DÉFINITION
Si un point change de position suivant une loi déterminée , la ligne qu’il décrit est dite le lieu de ce point.
PROPOSITION PREMIÈRE
THEOREME.
Si d’un point donné on mène à une droite donnée des lignes, qui soient divisées dans un rapport connu, le lieu des points de division est une autre droite déterminée de position. ( Fig. i , pi. 3 ).
Une droite AB menée d’un point fixe A à un point variable B d’une droite donnée BD, est partagé au point C dans un rapport donné; quelle que soit l'inclinaison de AB, le point C se trouvera toujours sur une droite déterminée de position.
> ANALYSE
Par A abaissez la perpendiculaire AD sur BD, et par C menez CE parallèle à BD. Il est évident que AC:AB:;AE:AD, et conséquemment le rapport de AE à AD est connu; mais AD est donnée tant de position que de grandeur, ainsi A E et le point E sont donnés, et par conséquent CE qui est perpendiculaire à AD, est déterminée de position.
SYNTHÈSE
Abaissez la perpendiculaire AD, qui est partagée au point E dans lï Suppl. i5
le rapport donné, et élevez la perpendiculaire CE; cette droite sera le lieu demandé; car, CE étant parallèle à BD, AC: A B ; ; AE: AD.
PROPOSITION IL
THÉORÈME
Si d'un point donné , on mène à la circonférence d'un cercle aussi donné, des lignes droites, et qu'on les divise dans un rapport connu, le lieu des points de division est une circonférence de cercle déterminé.
Supposez que AB {Jig. 2 ), terminée au point A et à une circonférence donnée soit partagée au point C dans un rapport donné; ce point C se trouvera toujours sur une circonférence de cercle déterminé.
ANALYSE
Joignez le point A avec le centre D du cercle donné, et menez CE parallèle à BD. Il est évident que AÇ: AB; : AE:AD; ainsi le rapport de AE à AD est donné, et par conséquent AE et le point E sont déterminés. Déplus, puisque AC:AB:;CE:BD,le rapport de CE à BD est connu, et pour chaque position de AB, CE est déterminé de grandeur; et comme BD est une constante, on voit que CE en est une aussi , et par conséquent le point C est toujours situé sur la circonférence d'un cercle décrit de E comme centre avec le rayon connu C E.
SYNTHÈSE
Menez AD, et après avoir divisé cette droite au point E dans le rapport donné, cherchez une ligne EC qui soit avec BD dans le même rapport; ensuite, du point E pris pour centre et avec CE pour rayon , décrivez un cercle qui sera le lieu demandé.
En effet menez AB qui coupe l une et l’autre circonférences, et tirez CE, BD. Puisque CE:BD;;AE:AD,il s’ensuit que CE:AE . :BD:AD; par conséquent les triangles CAEctBAD, qui ont en
ANAI.YSE GEOMETRIQUE. II.»
outre un angle commun, sont semblables, et AC: AB: ;AE: AD, c’està-dire dans le rapport donné.
PROPOSITION III
THÉORÈME
Sur chacun des côtés d’un angle donné, on place un point, et sans changer le rapport des distances des deux points ainsi déterminés au sommet de l'angle, ni la position de ce sommet, ni la grandeur de l’angle, on suppose que l'un des points parcourt une ligne droite donnée; il est question de démontrer que l'autre point aura aussi pour lieu une droite déterminée.
Le rapport de BA à AC 3), l’angle BAC et son sommet A, sont donnés; si l'extrémité B décrit la droite CD, l'extrémité C décrira aussi une droite CE déterminée de position.
ANALYSE
Abaissez la perpendiculaire AD sur BD, menez AE formant avec AD un angle DAE égal à BAC, et portez sur la droite ainsi placée une distance AE quatrième proportionnelle à AB, AC et AD; la droite CE est le lieu demandé d’après l’hypothèse.
Puisque l’angle DAE est, par construction, égal h BAC, il est connu; et la perpendiculaire AD étant donnée, la droite A E est par conséquent déterminée de position; elle l’est aussi de grandeur, car AB, AC, A D sont données. De plus, l’angle B A C étant égal à DA E, il en résulte que l’angle BAD est égal à CAE; et si l’on considère d’ailleurs que AB:AD;;AC:AE, on en conclura que des triangles A B D et A C E sont semblables comme ayant un angle égal chacun à chacun, compris entre des côtés proportionnels. Donc l’angle CEA est égal à BD A, c’est-à-dire à un angle droit; par conséquent la droite CE est déterminée de position.
