CHAPITRE II
Considérations relatives aux figures d'équilibre en général. Figures d'éçfuilibre de révolution: sphère, plan, cylindre, onduloïde, caténoide, nodo'ide; étude expérimentale à Vaide du premier procédé; résultats des géomètres.
Les figures d'équilibre sont à courbure moyenne positive, négative ou nulle; la pression qu'exerce leur couche superficielle est, suivant les trois cas, supérieure, inférieure •u égale à celle d'une couche superficielle plane § 33
Très-probablement la sphère est la seule surface fermée à courbure moyenne constante § 34
Toutes les autres figures peuvent être réalisées par portions, entre des limites solides convenables § 35
On peut arriver pai' l'expérience et le simple raisonnement aux formes générales et à tous les détails des figures d'équilibre de révolution $ 36
Parmi ces figures, la sphère et le plan sont les seules dont les lignes méridiennes atteignent l'axe § 37
Les lignes méridiennes des autres ne peuvent avoir aucun point de rebroussement $38
4je cylindre fait partie de ces mêmes figures ^39
Réalisation du cylindre entre deux anneaux. Les bases de la figui*e sont convexes ; pourquoi . . .' § 40
Le rayon des sphères auxquelles appartiennent ces bases est égal au diamètre du cylindre $ 41
Comment on vérifie ce principe par des mesures $ 42
Précautions à prendre pour les effectuer $43
Résultats qu'elles ont donnés ; ils confii*ment le principe théorique . $ 44
Quand la hauteur qu'on veut donner au cylindre surpasse notablement le triple du diamètre, la figure s'altère toi^oura spontanément avant qu'on ait atteint la forme cylindrique, puis elle se sépare en deux portions inégales .... $ 45
Ce phénomène a lieu aussi bien à l'égard d'un cylindre horizontal qu'à l'égard d'un cylindre vertical ; on en conclut qu'un cylindre liquide dont la longueur excède notablement le triple du diamètre, constitue une figure d'équilibre instable. Comment on idéalise les cylindres horizontaux. Cas d'un auditoire nombreux J 46
Expérience conduisant à une figui*e d*équilibre de l'évolution autre que la sphère et le cylindre $ 47
Cette nouvelle figure se compose d'une suite indéfinie de renflements égaux alternant avec des éti*anglements égaux ; nous la nommons VOnduloXde § 48
Comblent l'équilibre existe dans une semblable figure. Quand on en réalise une portion entre deux anneaux, les bases sont convexes ; poui'quoi § 49
L'onduloïde complet peut varier de forme entre deux limites, qui sont le cylindre, et une suite indéfinie de sphères égales qui se touchent sur l'axe $ 50
Les variations de l'onduloïde ont une troisième limite, consistant en un étranglement unique s'étendant indéfiniment de part et d'autre de son cercle dégorge $ 51
L'expérience conduit à regarder la portion d'onduloïde limitée par les cercles de gorge de deux étranglements consécutifs, comme étant à la limite de la stabilité $52
L'onduloïde indéfini est conséquemment une figure instable . . . $ 53
Quand on étire une sphère d'huile entre deux anneaux égaux en regard, et qu'on n'est pas encore arrivé au cylindre, la figure constitue toujours une portion d'onduloïde . . * . . . . . . $ 54
Quand, en continuant Pétirement, le cylindre que l'on forme n'est pas trop court, si l'on poursuit l'éti rement plus loin, la figure étranglée qu'on obtient est aussi une portion d'onduloïde. Autre moyen de réaliser ces portions étranglées i S 55
En enlevant de Thuile à un cylindre dont la hauteur n'excède pas les I environ du diamètre, on voit les bases s'affaisser, et on peut les rendre parfaitement planes. La portion étranglée comprise entre les anneaux appartient alors à une nouvelle figure d'équilibre. Celle-ci est à courbure moyenne nulle. La ligne méridienne de la figure complète est une chaînette. Nous nommons cette nouvelle figure le Caténoïde $ 56
Le caténoïde a deux aspects différents, suivant qu'on suppose le liquide d'un côté ou de l'autre de sa surface $57
Pour des anneaux d'un diamètre donné, il y a un maximum d'écartement au delà duquel aucune portion de caténoïde n'est plus possible entre eux. A tout écartement moindre correspondent deux caténoïdes distincts, inégalement rentrés $58
