
Fer rond anglais
Fer rond du Périgord. . .
Idem
Idem
Fer rond de l'Ariège. . .
Fer quarré anglais , marqué C a . .
Idem
Fer quarré du Périgord.
Idem
Fer plat anglais
Idem
Fer plat du Périgord. . .
Fer plat anglais, marqué B.
melre.
Grosseur.
diamètre.
0,0198 n.oai5 o,oai5 o.oaai o,oa3o o,o235 0,0266
o,o35t o,oaG8
côtés.
O.OJOf
o,o3a6 o,o34o 0,0086 o,o34o o,oo8G o,o34o 0,0 io5 o,oG-8 0,0147
Angle de torsion.
Nombres proportionnel»
à la résistance.
•gresseiag
ia,57
Les nombres de la dernière colonne, déduits des expériences sur les fers ronds, étant multipliés par
{a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé , page 49.
DE LA MÉCANIQUE , 1 r \ PABTIE. Io5
583 600000, donneront les valeurs de la constante G fournies par chaque expérience, le mètre et le kilogramme étant les unités de longueur et de poids. La valeur moyenne de ces nombres est 1 1 ,33 : et la valeur correspondante de G est
G = 6 6 1 2 3qo ooo k .
Les nombres de Ja dernière colonne , déduits des expériences sur les fers quarrés, doivent être multipliés par 343 770 000 pour donner les valeurs de G. La valeur moyenne de ces nombres est i6,o3, et la valeur correspondante de G est
G = 5 5 1 o 600 oook.
La différence des deux résultats tient sans doute en grande partie à la diversité des qualités des fers (a).
Résistance de diverses substances à la torsion.
162. Expériences sur la résistance que diverses substances opposent à la torsion, faites par M. Savart (6). Les efforts qui opéraient la torsion , dont les valeurs sont données ci-dessous, étaient toujours exercés à une distance de Taxe de la pièce égale à o m , n . L'arc de cercle sur lequel les angles de torsion étaient mesurés était di-
te) D'après ce qui a été dit à la fin de la note [à] , page 102 , en adoptant pour la constante £ la valeur 20 000 000 ooo^ (conformément au n° 102), la valeur de la constante G devrait être les \ de ce nombre, ou 8000000000k. Ce résultat est d'ailleurs fondé sur la supposition de l'homogénéité du fer, c'est-à-dire d'une résistance égale dans tous les sens. Les expériences de M. Duleau sur la torsion conduisent à attribuer à la constante G une moindre valeur : nous ne déciderons point si cette discordance doit être atribuée aux différences de qualité des fers, au défaut d'homogénéité, ou à la manière dont les observations ont été faites.
[b) Annales de chimie et de physique, août 1829.
visé en degrés décimaux, en sorte que la torsion de i*
répond à un arc égal à
Les expériences ayant montré i* que les arcs de torsion étaient exactement proportionnels aux efforts exercés (dans des limites telles que la pièce revint à sa figure primitive quand Faction avait cessé); 2 0 que les arcs de torsion étaient, à effort égal , exactement proportionnels aux longueurs des pièces, on n'a rapporté ici que les résultats moyens des observations destinées à vérifier ces deux propositions.