I lG
S Y N THÈSE
Après avoir abaissé la perpendiculaire AD, et fait l’angle DAE égal à BAC, portez de A eu E comme ci-dessus une quatrième proportionnelle aux lignes AB, AC, AD, et, par le point E ainsi placé, menez sur AE la perpendiculaire CE; ce sera le lieu cherché. Car les triangles rectangles B AD et CAE ayant de plus un angle aigu égal, sont semblables, et par conséquent AB: AC : : AD: AE ou: ;M:N, ^ étant le rapport constant de AB à AC.
PROPOSITION IV
THÉORÈME
Si par un point fixe on mène deux droites dont les longueurs sont dans un rapport constant, et dont l'inclinaison est invariable; si l’extrémité de l’une parcourt une circonférence de cercle déterminée , l’extrémité de l’autre aura pour lieu une circonférence également déterminée.
Supposez que l’angle BAC {fig. 4) , son sommet A, et le rapport de ses côtés, soient constants; si B parcourt un cercle donné, le lieu de C sera aussi un cercle déterminé.
Joignez le point A avec le centre D du cercle donné; menez une droite AE qui soit inclinée sur AD d'une quantité égale à l’angle donné, et dont la longueur ait avec AD un rapport égal au rapport donné; enfin tirez les droites DB et E C.
Le point A et le centre D étant donnés et fixes, la droite AD est déterminée ;• il en est donc de même de la droite A E qui est aussi constante et connue de grandeur; ainsi le point E est déterminé et invariable.
De plus, l’angle total BAC étant égal à DAE, la partie BAI) est égale à CA E, et puisque d'ailleurs AB: AD: : A C: AE, il s’ensuit que
ANALYSE GÉOMÉTRIQUE. Il 7
les triangles ADB et AEC sont semblables, et que AB:BI);;AC:CE 1 AC CA
OU bien CE = ~ x B D ; or le rapport ~ est constant et connu, BD l’est aussi d’après l'hypothèse; donc la distance C E est constante et de'terminèe. Donc le point C parcourt une circonférence de cercle dont le centre E et le rayon C E sont connus.
s y nth fesE.
Après avoir mené la droite AE inclinée sur AD d’une quantité égale à l’angle donné, et l’avoir prise d’une longueur telle que soit égal au rapport donné, du point E comme centre avec le rayon CE, décrivez un cercle, ce sera le lieu cherché.
Car AD:BD; ; AE:EC ; mais l’angle BAD est égal à CAE, puisque BAC = D A E, donc les triangles AB D et C A Esout semblables, et AB:AC:;AD:AE, c’est-à-dire dans le rapport donné.
Scholie. Un arc de cercle a pour limite sa tangente , et il s’en approche continuellement à mesure que le centre s’éloigne et que la circonférence s’aggrandit; ainsi le lieu rectiligne peut être déduit du lieu circulaire, et ce que nous aurons - dit de celui-ci , nous pourrons le transporter au premier, en supposant que le centre soit situé à une distance infinie. Ainsi, dans la proposition a de ce livre, pag. 1 1 4 , si on conçoit que les centres E et D {fig- a ), sans quitter la droite AD, s’éloignent toujours du point A et s’en écartent à une distance infinie, alors les cercles qui passent par C et par B, deviendront deux droites perpendiculaires à AD, ce qui est le cas de la première proposition, pag. 1 13. De même si nous éloignons à l’infini les centres D et E dans la proposition 4, sans leur faire quitter à l’un la droite AD, à l’autre la droite AE, alors les cercles qui passent en B et C, se confondront avec leurs tangentes, et deviendront par conséquent des droites perpendiculaires respectivement à AD et AE comme dans la proposition 3, pag. ii5. .
PROPOSITION V
THÉORÈME
Une droite menée par un point fixe est divisée en un point de sa longueur en deux parties telles que le rectangle de l’une et de la ligne entière, équivaut à un rectangle constant et donné; si le point de section se meut en parcourant une droite donnée , l’extrémité de la ligne mobile aura pour lieu une circonférence déterminée.
Le rectangle A B x A C {/)£■ 5 ) , et le point A sont constants et donnés; la droite BD est donnée de position; le point C parcourra une circonférence connue.
