PÉRIODES ORBITALES DES BINAIRES

N. 16. Généralités. — Le Tableau 2 donne une idée grossière de la répartition des périodes des Binaires. Le nombre des Binaires dont la période P tombe dans les intervalles indiqués dans la ligne (1), est donné, pour les diverses catégories de Binaires envisagées, dans les lignes successives de ce Tableau :

(2) pour les 360 Binaires Spectroscopiques de la catégorie [BS] ; (3) pour les 151 Binaires Visuelles de la catégorie [BV];

(4) pour les 192 Binaires Visuelles de la catégorie [BV + BV'];

(5) pour les 492 Binaires de la catégorie [BS + BV — (C)];

(6) pour les 533 Binaires de la catégorie [BS + BV + BV'—(C)].

Répartition des périodes pour les diverses catégories de Binaires.

Limites 0 100 200 300 400 500 600 700 > (1) POUR P ANS à 100 à 200 à 300 à 400 à 500 à 600 à 700 à 1.100 1.100 ToTaz PATES RAR DORÉ er | 1505800 CPR EN UT, CCE RUN EE RER RD A D | CRIE VEBV } 5. HS 45: ones k ROSES 6 192 GI [BSEBV—(C)T LRO 2 Er. ECS 2 2 =: 499 HAS AE AE ON ER TS ee k FRE 6 533

Le Tableau 2 montre que, pour les cinq catégories de Binaires envisagées :

19 La fréquence des valeurs de la période est maximum pour le premier intervalle (0-100 ans), et décroît quand la période augmente ;

20 Aucune période ne tombe dans l'intervalle (700-1.100 ans) ;

3 Les périodes très longues (P > 1.100 ans) sont relativement rares.

CAS DES BINAIRES SPECTROSCOPIQUES

N. 17. — Les périodes des Binaires Spectroscopiques, habituellement exprimées en jours solaires moyens, s’échelonnent entre 0i,33 pour W U Ma et 124.182 jours ou 340 ans pour « Gémeaux, mais cette dernière est seule à posséder une période supérieure à un siècle, comme le montre la ligne (2) du Tableau 2. Les autres Binaires Spectroscopiques ont en majorité des périodes beaucoup plus petites, comme il résulte d’un rapide examen des Tableaux 3, 4 et 5 dans lesquels nous avons condensé les informations complémentaires que nous possédons à ce sujet. |

Les lignes successives du Tableau 3 donnent pour les divers groupes de périodes envisagés :

(1) Les limites entre lesquelles sont comprises les pÉRAeS de chaque groupe (exprimées en années) ;

(2) AN nombre de BS du groupe ;

(3) AP, amplitude de l'intervalle couvert par le groupe de périodes (exprimée en années) ;

(4) xp — €, = Concentration moyenne du groupe en périodes de BS*,

Répartition des périodes : Gas de l'ensemble des Binaires Spectroscopiques.

Limites , (1) PouRP ans 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-20 20-50 90-340 ToTAL BIRT AN 906. 19 0/90 0 7 7 8 : k 360 (3) AP 1 1 4 2 5 40 30 290 340 SAN (4) Ca = Xp. 306 12 9 3,9 1,4 0,7 0,27 OSOTARET 706

* Nous désignerons par concentration moyenne des périodes dans le domaine (P à P + AP), ou plus brièvement concentration moyenne, le quotient :

| AN 7 St () EAP

du nombre AN de périodes comprises entre P et P + AP, par AP ; nous l’affecterons de l’indice a ou j suivant que P et AP y seront exprimés en années ou en jours. Comme AP n’est pas constant, cette concentration moyenne n’est pas tout à fait identique à ce que certains aüteurs appellent «loi de répartition ». Voir à ce sujet :

(R. 12) H. Mineur : Éléments de Statistique mathématique applicables à l’étude de l'Astronomie stellaire (p. 6, 1934).

Les valeurs de AN et AP.

