INTRODUCTION

Dans l'impossibilité où l'on est de donner des solutions exactes aux importants problèmes de la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle, on est réduit à en chercher des solutions approchées.

Dans la pratique, quand il s'agit de ces problèmes, un dessinateur obtient facilement des approximations suffisantes.

Les solutions que je présente ici conduisent rapidement, en théorie du moins, à un degré d'approximation non-seulement très-grand, mais, je puis presque dire, aussi grand que l'on voudra; et elles sont, je crois, assez simples pour devenir utiles dans la pratique.

Des méthodes géométriques de pareille force n'ont pas encore, que je sache, été appliquées aux dits problèmes : leur pouvoir et leur simplicité me font douter qu'il puisse en exister de meilleures de leur nature, et j'ose par conséquent presque me flatter qu'on pourra les considérer comme le dernier effort possible de la Géométrie proprement dite vers les solutions rigoureuses qu'on ne saurait obtenir.

On peut tJirc que l'impossibilité de ces solutions rigoureuses est une impossibilité morale. La preuve mathématique d'une proposition négative peut être difficile, et d"une longueur qui' la rendrait impraticable, à cause du grand nombre de cas qu'on peut avoir à considérer.

Cependant, à l'égard du premier problème, on sait que des constructions qui n'emploient que des cercles et des lignes droites ne peuvent conduire, lorsqu'on les traduit i)Our ainsi dire en langage analytique, (ju'à des équations des deux premiers degrés ou à des équations susceptibles d'être décomposées en facteurs de ces degrés-là: et que, de plus, les coefficients de ces équations ou facteurs ne sauraient exiger, sur des quantités connues, des opérations impraticables à la Géométrie, quoique reconnues en Algèbre, telles que des extractions de racines cubi(iues ou l'introduction de fonctions du tiers d'un angle connu. On peut donc dire que s'il existait une solution géométrique de la trisection de l'angle, ce problème ne pourrait conduire analytiquement à une équation du troisième degré.: ce qu'il fait.

A l'égard du second problème, une longueur arbitraire étant cboisie pour rayon d'un cercle, la longueur de sa circonférence est une qualité essentielle et inhérente à l'espace, et il n'y a jias de raison a priori pour que le rapport de ces deux longueurs soit exprimable , sous forme finie, au moyen de quantités iS'unc autre nature, telles que des nombres, des fractions, des racines de quantités ou d'équations: d'où il suit en particulier, d*apr<îs ce que nous venons de dire par rapport aux constructions géométriques, qu'il n'y a pas de raison a jrrioii pour (jue le problème ait une solution géométrique. En d'autres termes, on j)ourrail dire que ce rapport est une quantité trauscchJaiitc.

SOLLTIOIN APPROCHÉE