ANALYSE
Menez AD perpendiculaire à BD, et faites le rectangle AD x AE = ABxAC. Il suit dc-là que AE et le point E sont complettement déterminés. Menez CE. Puisque A D x A E = AB x AC , A D : AB ; ; A C : A F., proportion qui démontre la similitude des deux triangles ABD et ACE auxquels l’anglé A est commun. Il en résulte que ACE = AD B, et par conséquent que l'angle ACE est toujours droit quelque position que prenne la droite mobile, ce qui devient à dire que le point C parcourt une circonférence de cercle, dont AE est le diamètre.
SYNTHÈSE
Après avoir mené la perpendiculaire AD, faites le rectangle AD x AE équivalent à l’espace donné, et sur le diamètre AE décrivez un cercle; c’est le lieu cherché. Car, si vous menez A Cet CE, vous formerez deux triangles ABD et AEC qui seront semblables, puisqu’ils auront deux angles égaux chacun à chacun; ainsi A B: AD ; ; AE: AC, et AB x AC = AD x AE = l’espace donné.
PROPOSITION VI
THÉORÈME
Une droite, assujétie à passer constamment par un point fixe, est divisée en deux parties telles que le rectangle de l’une comptée du point fixe, par la ligne entière, soit constamment égal à un rectangle donné; si le point de division parcourt une circonférence donnée, l’extrémité de la droite aura pour lieu une ligne droite déterminée de position, ou "une circonférence de cercle déterminée , selon que le point fixe sera ou ne sera pas situé sur la circonférence donnée.
Supposez que le rectangle AC x AB équivaille à une espace donné, et que le segment AC soit terminé à une circonférence donnée; le point fixe A peut être ou n’être pas sur cette circonférence. ( Fig. 6 et 6 bis).
Premier cas. Si le point A est sur la circonférence donnée , fig. 6, le lieu de B est une droite déterminée de position.
ANALYSE
Menez le diamètre AE, et faites AE x AD = AB x AC; le point D sera ainsi déterminé, et il est clair cju’il est un point du lieu cherché. Maintenant tirez CE et BD; puisque AExAD = ABxAC, AC ;AE;;AD:AB; donc les triangles CAE et B AD sont semblables. Ainsi l’angle ADB est égal à ACE, c’est-à-dire à un angle droit; par conséquent la droite DB est déterminée de position.
SYNTHÈSE
Après avoir mené le diamètre AE, faites le rectangle AExAD équivalent à l'espace donné; la perpendiculaire BD est le lieu cherché. Car, si vous menez AC B et CE, vous formerez deux triangles ACE et ADB évidemment semblables, ce qui montre que AC:AE :: AD; AB, d'où ACxAB = AExAD = l'espace donné.
Deuxième cas. Si le point A n’cst pas sur la circonférence donnée ECC'D, le lieu de B est une circonférence déterminée. {Fig. G bis).
ANALYSE
Menez le diamètre F. AD, et la corde CABC' du cercle donné qui • coupe le lieu demandé aux points B et F. Soit M le rectangle donné, et N le rectangle connu EAx AD. On a par hypothèse, ABx AC = AFxAC' = M, et ACxAC'=N; d’où il suit que le rapport XV~T 5 ‘ = M‘ ® onc ce rapport ^-jj est déterminé, et d’après la proposition a de ce livre, page n4, l’extrémité B de la droite AB est sur la circonférence d’un cercle connu.
SYNTHESE
Après avoir mené le diamètre DAE, faites le rectangle ADxAH égal à l’espace donné , et (livre 3, prop. 2 , p. 1 14) décrivez un cercle BGFH,tel qu’une corde de ce cercle menée par A soit divisée à ce point dans le rapport de A E à A H ; ce cercle est le lieu demandé. Car A E : ÂH : : AC : A B ; : AC x AC': AB x AC' ; donc AC x AC' : AB x A C' ;;AExAD: AHxAD; mais AC x AC' = AE x AD; donc AB x AC' = AHxAD = M.
PROPOSITION VII
THÉORÈME
La grandeur d’un angle , son sommet , et le rectangle de ses côtés étant fixes et donnés, si l’extrémité de l’un des côtés parcourt une ligne droite donnée, celle de l’autre aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée.
Le point A {fig. 7 ), l’angle BAC, et le rectangle AB x AC, sont constants ; si B parcourt la droite donnée B D , le lieu de C est un cercle connu.
ANALYSE
Par A abaissez la perpendiculaire A D sur BD. Menez A E qui fait
lui
avec AD un angle égal à l’angle donné, et un rectangle ADx AK, équivalent au rectangle donné; tirez CE.