19 Les Binaires S pectroscopiques ont, en majorité, des périodes inférieures à un an : 306 d’entre elles sur 360 (soit 85 %) ont une période comprise entre 0 et 1 an, alors que 33 seulement ont une période supérieure à 3 ans, dont 4 à période comprise entre 50 et 340 ans.

20 La concentration moyenne c, des groupes de périodes en BS, diminue rapidement quand on passe d’un groupe au suivant, c’est-à-dire quand la période croît :

montrent que :

De 306 quand la période est comprise entre 0 et 1 an, elle est en moyenne de 0,014 pour les valeurs de P tombant entre 50 et 340 ans.

N. 18. — D'ailleurs les périodes ne se répartissent pas davantage d’une manière uniforme dans l’intérieur des divers groupes de périodes considérés dans le Tableau 3. Le Tableau 4 donne à ce sujet un complément d’information en ce qui concerne la distribution des valeurs des périodes comprises entre 0 et un an. Les lettres de ce Tableau ont même signification que celles du précédent, mais P et AP y sont exprimés en jours et c; est la concentration moyenne correspondante.

Répartition des périodes des Binaires Spectroscopiques telles que:

(O0 <P<1) 5 ToTaL P; 0-5 5-10 10-20 20-50 50-100 100-200 200-365 0-1 AN AN 131 56 45 30 14 18 4197-27 °306 AP; 5: 5 10 30 50 400 165 365 = 26,2 11,2 4,5 1,0 0,28 6,18 0,07 0,84 j

Les valeurs de AN et de c; inscrites dans le. Tableau 4 montrent que :

Parmi les Binaires Spectroscopiques de période inférieure à un an :

40 131 sur 306 (soit 43 %) ont une période plus courte que 5 jours ;

20 La concentration moyenne c; des oroupes de périodes diminue rapidement quand on passe d’un groupe de périodes au suivant, c’est-à-dire quand P croît.

N. 19. — On pourrait donc croire que la distribution des fréquences des périodes des Binaires Spectroscopiques est une distribution en forme de J (voir R. 13), ou plus exactement de J retourné (1). Il n’en est toutefois rien : pour le voir, fractionnons encore le premier intervalle qui correspond au maximum de la concentration dans le Tableau 4 ; nous obtenons ainsi le Tableau 5, les lettres y conservant même signification que précédemment.

Répartition des périodes des Binaires Spectroscopiques telles que :

OEAPLES P; 0-1 1-2 2-3 3-4 45 Toraz 0-5 AN 10 33 33 39 22 131 AP; 1 4 4: 4 4 5 AN = —— 26,2 C; AP, 10 33 38 33 22 $

. Les valeurs de c; inscrites dans le Tableau 5 montrent que : Lorsque la période varie de jour en jour entre 0 et à jours, la concentration moyenne en périodes, c;, des cinq groupes de périodes obtenus pour les Binaires Spectroscopiques, passe par un maximum, égal à 33, pour P, compris entre 1 et

4 jours.

N. 20. Loi de répartition des périodes des Binaires Spectroscopiques. — Nous pouvons maintenant réunir les résultats successivement obtenus dans un Tableau unique 6, les lettres ayant même signification que précédemment, et Punité de temps pour P,, AP; et c; étant le jour. «, qui représente le nombre de jours contenus dans l’année, diffère peu de 365. La quantité log (10 P,), qui sert d’entête à la cinquième colonne, donne en outre la valeur du logarithme décimal de (10 P,), P, représentant la moyenne arithmétique des limites de P, relatives à chacun des groupes de périodes définis par la première colonne. Notons enfin que, pour diminuer le nombre des groupes considérés, nous avons quelque peu modifié la contenance des groupes de périodes envisagés, en réunissant ensemble certains d’entre eux. Le lecteur pourra, sans peine, vérifier, en se

(R. 13) G, U, Yule : An Introduction to the Theory of Statistics, p.98, 1922;

basant sur les Tableaux précédents, que ceci ne change en rien la nature du résultat obtenu.

