ANNEXÉ A L’UNIVERSITÉ DE LIÈGE
Par Eric GERARD,
LrlïUR DE CET INSTITUT, INGENIEUR PRINCIPAL DES TÉLÉGRAPHES, PROFESSEUR A L’UNIVERSITÉ DE LIEGE.
j-8, DE 45o PAGES, AVEC 1 98 FIGURES DANS LE TEXTE,
Linné toile anglaise; 1896. — Prix : 12 fr.
r l'Électricité (’), que j’ai publiées précédemment, des notions générales sur les mesures. Le présent ; développements du cours sur les essais électriques ait les élèves électriciens de l’Institut éleclrotechnique [mérite une étude approfondie, car les mesures prèle progrès réalisés dans la construction des appareils Irès ont été rapides, parce que les Electriciens, formés [, ont applique, dès le début, les procédés d investi- K caractérisent les recherches physiques. Ce ne sera lidres mérites d’avoir contribué à introduire dans la Fréquents et exacts.
roduction, les méthodes employées pour la discussion ■méthodes sont appliquées, dans' le cours de l’Ouvrage, Filles; elles fixent le degré d’approximation des résultats commençants du travers trop fréquent d’exprimer rx-ci Timides nombres de chiffres qui ne sont nullement en rapport avec précision des mesures qui les ont fournis. Etant donnée 1 approximation 2 l’on cherche à obtenir, la discussion des méthodes d essai indique la ueur à apporter dans chacune des observations qui concourent au ultat et elle permet d'utiliser aussi bien que possible le lemns dont on rose pour les expériences, ce qui est d’une importance capitale dans les
Aratoires industriels. ......
si cru bon d’examiner, dans Y Introduction, les principales mesures Métriques, mécaniques et photométriques, appliquées couramment pai électriciens, afin de leur remémorer ces mesures, dont les descriptions
1 éparpillées dans des Ouvrages spéciaux.
.es mesures électriques sont abordées par la description des étalons et
F') Leçons sur l'Electricité , 4* édition ; 1895. Paris, Gauthier-Villars et fils, rolumes grand in-8; 24 fr.
l’exposé do méthodes générales employées pour la détermination ci
. t i ..a Hoc fnrftAfi PlftPlrOtTlO
tensités de courant, des quantités d’électricité, des forces clectromo des capacités, des puissances électriques et des coefficients d indu Pour les essais précis, j’insiste sur l’emploi du galvanomètre D d’Arsonval et de ses dérivés qui sont utilisés de plus on plus. J ai c à éviter les calculs fastidieux, auxquels se prêtent certains dispositif périence, tels que le Pont de Wheatstone, pour me borner aux de
pements mathématiques d’une utilité réelle.
Comme on le verra par l’examen de la Table analytique des malièi méthodes d’essais ont été classées de manière à venir en aide à la inc Les essais magnétiques sont traités avec l’ampleur que leur împo comporte. Depuis les travaux de MM. Hopkinson et Ewmg, lapermi et l’hystérésis du fer employé dans la construction des machines triques sont éprouvées avec autant de soin que la conductibilité du
qui sert à la fabrication des bobines.
Après les procédés généraux de mesure, viennent les applicatio essais des galvanomètres, des câbles, des lignes télégraphiques, des r électriques, des piles, des accumulateurs, des machines électrique moteurs et des transformateurs. J ai commencé par les application lesquelles on n’utilise quo des courants faibles et de basse tension < élèves peuvent aborder sans danger pour eux-mêmes et pour lcsap qu’ils emploient. Cos premiers exemples, qui constituent d excellent cices par lesquels les débutants s’habituent à traiter les problèmes rigueur scientifique et à comparer les résultats fournis par les divers tliodes, ont etc multipliés à dessein. C’est après seulement que v les essais des générateurs et transformateurs de courants intenses
généralement un caractère plus industriel. , ,
Les notations employées dans le cours de 1 Ouvrage no s ecarlen de celles proposées par M. Hospitalier; l’emploi de majuscules rond les grandeurs magnétiques a été étendu autant que possible.
M Do Bast, répétiteur, et M. Brunhes, assistant ù 1 Institut éloc nique Montefiore, m’ont aidé dans la révision des épreuves de ce I
les en remercie. *' '
Titres des Chapitres.