Puisque AD est évidemment donné de position et de grandeur, il en est de même de AE; et le rectangle ADxAE .étant égal à AB x AC, il en résulte que AD: AB:: AC: AE. Comme de plus l’angle DAB est égal à EAC, les triangles DAB et EAC sont semblables, d’où il suit que l’angle EAC est égal à AD B, c’est-à-dire à un angle droit; donc le point C parcourt un cercle, dont AE est le diamètre.
SYNTHÈSE
Après avoir abaissé la perpendiculaire A D , menez A E de manière que l’angle DAE soit égal à l’angle donné, et que le rectangle AD x AK équivaille au rectangle donné; le cercle décrit sur A E comme diamètre est le lieu cherché.
En effet tirez CE: les triangles DAB et EAC sont semblables, puisqu’ils sont tous deux rectangles l’un en D , l’autre en C , et que de plus l’angle EAC est égal à B AD; donc AD:AB;;AC:AE, et par conséquent le rectangle ABx AC équivaut à A D x A C , c’est-àdire au rectangle donné.
PROPOSITION VIII
THÉORÈME
Si deux droites, dont les longueurs sont dans un rapport constant, se meuvent en s’appuyant toujours sur deux droites fixes données et en conservant la même direction, leur point d’intersection décrira une ligne droite déterminée.
Le rapport de AB à AC (fi g. 8 , pi. 3) est constant, ainsi que les angles ABD et ACD formés par ces droites avec les lignes fixes DE, DF; le lieu du point A est une droite déterminée.
A N A LYSE
Menez DA, et prolongez B A jusqu’à la rencontre de DF en G. Le If’ Suppl. i6
îau
triangle DBG est déterminé d'espèce, puisque les angles B et D sont donnés. Il en est de même du triangle AGC, et par conséquent le rapport de AC à AG est déterminé; le rapport de AB à AC étant constant, il s’ensuit que celui de A B à A G , et celui de B G à A G , sont pareillement constants; il en est donc ainsi du rapport de B G à D G, et par conséquent du rapport de AG à DG. Comme de plus l'angle en G est déterminé, on voit que le triangle A DG est déterminé d'espèce, d’où il suit que la ligne droite AD est fixée de position.
S YNTH ÈSE.
Sur DE prenez un point quelconque H, et menez par ce point des droites H I et HL taisant avec DF et DE des angles respectivement égaux aux angles donnés; prolongez ensuite IH jusqu'en M d’une quantité MH, telle que J 1 soit égal au rapport donné; cherchez une troisième proportionnelle I N entre I M et I H , et menez DNA; cette droite est le lieu cherché.
Car IM:1H::IH:IN, donc M H :I H : ;N H:1 N ; mais AB:AG ::N H:1N, et à cause de la similitude des triangles ACG et HLI, AG:AC::IH:HL, donc enfin AB:AC::NHxIH:INxHL::MH x I N: i N x H L ; ; M H : H L , c'est-à-dire dans le rapport donné.
PROPOSITION IN
THÉORÈME
Trois droites qui concourent en un même point étant données de position , si une quatrième droite les coupe sous une inclinaison constante, et de manière que le rectangle de son premier segment, par une droite donnée, soit égal à la somme des rectangles de son premier et de son second segment par des lignes données; le lieu du point d'où sont comptés les segments , est une droite déterminée.
Supposez que ABCD (/<£■ 9 ) coupe les droites EF, EG et EH sous
pigilized by C
des angles donnés, et tellement que AB x KL = AC x ML + AD xNM; les droites RL, LM, M N ét.mt données, le lieu du point A sera une droite déterminée de position.
ANALYSE
Puisque ACxML = ABxML+BCxML, et que A I) x N AI = ABxNM + BDxN M , il s’ensuit que A B x K L = A B (M L+NM) + BCxML+BDxNM, et ABxKN =BCxML + BDxNM. Prenez. MO, de manière que BC:BD: :N M:MO, alors BC x MO = BD xMN, d’où ABxRN = BC ( ML + MO ) = BC x OL, et AB:BC : ;OL:KN. 11 suit de-là que le rapport de AB à BC est déterminé; mais le triangle BCR étant connu d’espèce, le rapport de BR à BC est donné, donc le rapport de AB à BE est connu; et puisque l'angle compris ABE est donné, on voit que le triangle BAE est déterminé d’espèce, ce qui revient à dire que la droite AE est déterminée de position.
S Y N TH ÈSE.
Ayant pris sur RH un point quelconque H, menez HGF sous l'inclinaison donnée; prenez. MO de telle longueur que F G: Fil ::NM:MO , et prolongez H F d’une quantité sullisante FI, pour que R N : OL ; ; FG : I F ; E I est la droite cherchée.