Valeurs de c; relatives à l’ensemble des Binaires Spectroscopiques.

Limires POUR P; AN AP; Cp — À, log (10 P») 01-41! 410 1 10 0,70 1 -2 se 1 33 ae 2 -3 338 i) 33 4,40 3 -k 38 1 33 1,54 & -5 29 À 22 1,65 5 -10 56 5 11,2 1,87 10 -20 45 10 4,5 2,18 20 -50 30 30 1,0 2,54 50 -100 14 50 0,28 2257 100 -200! 18 100 0,18 318 200!-1 an 12 165 0,07 3,45 1 an-3 ans 214 2 0,03 3,86 ou e 10 14 7 0,005 k,38 40 -50 15 40® 0,001. 5,04 50 ans-340 ans A 290% 0,0000% 580

En examinant la première et la quatrième colonne du Tableau 6, nous voyons que :

La concentration moyenne c; des périodes des Binaires Spectroscopiques, définie plus haut, croît rapidement de 10 à 33, quand P varie de 0 à 2 jours; elle passe par un maximum en palier c, —33, pour P compris entre 1 et 4 jours et décroît ensuite, d’abord rapidement de 33 à 1 quand P croît de 4 à 50 jours, puis lentement, en tendant vers zéro, à mesure que P continue à croître.

N. 21. Courbe empirique de répartition des périodes des Binaires Spectroscopiques. — Ces résultats peuvent d’ailleurs se représenter graphiquement, mais, vu la grande dispersion des périodes des BS, nous porterons en abscisses, au lieu des périodes, les valeurs de log (10 P;) figurant dans la cinquième colonne du Tableau 6, et en ordonnées celles des concentrations c;. Nous obtenons ainsi la figure 1. Vu le choix des coordonnées, la courbe jalonnée n’est pas à proprement parler la courbe de répartition des périodes.

Comme log (10 P,) varie dans le même sens que P,, nous pouvons énoncer comme suit le résultat mis en évidence par la figure 1 :

La période P allant toujours en croissant, la courbe représentant la concentration moyenne c; en fonction de log (10 P,), monte de À (c,; — 10) à B (c; — 33) quand P croît de 0 à 1 jour, passe par un maximum (c; —93) COr-

(o ; BC à 1

SR eLLS 10] né .

0 1 2? Re 6 Pogliop)

FiG. 1. — Variation de la concentration moyenne c; des périodes des BS.

respondant à un palier BC, quand P est compris entre 1 et 4 jours, puis redescend rapidement de C en D quand P augmente de 4 à 100 jours ; elle est ensuite pratiquement asymptote à l’axe des abscisses suivant DE.

AN ÉD RSTe | 30 Ë At 20! —= :

Ë 3 5 à peer s | : RP Sr CT ; PROS TON AGE ee SA 2... DE 0 | | :

ral

F16. 2. — Courbe empirique de répartition des périodes des BS pour P < 20 jours. .

N. 22. Remarque. — On peut d’ailleurs se faire une idée assez exacte de la répartition des périodes des BS en utilisant pour la représentation graphique les périodes elles-mêmes et les nombres AN correspondants, mais à condition

de se limiter aux périodes comprises dans un domaine restreint — par exemple 0-20 jours * — où elles sont fortement concentrées. La figure 2 a ainsi été obtenue en portant en abscisses les valeurs de la période (celle-ci variant de jour en jour de 0 à 20 jours), et en ordonnées les AN correspondants.

Cette figure met nettement en évidence : S

10 La dissymétrie de la distribution des périodes des BS ;

20 La concentration des BS dans la région des courtes périodes ;

30 L’appauvrissement progressif en BS quand on se déplace vers les périodes plus longues.

Au delà de P — 20i, la courbe se prolongerait en se rapprochant de plus en plus de l'horizontale. On obtiendrait ainsi la véritable courbe empirique de répartition des périodes ; elle comporterait comme la courbe précédente trois parties, savoir :

— Une branche montante AB, suivie d’un palier BC, puis d’une branche descendante CDE dont la partie DE serait pratiquement asymptote à l’axe des abscisses.

