LE THÉORÈME DE SCHMIDT
Ce théorème s’énonce :
Étant donnée une suite de fonctions 91, 92..., <pn, s’annulant pour .x- = a et x = b, si la suite des dérivées premières 9',,
forme un système normal, c’est un système tel que
ÿi*dx = l (1 =1,2,3.. .n)
et orthogonal, c’est-à dire tel que
Ÿ&kdx = 0 k)
et si la série des dérivées secondes forme un système fermé, c'està-dire si on ne peut avoir
f(x)<?"i(x)dx = 0
que pour f= 0, toute fonction continue, s’annulant pour x = a et x—bt peut se développer en série de fonctions 9,, c’est-à-dire se mettre sous la forme
avec
A n = ! f'(x)'o'n(x)dX
Si la suite des fonctions métriques
1 cos x
9 1 est l'ensemble des fonctions trigonosinæ cos 2x sin2x...
NOTES
-on obtient pour toute fonction périodique le développement bien connu en série de Fourier.
Il est facile de voir que le système est orthogonal et fermé. Le fait qu’il n’est pas normal introduit seulement le coefficient — .
f(.x) — ~ -J- cii cos x + bi sin x + . . . + a„ cos nx + bn sin nx + • ••
avec
on
/’( x) cos nx dx
/'(. r) sin nx dx
Il est facile de voir que les fonctions
ne s’annulent pas pour .r = 0 et ne forment pas un système orthogonal.
Ce théorème se recommandera à l’attention des biologistes et des sociologues de l’avenir, en ce qu’il précise les conditions auxquelles devront satisfaire des lois biologiques ou sociologiques élémentaires pour que, par simple sommation, elles îeproduisent une loi biologique ou sociologique complexe: question capitale aux points de vue énergétistes (').
(i) Ernest Solvay, Note sur des formules d’introduction à l’Energétique physio- et psycho-sociologique. Bruxelles, 1902. In-8», pp. T4 et 34.