Car BC:AB::FG:ÎF::NK:OL, et ABxRN = BCxOL; mais BC : BD; ;FG : FH; ;NM ; MO, donc BCxMO= BDxMN. Par conséquent ABx RN= BC x OL =BC ( MO -f-ML)= BC x ML + BD x MN= BC x MLh-MN (AD — AB); d’où il résulte que AB x RL = AB x ML+BCx M L+ADx N M=AC x ML+AD x NM.
PROPOSITION X
THÉORÈME
Quatre .droites qui concourent en un même point étant données de position , si une cinquième droite les coupe sous une inclinaison constante et de telle manière que la somme des rectangles de son
ifi.
ia4
premier et second segment, par des lignes données, soit égale à la somme des rectangles de son troisième et de son quatrième segment par d'autres lignes données, le point d’où sont comptés tous les segments , aura pour lieu une droite déterminée.
Si ABC I)E coupe les quatre lignes FG, F H, F I et FR {ftg. io) sous un angle constant, et tellement que ABxMN+ACxNO = A D x OP-t- AE x PQ, les quatre droites MN,NO,OP,PQ étant données, le point A parcourra une ligne droite déterminée de position.
ANALYSE
Puisque A B x MN + A C x NO= A D x OP-t-AE x PQ, il s’ensuit que ABxAIO+BCxNü=ABx OQ+BD x OP-t-BP3 x PQ, et par conséquent A'iîx MQ i BCxNO=BI)xOP+BExPQ. Faites BD :BC::NO:OR,rt BD:BE::PQ:PS;alorsBDxOR = BCxNO, et BD x PS=;BE x PQ, d’où il résulte que ABxMQ+BDxOR = BD x OP + BD x PS ou AB x M Q = BD x SR, c’est-à-dire AB : B D : : S R : M Q. Ce triangle B D F étant donné d’espèce, le rapport de AB à B F est déterminé, et comme de plus l’angle ABF’ est constant, il est clair que le triangle B A F' esi pareillement déterminé d’espèce, ou ce qui revient au même, que la droite AF est déterminée de position.
S Y NT H ÈSE.
Après avoir pris sur F K un point quelconque K, menez K1HG sous l’inclinaison donnée; faites OR — ** ° et PS— 1 , et prolongez KG d’une quantité G L, telle que MQ:SR : ;G I:G L; FL est le lieu demandé.
En effet BD:BC.:GI:GH: :NO:OR, et BDxOR=BCxNO;, de plus BD:BE::GI:GK::PQ:PS, donc BD x PS= BF. x PQ; ensuite MQ : SR; ;GI;GL; ;BD : AB, donc AB x M Q = BD x SR. Ainsi AB x MQ + BCxNO= B D x S R + B D x OR =="BI) x SO = BDxPS+BDxOP=Bl!xPQ+BDxOP; en .ajoutant aux
deux membres, le produit ABxOQ qui est égal à ABxNQ+AB xNO,ouàABxP Q+ AB x OP, on trouve à cause de M O =.MN h-NO, que AB x MN + AC x NO = AU x OP-t-AE x PQ.
PROPOSITION XI
THÉORÈME
Une droite étant donnée de position, si deux autres droites la coupent sous des inclinaisons données et de manière à intercepter sur elle à partir de deux points fixes, des segments dont le rapport soit constant, le point de concours des droites mobiles a pour lieu une droite déterminée. AB et AC ( fig . n ) sont menées de manière que les angles ABF et ACF, et le rapport des segments BD, CE comptés à partir des points fixes D et E, soient constants; le lieu du point A est une droite déterminée.
ANALYSE
Faites que FD soit à FE dans le rapport donné, et menez. FA. Puisque FD:FE: ;DB:EC, il s’ensuit que FD:FE;;FB:FC; conséquemment le rapport de F B à F C et celui de F B à B C sont déterminés. Mais les angles FBA et FCA étant donnés, le triangle BAC est évidemment donné d’espèce; donc le rapport de AB à BC est donné; d’où il suit qu’il en est de même du rapport de F B à AB. Il résulte dc-là que le triangle FBA est déterminé d'espèce, ou que la droite F A est déterminée de position.
SYNTHÈSE
Après avoir pris le point F de manière que F D soit à F E dans le rapport donné, menez DG et E G .faisant avec FI des angles respectivementégaux aux angles donnés, et joignez leur point de coneoursG avec F ; FGH est le lieu cherché.
