L* AVENIR DES MATHÉMATIQUES

dent promptement familière à tous les esprits, le passage est immédiat et peut se faire en économisant tout effort de pensée. L'idée de groupe se rattache d'ailleurs à celle de transformation; pourquoi attache-t-on tant de prix à l'invention d'une transformation nouvelle? parce que d'un seul théorème elle nous permet d'en tirer dix ou vingt ; elle a la même valeur qu'un zéro ajouté à la droite d'un nombre entier.

Voilà ce qui a déterminé jusqu'ici le sens du mouvement de la science mathématique, et c'est aussi bien certainement ce qui le déterminera dans l'avenir. Mais la nature des problèmes qui se posent y contribue également. Nous ne pouvons oubher quel doit être notre but; selon moi ce but est double; notre science confine à la fois à la philosophie et à la physique, et c'est pour nos deux voisines que nous travaillons; aussi nous avons toujours vu et nous verrons encore les mathématiciens marcher dans deux directions opposées.

D'une part, la science mathématique doit réfléchir sur elle-même et cela est utile, parce que réfléchir sur elle-même,» c'est réfléchir sur l'esprit humain qui l'a créée, d'autant plus que c'est celle de ses créations pour laquelle il a fait le moins d'emprunts au dehors. C'est pourquoi certaines spéculations mathématiques sont utiles, commes celles qui visent l'étude des postulats, des géométries inaccoutumées, des fonctions à allures étranges. Plus ces spéculations s'écarteront des conceptions les plus communes, et par conséquent de la nature

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et des applications, mieux elles nous montreront ce que Tesprit humain peut faire, quand il se soustrait de plus en plus à la tyrannie du monde extérieur, mieux par conséquent elles nous le feront connaître en lui-même.

Mais c'est du côté opposd, du côté de la nature, qu'il faut diriger le gros de notre armée.

Là nous rencontrons le physicien ou Tingénieur qui nous disent : « Pourriez-vous m'intégrer <cette équation différentielle, j'en aurais besoin d'ici à huit jours en yue de telle construction qui doit être terminée pour telle date. » « Cette équation, répondons-nous, ne rentre pas dans Tun des types intégrables, vous savez qu'il n'y en a pas beaucoup. • « Oui, je le sais, mais alors à quoi servez-vous? » Le plus souvent, il suffirait de s'entendre ; l'ingénieur, en réalité, n'a pas besoin ^de l'intégrale en termes finis ; il a besoin de connaître l'allure générale de la fonction intégrale, ou simplement il voudrait un certain chiffre qui se déduirait facilement de cette intégrale si on la connaissait. Ordinairement on ne la connaît pas, mais on pourrait calculer ce chiffre sans elle, si on savait au juste de quel chiffre ringénieur a besoin et avec quelle approximation.

Autrefois, on ne considérait une équation comme résolue que quand on en avait exprimé la solution i l'aide d'un nombre fini de fonctions connues; mais cela n'est possible qu'une fois sur cent à peine. Ce que nous pouvons toujours faire, ou plutôt ce que nous devons toujours chercher à faire, c'est de

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résoudre le problème qualitativement pour ainsi dire, c'est-à-dire de chercher à connaître la forme générale de la courbe qui représente la fonction inconnue.

Il reste ensuite à trouver la solution quantitative du problème; mais si Tinconnue ne peut être déterminée par un calcul fini, on peut la représenter toujours par une série infinie convergente qui permet de la calculer. Gela peut-il être regardé comme une vraie solution ? On raconte que Newton communiqua à Leibnitz un anagramme à peu près comme ceci : aaaaabbbeeeeii^ etc. Leibnitz, naturellement, n'y comprit rien du tout ; mais nous qui avons la clef, nous savons que cet anagramme veut dire, en le traduisant dans le langage moderne: « Je sais intégrer toutes les équations différentielles, » et nous sommes amenés à nous dire que Newton avait bien de la chance ou qu'il se faisait de singulières illusions. Il voulait dire tout simplement qu'il pouvait former (par la méthode des coefficients indéterminés) une série de puissances satisfaisant formellement à Téquation proposée.

Une semblable solution aujourd'hui ne nous satisferait plus, et cela pour deux raisons; parce que la convergence est trop lente et parce que les termes se succèdent sans obéir à aucune loi. Au contraire, la série 0 nous paraît ne rien laisser à désirer, d'abord parce qu'elle converge très vite (cela, c'est pour le praticien qui désire avoir son nombre le plus promptement possible) et ensuite parce que nous aperce- Tons d'un coup d'œil la loi des termes (cela, c'est

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pour satisfaire aux besoins esthétiques du théoricien).

Mais alors il n'y a plus des problèmes résolus el d'autres qui ne le sont pas ; il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus, selon qu'ils le sont par une série de convergence plus ou moins rapide, ou régie par une loi plus ou moins harmonieuse. Il arrive toutefois qu'une solution imparfaite nous achemine vers une solution meilleure. Quelquefois la série est de convergence si lente que le calcul est impraticable et qu'on n'a réussi qu'à démontrer la possibilité du problème.

Et alors l'ingénieur trouve cela dérisoire, et il a raison, puisque cela ne l'aidera pas à terminer sa construction pour la date fixée. Il se préoccupe peu de savoir si cela sera utile aux ingénieurs du xxn* siècle ; nous, nous pensons autrement et nous sommes quelquefois plus heureux d'avoir économisé un jour de travail à nos petits-fils qu'une heure à nos contemporains.

Quelquefois en tâtonnant, empiriquement pour ainsi dire, nous arrivons à une formule suffisamment convergente. Que voulez-vous de plus, nous dit l'ingénieur ; et nous, malgré tout, nous ne sommes pas satisfaits, nous aurions voulu prévoir cette convergence. Pourquoi? parce que si nous avions su la prévoir une fois, nous saurions la prévoir une autre fois. Nous avons réussi, c'est peu de chose à nos yeux si nous n'avons sérieusement l'espoir de recommencer.

A mesure que la science se développe, il devient

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plus difficile de l'embrasser tout entière ; alors on cherche à la couper en morceaux, à se contenter de Tun de ces morceaux : en un mot, à se spécialiser. Si Ton continuait dans ce sens, ce serait un obstacle fâcheux aux progrès de la Science. Nous Tavons dit, c'est par des rapprochements inattendus entre ses diverses parties que ses progrès peuvent se faire. Trop se spécialiser, ce serait s'interdire ces rapprochements. Espérons que des Congrès comme ceux de Heidelberg et de Rome, en nous mettant en rapport les uns avec les autres, nous ouvriront des vues sur le champ du voisin, nous obligeront à le comparer au nôtre, à sortir un peu de notre petit village; ils seront ainsi le meilleur remède au danger que je viens d^ signaler.

Mais je me suis trop attardé à des généralités, il est temps d'entrer dans le détail.

Passons en revue les diverses sciences particulières dont Tensemble forme les mathématiques ; voyons ce que chacune d'elles a fait, où elle tend et ce qu'on peut en espérer. Si les vues qui précèdent sont justes, nous devons voir que les grands progrès du passé se sont produits lorsque deux de ces sciences se sont rapprochées, lorsqu'on a pris conscience de la similitude de leur forme, malgré la dissemblance de leur matière, lorsqu'elles se sont modelées Tune sur l'autre, de telle façon que chacune d'elles pût profiter des conquêtes de l'autre. Nous devons en même temps entrevoir, dans àes rapprochements du même genre, les progrès ad l'avenir*

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