Tous les caténoïdes complets sont des figures semblables . . . . $ 59
Des deux caténoïdes partiels correspondants à un écartement inférieur à la limite, le plus rentré est instable. Le caténoïde partiel de plus grande hauteur doit être considéré comme étant à la limite "de la stabilité. Difficulté apparente § 60
La troisième limite des variations de i'onduloïde est le caténoïde. — Tout étranglement s'appuyant sui* deux anneaux et présentant des bases convexes, est un étranglement d'onduloïde $ 61
Détermination expérimentale approchée du l'apport maximum entre la hauteur du caténoïde partiel et le diamètre des bases. . . . $ 62
Etranglement appartenant à une nouvelle figure d'équilibre. . . $ 63
Poursuite de la ligne méridienne de celle-ci au delà des limites du système solide. Cette ligne doit présenter, à une distance finie du sommet qui regarde l'axe de révolution, deux points où la tangente est parallèle à l'axe de symétrie $ 64
Confirmations expérimentales $ fô
Au delà^ les deux pai*ties de la courbe vont se couper sur l'axe de symétrie, en formant un nœud $66
Réalisation de la portion de figure engendrée par ce nœud . . . . $ 67
La figure complète est susceptible de variations comme I'onduloïde $ 68
On ne peut se représenter la figure complète qu'à l'état de simple surface, parce qu'elle a des portions engagées dans le liquide . . $ 69
Au delà de la pointé du nœud, la courbe conserve le même sens de courbure, et chacune de ses branches présente un point où la tangente est parallèle à l'axe de révolution $70
Vérification expéiimentale. Qaand on rapproche trop les bases
solides, la figure devient instable ^71
La ligne méridienne complète se compose d'une suite indéfinie de
nœuds identiques rangés le long de l'axe de révolution, et reliés
entre eux par des arcs également identiques. Nous donnons à la
. figure engendrée le nom de Nodoïde $72
Les figures réalisées dans les expériences du $71, appartiennent au
nodoïde 5 73
L'une des limites des variations du nodoïde lui est commune avec
l'onduloïde; c'est la suite indéfinie de sphères tangentes. . . . § 74 Une seconde limite consiste en un cylindre placé transversalement
par rapport à l'axe de révolution, qui en est infiniment éloigné. . § 75 Différents moyens de réalisation d'un nodoïde partiel approchant de
cette seconde limite $ 76
La troisième limite des variations du nodoïde, est le caténoïde . . § 77 Il n'y a pas d'autres figures d'équilibre de révolution que celles
étudiées dans les paragraphes précédents § 78
Résultats des géomètres. Poisson : intégrale première de l'équation
des figures d'équilibre de révolution $ 79
Goldschmidt : étude analytique du caténoïde $ 80
MM. Lindelôf et Moigno : idem $81
Delaunay : génération géométrique des lignes méridiennes des
surfaces de révolution à courbure moyenne constante $82
M. Lamarle : il n'y a pas de surfaces de ce genre autres que celles
dont les lignes méridiennes sont ainsi engendrées $83
Béer : intégrale elliptique de l'équation de ces lignes $ 84
Conséquences qu'il déduit de ses formules $ 85
Remarques à ce sujet $ 86
Evaluation, par le même, au moyen des fonctions elliptiques, du
volume et de la surface d*une portion d'onduloïde $87
M. Mannheim : évaluation de la longueur d'une portion déterminée
de la ligne méridienne de l'onduloïde $ 88
M. Lindelôf : nouvelle étude des surfaces de révolution à courbui*e
moyenne constante $ 89
Vérification expérimentale de l'un des résultats de ce travail . . . $ 90 Détermination précise, par le même, des dimensions du caténoïde
limite lorsque les diamètres des bases ont entre eux un rapport
quelconque donné $ 91
Rayons de courbure des lignes méridiennes de l'onduloïde et du
nodoïde, au minimum et au maximum de distance à l'axe . . • $ 92 Liquides pouvant être substitués à l'huile et au mélange alcoolique ;
expéiiences de M. Dufour et de M. D'Henry $93
Expérience proposée par M. D'Henry. Expérience de Matteucci . . $ 94 Notre procédé peut servir à réaliser sur une grande échelle les
phénomènes capillaires ordinaires, c'est-à-dire ceux où la pesanteur
intervient $ 94*>i»