Pour le prouver, menez par un point quelconque A de FM, les droites AB et A £ respectivement parallèles à DG et GE, et faisant
t‘j(i ANALYSE GEOMETRIQUE.
par conséquent avec l'I des angles égaux aux angles donnés. Il suit de cette construction que FG:FA::FD:FB:;FE:FC, on bien FD :FE: : FB:FC , et par conséquent DB:EC;;FD:FE; c’est-à-dire dans le rapport donné.
PROPOSITION XII
théorème.
Si par deux points donnés, on mène deux droites dont les longueurs soient entre elles dans un rapport constant, le point de concours de ces ligues aura pour lieu une droite ou une circonférence de cercle déterminée.
AC et BC, menées par les points fixes A et B (Jig. 12 et 12 bis), sont dans un rapport déterminé; le lieu du point de concours C est une droite ou une circonférence de cercle.
Premier cas. Quand le rapport donné est celui d'égalité, le lieu de C,/ig. 12, est une droite.
ANALYSE
Prenez le milieu E de AB, et menez EC. Les triangles ACE et BCE, ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun, sont égaux, ce qui prouve que l’angle AEC est égal à BEC, c’est-à-dire que EC est perpendiculaire sur AB, et par conséquent déterminée de position.
SYNTHÈSE
La perpendiculaire EC élevée par le milieu de AB, est le lieu cherché. Car si l'on mène, d’un point quelconque C de cette droite, deux autres lignes aux points A et B , il est facile de voir quelles sont égales.
Deuxième cas. Quand le rapport donné 11’est pas égal à l'unité, le lieu de C est une circonférence de cercle. ( Fig. 1 2 bis ).
ANALYSE
Menez CD faisant avec BC un angle égal à BAC, et rencontrant
AB prolongée en D. Les triangles DACet DCB qui ont l’angle en D commun, et les angles en A et en C égaux, sont semblables; donc AD:AC:;DC:BC, ou bien AD:DC::AC:BC, c’est-à-dire dans le rapport donné. Mais AD; D G; ; DC:DB,donc A D est à BD en raison doublée du rapport de AD à DG, ou : ; A D’ : DÜ’ ; ce dernier rapport étant donné, l'autre l’est donc aussi. Conséquemment BD et le point D sont déterminés; d’où il suit que DC est aussi déterminé et constant, ce qui signifie que le point C est sur la circonférence de cercle décrite de D comme centre avec D C pour rayon.
SYNTHÈSE
Partagez A B dans le rapport donné au point E , et prenez le point D de telle manière que ED soit à BD dans ce même rapport; le cercle décrit de D comme centre avec D E pour rayon , est le lieu demandé.
En effet , puisque A E:BE : ;ED:BD, on a , AD : E D ou DC ; ; ED ou DC:BD; ainsi les triangles DAC et DCB, ayant un angle commun compris entre des côtés proportionnels, sont semblables, et A C :BC:;AD:DC ou ED, c’est-à-dire dans le rapport donné.
Scholie. Puisque, dans le second cas, AC:BC;;AD:ED, on voit qu’à mesure que le rapport de AC à BC s’approchera de l’unité, le centre D s’écartera de plus en plus de A et de E, et le point E tendra continuellement à se confondre avec le milieu de AB; à la limite, c'est-à-dire quand -g^ sera égal à l'unité, l’arc EC se confonavec sa tangente qui sera alors une droite perpendiculaire sur le milieu de AB. On voit par-là que le premier cas peut être déduit du second.
PROPOSITION XIII
THÉORÈME
Si un point mobile est assujéti à cette condition que le quarré de sa distance à un point fixe donné, équivaille au rectangle de sa distance
ta8 ANALYSE GÉOMÉTRIQUE.
à une droite fixe et d’une autre ligne donnée, le lieu de ce point est une circonférence de cercle déterminée.
Le point A et la droite CD (yî 'g. i3) sont dans une position déterminée; on suppose que le quarré de B A soit égal au rectangle de 4a perpendiculaire BC et de la droite K; il faut prouver que le lieu de B est une circonférence de cercle déterminée.
Menez DF A parallèle à CB, faites AO = ~ K, prenez le milieu de AO en G, tirez BO, et abaissez la perpendiculaire B F.
Puisque G est le milieu de AO, ÔÏÏ* — ÂH* ou AB'* — OB”=- aAO x G F = K. G F ; mais Alt' = K. BC=KxDF, donc Ô1T , = K. DG. Comme DG est donné, OB est déterminé; et une des extrémités O de cette droite étant déterminée, l’autre doit être située sur la circonférence B B' H.