N. 23. Sur certaines particularités de la distribution des périodes des Binaires Spectroscopiques. — Nous allons maintenant chercher à mettre en évidence certaines particularités de la répartition des périodes des Binaires Spectroscopiques. A cet effet nous allons calculer les valeurs moyennes et médianes relatives à divers ensembles de périodes déduits de la distribution observée, ces ensembles ayant tous même limite inférieure, la limite supérieure allant par contre en croissant quand on passe d’un ensemble au suivant.

Les résultats obtenus ont été consignés dans le Tableau 7.

Valeurs moyenne et médiane de la période des BS dans divers cas.

Limites pour P NomBre DE BS Moyenne (en jours) Mépranez (en jours) 0-5 j 131 2,70 2,63 0-20 j 234 6,08 &,29 0-1 an 306 286,81 7,90 0-3 ans 2270 TATAS 8,45 0-90 ans 399 1J22 42 9,59 0-340 ans 360 1.114,92 9,60 * Ce ine qui n’est qu’ 4 ès petite fraction —2°— , soit environ 16 Ge celui Ce domaine qui n est qu'une rès petite frac Jon 124.182” 100.000

Il est bien évident a priori, que si la limite supérieure va en augmentant, il en sera de même des valeurs moyenne et médiane. Mais le Tableau 7 montre que dans ces conditions, la médiane varie beaucoup moins que la moyenne. Ainsi, la limite supérieure de l’ensemble de périodes étudié croissant de 5 jours à 340 ans, la médiane augmente seulement de 2i,63 à 9,60 alors que la moyenne varie de 2i,70 à 1.114i,92. Le fait que la médiane demeure relativement faible, malgré l’augmentation de la limite supérieure choisie, a pour origine :

19 La dissymétrie de la courbe de distribution des périodes des Binaires Spectroscopiques, celles-ci étant concentrées principalement dans la région des faibles valeurs observées pour cet élément (voir N. 22)*.

20 Le mode même de détermination de la valeur médiane, celle-ci dépendant uniquement de l’ordre relatif des périodes et non de leurs valeurs intrinsèques.

Comparons maintenant les deux dernières lignes du Tableau 7 ; les valeurs de la moyenne qui y figurent : 772112 et 1.114i,92, sont relatives à deux populations stellaires identiques à une étoile près, et comptant respectivement 359 et 360 étoiles. La Binaire exclue dans le premier cas est «x Gémeaux, seule Binaire Spectroscopique de période supérieure à un siècle (P — 340 ans). Les médianes correspondantes ont par contre des valeurs presque identiques : 9,59 et 9,60. Un tel exemple confirme l'instabilité constatée pour la valeur moyenne des périodes et montre que cette particularité de la moyenne est due à la grande dispersion unilatérale des périodes vers la région des fortes valeurs.

L'influence des grandes périodes, imaginée précédemment, n’est d’ailleurs pas une simple hypothèse ; elle existe en réalité en pratique, et deviendra de plus en plus sensible avec le temps, car si parmi les Binaires Spectroscopiques la sélection a d’abord favorisé la détermination des courtes périodes, il semble bien que, dès à présent, la proportion des longues périodes ait tendance à augmenter (voir N. 48). Il en résulte en conséquence une instabilité de la moyenne des périodes vis-à-vis de l’accroissement du matériel employé. La valeur médiane, moins sensible à cette influence, présente une plus grande stabilité. Mais la meilleure caractéristique dans le cas d’une répartition telle que celle des Binaires Spectroscopiques est certainement la valeur dominante, quiest ici voisine de 2i,5 pour chacun des ensembles de périodes considérées dans le Tableau 7.

couvert par l’ensemble des périodes des B$S, renferme néanmoins

soit 65 °/, ou environ : des périodes connues.

* Les 3 des valeurs de la période tombent en effet entre 0 et 20 jours.