SYNTHÈSE
Ap rès avoir mené DA parallèle à CB, faites AO = ; K, AG = 7 AO, et OH = V/K. DG ; le cercle décrit de O comme centre avec 0 11 pour rayon, est le lieu demandé.
Car ob* — AB* ou AB’’ — O il"’ = 2 A O x G F = K x G F;et comme par construction OH’ ou o is — K x DG, il s'ensuit que À B’= K x DF = K. x BC.
Corollaire. Si le point donné A est situé sur DC, c'est-à-dire s’il coïncide avec D, alors DG = j K et OH = ; K, c'est-à-dire que le cercle passe par D ; dans ce cas A B est une corde, et son quarré est égal au rcetangle du segment D F, et du diamètre K , ce qu’on savait ri priori.
PROPOSITION XIV
PROBLÈME
Si par deux points donnés on mène deux droites qui sc coupent ,
ANALYSE GÉOMÉTRIQUE. t2<)
et qui soient telles que la différence du quarré de l'une et d’un espace donné, soit en rapport constant avec le quarré de l'autre, le lieu du point de concours de ces droites est une circonférence de cercle déterminé.
Soient AC et BC ( Jig . i 4 ) les deux droites mobiles, et supposez que le rectangle AC x AD équi vaille à l’espace donné; alors si la différence entre le quarré de A C et ce rectangle , est dans un rapport déterminé avec le quarré de BC, le lieu du point C sera une circonférence déterminée.
ANALYSE
Faites que A E soit à BE dans le rapport donné, menez CE et BD, prolongez CB jusqu’à la rencontre de la circonférence de cercle circonscrite au triangle AD B, et menez AF.
Le rectangle ACxCD étant égal à FCxBC,il s’ensuit que FC x BC est au quarré de BC ou que FC est à BC dans le rapport de AE à BE; par conséquent AF est parallèle à CE, et l’angle ECB est égal à AFB, c’est-à-dire à BDC. Par les points C, D, B, faites passer un cercle qui coupera AB en G, et menez CG et D G ; alors le rectangle B A x A G est égal à C A x A D ou à l’espace donné , d’où il suit que le point G est déterminé, ainsi que AG. On voit aussi que l’angle CDBou ECB est égal à CGB; donc les triangles BEC et CEG sont semblables, et GE:CE; ;CE:BE; d'où CE’=GE x BE. Ce dernier résultat prouve que CE est une ligne déterminée, et conséquemment que le lieu du point C est un cercle dont E est le centre.
SYNTHÈSE
Faites le rectangle ABx AG équivalent à l’espace donné, et ^ égal au rapport donné; prenez une moyenne proportionnelle EH entre GE et BE; le cercle décrit de E comme centre avec le rayon EH est le lieu demandé.
Pour le démontrer , par les points A, D, Bet par les points C, B, G, II’ Suppl. 17
l 3 o ANALYSE CÉOMETIUQL’E.
fuites passer des cercles, prolongez -C B jusqu’en F, et menez AF, CG, DG. Puisque GExBE = h 1 ?, GE:I 1 E ou CE;:HE ou CE :BE, et par conséquent les triangles GEC et CEB sont semblables, d'où il suit que les angles EGC et ECB sont égaux. Mais EGC = CDB = AFB, donc ECB = AFB, et les lignes CE et AF sont parallèles. Par conséquent A E : BE : : F C : B C 1 ; F C x B C ou A C x CD, ou AC (AC — AD):Bt?. OrADxAC=AB x A G = l'espace donné ; ainsi la différence entre le quarré de AC et cet espace, lequel est égal à A C x A D , est au quarré de B C dans le rapport donné de AEà BE.
Scholie. Le théorème précédent étendu à ses cas extrêmes, comprend plusieurs propositions particulières. Ainsi , en supposant que le rapport donné soit égal à l’unité, l’espace donné sera équivalent à la somme ou à la différence des quarrés de AC et B C, selon que cet espace sera plus grand ou plus petit que ÂC’ Quand il surpasse le quarré de A C , le centre E coïncide avec le milieu de AB, comme dans le premier cas de la dix-septièine proposition de ce livre , page i 3 a. Mais quand le quarré de AC excède l’espace donné, le rapport de AEà BE étant celui degalité, le centre E qui est alors au-delà de B, doit être situéà une distance infinie, et par conséquent l'arcHC se confond avec sa tangente qui est perpendiculaire sur le milieu de G B , comme dans la proposition suivante.