N. 24. Conclusions. — En résumé, dans le cas des Binaires Spectroscopiques :

19 Le diagramme figurant la distribution des périodes est nettement dissymétrique et est très étendu unilatéralement du côté des longues périodes. Les courtes périodes sont de beaucoup les plus fréquentes, les grandes périodes connues sont, jusqu’à présent, relativement rares.

20 La valeur de la période se révèle très instable relativement à l'accroissement permanent du matériel étudié ; la médiane est plus stable, mais la meilleure caractéristique paraît être la valeur dominante ou mode, qui est ici voisine de 21,5.

N. 25. Remarque. — Comme nous le verrons plus loin le fait que le maximum de fréquence (ou plutôt de concentration moyenne), des valeurs de la période des Binaires Spectroscopiques correspond à une faible valeur de cette dernière, et la rareté relative des longues périodes sont en parties dus à la sélection. (Voir N. 48.)

CAS DES BINAIRES VISUELLES

N. 26. — Les périodes des Binaires Visuelles, actuellement connues, s’échelonnent depuis 0*,0562 ou 20i , 54 (pour A 8.891 — € UMa), jusqu’à 680 ans (pour A. 9.982), quand on se limite aux classes I, IT et III de W. S. Finsen (Catégorie [BV]), et jusqu’à 10.850 ans (pour A 7.203), quand on ajoute les doubles visuelles à orbites plus incertaines de classe V (Catégorie [BV + BV']).

Le Tableau 2, lignes (3) et (4), montre que c’est dans l’intervalle 0-100 ans que les périodes des Binaires Visuelles tombent le plus fréquemment. On y. 7 . soit 66 %, des cas pour la Catégorie [BV] et ex soit 58 % des cas pour la Catégorie [BV + BV']. Les valeurs de la période ne se répartissent d’ailleurs pas uniformément dans l'intervalle de fréquence maximum (0-100), comme le montre le Tableau 8.

trouve en effet

Répartition des périodes des Binaires Visuelles dans l'intervalle 0 < P < 100 ans.

LIMITES POUR P ANS 0-50 ANS 50-100 ANS TorTaz 0-100 ANS

RACE TE NET De 64 35 99 A AR nue 73 38 a

Manifestement les périodes des Binaires Visuelles sont plus nombreuses entre 0 et 50 ans qu'entre 50 et 100 ans. Il semblerait donc que la distribution des périodes parmi les doubles visuelles soit en forme de J, ou plutôt de J ‘retourné (1), mais il n’en est rien, comme le montre le Tableau 9 qui donne la répartition des périodes pour les décades successives dans le cas de P < 100 ans.

Répartition des périodes des Binaires Visuelles pour 0 < P < 100 ans.

P. Ans 0-10 40-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 0-100 LÉV jes tre Den AL A7 MAD PAG RE IU NES 9715 "99 EVE BNP: 2201482 400 94 MO MN I OC RME

En fait, les périodes s'accumulent surtout en dessous de 60 ans ; la proportion des valeurs de P inférieures à 60 ans est en effet de :

De plus le Tableau 9 met en évidence deux maxima de fréquence, situés, lun entre 20 et 30 ans, l’autre entre 40 et 50 ans, mais la distribution porte sur un nombre trop faible d'étoiles pour qu’on puisse être vraiment affirmatif à ce sujet. Les valeurs empiriques P{ et P; de la période correspondant à ces deux maxima de fréquence sont respectivement :

Pi 2441 et Ps — 44,15.

Elles sont nettement plus grandes que la valeur dominante approchée 2i,5 trouvée dans le cas des Binaires Spectroscopiques.

Les valeurs moyennes trouvées pour l’ensemble des noie sont respectivement pour les deux cas envisagés :

Catégorie [BV] : Psy — 104,68, Catégorie [BV + BV] : Pav + nv — 2362,03.

La seconde valeur est nettement plus élevée que la première parce que la plupart des Binaires Visuelles à orbites incertaines (classe V) possèdent une très longue période. Toutes deux sont d’ailleurs très grandes par rapport à la valeur moyenne des périodes des BS. Nous avons, en effet, vu que cette dernière est de 1.114i,92 (ou 32,05), ou même seulement de 772i,12 (ou 22,12) si l’on exclut « Gémeaux (Voir N. 23).

N. 27. Courbe de répartition des périodes des Binaires Visuelles. — Il est possible de se faire une idée de la répartition des périodes connues parmi les Binaires Visuelles, mais, étant donné la grande dispersion de ces quantités,

prete P ar

F1G. 3. — Courbe empirique de répartition des périodes des Binaires Visuelles pour P < 200 ans. Catégorie [BV].

& il convient de se limiter aux périodes comprises dans un domaine restreint,

0 à 200 ans par exemple, qui contient 131 sur 151, soit 87 % des périodes des [BV]. C’est l’objet du diagramme (3) : les groupes de périodes successivement représentés y ont une amplitude constante AP — 10 ans, c’est-à-dire ont pour limites (0-10) ans, (10-20) ans, etc. (190-200) ans.

Les valeurs de P sont portées en abscisses, celles de AN en ordonnées.

Les deux maxima signalés au paragraphe précédent se retrouvent naturellement dans ce diagramme, qui, entre 0 et 100 ans, représente graphiquement les résultats donnés dans le Tableau 9, mais, comme nous l'avons déjà remarqué, on ne saurait, vu la pauvreté du matériel étudié, être affirmatif quant à la réalité de l’existence de ces maxima ; on pourrait tout aussi bien imaginer la présence d’un maximum unique situé entre 24 et 45 ans. La courbe de la figure 3 a été tracée en supposant, comme cela paraît probable, qu’il existe un maximum unique correspondant à P — 30 ans environ.

Au delà de P — 200 ans, la courbe continuerait à cheminer au voisinage de

l’axe des abscisses. -

N.28. Concentration moyenne des périodes parmi les Binaires Visuelles. — Nous pouvons, pour les Binaires Visuelles, comme nous l’avons fait pour les Binaires Spectroscopiques, calculer la concentration moyenne

= Xp:

Mais on devine a priori que le résultat sera très différent suivant que les périodes seront réunies en des groupes plus ou moins étendus. Si par exemple AP — 100 ans, la valeur de la concentration moyenne relative aux groupes de périodes successifs (0-100), (100-200), etc. s’obtiendra (sauf pour P>1.100 ans) en divisant par 400 les nombres figurant dans le Tableau 2, lignes (3) ou (4), suivant qu'il s’agit des Catégories [BV] ou [BV + BV’). Les nombres ainsi trouvés feraient croire que la concentration moyenne des périodes diminue constamment à mesure que la période augmente ; cette quantité paraît en effet décroître : ,

\ de 0,99 à 0,02 pour la Catégorie [BV], | de 1,11 à 0,04 pour la Catégorie [BV + BV), À quand on passe du groupe (0-100) à l’un des groupes (500-600) ou (600-700) ans.

Un tel mode de groupement a l'inconvénient évident de masquer la présence signalée au paragraphe précédent d’un ou de deux maxima ; comme d’ailleurs les données actuelles ne nous permettent pas de préciser l’emplacement de ces derniers, nous avons cru devoir réunir dans un même groupe les périodes comprises entre 20 et 50 ans. Les périodes supérieures à 50 ans seront réparties entre des groupes d'autant plus étendus qu’ils occupent une région plus pauvre en périodes, afin d’avoir des valeurs de AN quelque peu comparables.

Nous avons ainsi obtenu le Tableau 10, dans lequel les concentrations moyennes c, sont calculées, en prenant comme unité de temps l’année, pour les deux catégories [BV] et [BV + BV’]. Comme au paragraphe N. 20, P, représente la moyenne arithmétique des limites relatives à chacun des groupes de périodes considérés, mais P, est ici exprimé en années.

Valeurs de «, relatives aux catégories [BV] et [BV+BV'].