De plus si l’espace donné est supposé nul, alors le rapport de AC’ à iuT' est donné, et par conséquent celui de A C à BC l’est aussi ; dans ce cas , A G est nul , le point G coïncide avec A , et le centre et le rayon du cercle cherché sont déterminés de la même manière que dans la proposition 12, page 126.
PROPOSITION XV
THÉORÈME
Si par deux points fixes donnés on mène deux droites qui sc
ANALYSE GÉOMÉTRIQUE. l3l
coupent de manière que la différence de leurs quarrés soit constante, leur point de concours décrit une ligne droite déterminée de position.
Les droites A C et BC ( fig . i5), menées par les points A et B, sont telles que la différence de leurs quarrés est constante ; le lieu de leur point de concours C est une droite déterminée.
Abaissez la perpendiculaire CD sur AB, et prenez le milieu de AB en E. Il est clair que ÂC* — Bü* = 2 A Bx ED, donc le rectangle ABxED, et par conséquent son côté ED, sont déterminés; ainsi le point D et la perpendiculaire CD sont également déterminés; d'où il suit que CD est le lieu cherché.
SYNTHÈSE
Prenez le milieu E de AB, et faites le rectangle a AB x ED équivalent à l’espace donné; la perpendiculaire DC est le lieu demandé.
Car ÂC* — BÜ*= A B x aED = l'espace donné.
PROPOSITION XVI
LENNE.
Si sur une droite AB ( fig - 16 ), partagée au point C en deux parties telles que B C — « x A C , on prend un point quelconque D, on aura l’équation n x Âîf’+Bü 7 = AB x BC+(n+ i)cd*.
Pour le démontrer décrivez sur AB un demi-cercle, et élevez la perpendiculaire C E, menez AE , BE, et la droite D F parallèle à C E qui rencontre AE en F; tirez BF.
L’angle AEB étant droit, AC:CE;;CE;BC, et conséquemment AC:BC:;aC*:ËTT’; mais BC = n x AC, donc CE* =n x ÂC*. De plus AB: A E; : AE: A C, et AB: AC : ; ÂÈ’: AC, et puisque A B = (n + 1 ) AC, il faut que  ! 7 = («-»- 1 ) ÂC 7 . Maintenant C E et I)F étant parallèles, CE:DF:;AC:AD, et cFiüf 1 ; ;âc 7 :âd 7 ; or cE 7 = /iâc-,
l 3 a ANALYSE GÉOMÉTRIQUE.
donc FF — n aT)-. Mais bF* == A B x B C , et comme les triangles BDF et 8£F sont rectangles , B D'+DF' = BF*= B E’-4- ËF* = FF +CÜ-+ (EC — FD)’; d’où l’on déduit par substitution, n AD’+STP = AB x BC+(n+ i)cF*. .
PROPOSITION XVII
THÉORÈME
Si, par plusieurs points fixes donnes, on fait passer des droites terminées toutes à un même point, et telles que la somme de leurs quarrés est constamment égale à un espace donné, ce point de concours aura pour lieu une circonférence de cercle déterminée.
Premier cas. Quand les points donnés sont seulement au nombre de deux.
Supposez que les droites AP et BP ( fig . 17 ) menées par les points A et B, soient telles que la somme de leurs quarrés équivaille toujours à un espace donné; le lieu de leur point de concours est une circonférence déterminée.
ANALYSE
Prenez le milieu de AB en O, et menez OP. On aura AP+BP 1 =aÂ( 3 *- 4 - 2 ÔF’; ainsi AO 1 + 0 1” est déterminé; mais AO et son quatre étant déterminés, le quarré de la ligne OP et cette ligne elle-même, le sont aussi ; donc le lieu de P est une circonférence de cercle dont O est le centre et OP le rayon.
SYNTHÈSE
Prenez le milieu O de AB, cherchez une droite AF dont le quarré soit égal à la moitié de l'espace donné , et faites (TF = AK* — a O* ; le cercle décrit du centre O avec le rayoïrOE est le lieu demandé.
Car ÂF- -4- FF = a Âü 1 -+- OF* = a.ïô* -4- aôF = a FF = l'espace donné.
Deuxième cas. Quand les points donnés sont au nombre de trois.
Les droites AP, BP, CP, menëes par les points A, B, C, étant telles que la somme de leurs quarrés est constamment égale à un espace donné, le lieu du point de concours P est une circonférence de cercle déterminé. {Fig. 17 bis).