Introduction. 1. Exécution, discussion et compte rendu d a* essai: l sures géométriques et mesures mécaniques utiles à 1 électricien. 3. Dhotométiiques utiles à l’électricien. - Mesures électriques. 4 Et ‘mesure. 5 . Commutateurs et clefs. 6. Mesure, des courants par les mètres à aimant fixe. 7. Mesure des courants par les fMva.mmelres mobile. 8. Galvanomètres et amperemetres divers. 9. Mesure tics basée sur les actions électrodynamiques. 10. Mesure des courants les elTets calorifiques. 11. Mesure des potentiels basée sur es mcllio. trostaüques. 12. Mesure des potentiels par les méthodes électroni.igi 13 Mesure des résistances. 14. Mesure des capacités. 15. Mtsurt d sances électriques. 10. Compteurs électriques. 17. Mesure d une ditl. nliase 18 Mesure des coefficients d’induction. — Mesures ma g net Mesure de î’ intensité des champs magnétiques 20 magnétique et de l’hyslérés.s. - Applications- JL Résistance d un
gnétiaue et de l’hystérésis. — Appu^cc.^^.
mètre 2^. Résistance des électrolytes. 23. Résistance des terres. ^ mi nation des résislibilités. 25. Résistance des canalisation » g ôfi Isolement des canalisations. 27. Capacité des canalisations. 28. Ce d’induction des canalisations électriques. 29 Lignes des réseaux électriques. 31. force motrice des piles bydro-elccti ique cumulateurs. 33. Générateurs et moteurs à courant continu. 3i. Alt et altcrnomotcurs. 35. Transformateurs. — Renseignements pratiqu
Nw V égalité de Clausius ;
Par M. P. DURE AI.
Tout le monde connaît la forme sous laquelle Clausius a étendu le théorème de Carnot à tous les cycles réversibles et la méthode cjui lui a permis de déduire du théorème de Carnot cette forme plus générale. G. Kircldioff ( 1 ) a quelque peu modifié cette méthode sans en changer l’esprit essentiel.
Ces démonstrations ne peuvent être rendues rigoureuses que moyennant l’emploi de précautions longues et minutieuses; dans la seconde Partie (2) de notre Commentaire aux principes de la Thermodynamique, au Chapitre III, nous avons indiqué quelles précautions exigeait la démonstration de Clausius; ce que nous avons dit pourrait être presque textuellement répété en ce qui concerne la démonstration de G. Kircldioff.
Nous nous proposons d’indiquer ici une démonstration qui, tout en étant susceptible de la même rigueur, nous semble plus brève et plus élégante.
Nous supposerons établi que, pour tout cycle de Carnot réversible décrit entre les températures ( lues sur un thermomètre quel-
(') G. Kirciihoff, Vorlesungen iiber die Théorie der Wàrme, p. 58 (Leipzig, i8g4).
(2) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4e série, t. IX, p. 9. g 3 ; i893.
conque ) Sr, Sr'
P. DUHEM
on a l’égalité
F(£r) élanl la température absolue qui correspond à la température Sr, lue sur un thermomètre quelconque, et Q, Q' désignant les quantités de chaleur dégagées par le système pendant qu'il parcourt respectivement l’isotherme relative à la température Sr et l’isotherme relative à la température Sr'.
Nous garderons ensuite tout cc qui a été dit aux nos 1 et du Chapitre III du Mémoire considéré, sauf, toutefois, une phrase du n° 2. Cette phrase est la suivante :
« Nous admettrons qu’un espace à adiabatiques réversibles ne se ferme jamais sur lui-même comme une ligne fermée ou une surface fermée, mais qu’il forme toujours un espace simplement connexe s’étendant jusqu’aux limites du champ des valeurs de a, fi, . . ., A, Sr. »
Cette phrase énonce une restriction inutile; elledoitêtre supprimée.
Les équations d’équilibre du système étant
les coefficients calorifiques du système en équilibre sonl des fonctions de a, fi, . . ., A, Sr définies par les égalités
çNJ f*t
dU h ~ o:n E
sur l’égalité de clausius.
où E est l’équivalent mécanique de la chaleur et U l’énergie interne, fonction continue et uniforme de a, (3, . . X, 9.
Nous supposerons que Ra, Rp, . . R>, C sont, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre par rapport à a, (3, . . ., X, S, des fonctions continues de a, [3, . . ., X, 9.
Nous remplacerons les développements donnés à partir du n° 5 du Mémoire cité par les suivants :
5. Propriété fondamentale des cycles isothermiques. — Considérons un cycle isothermique réversible ; un tel cycle peut évidemment être regardé comme un cycle de Carnot particulier dans lequel les deux températures limites 9, 9' sont égales entre elles. L’égalité (i) conduit alors au théorème suivant :
Si un système décrit un cycle isothermique réversible, il dégage une quantité totale de chaleur égale ci o.
La quantité de chaleur dégagée durant une des modifications isothermiques élémentaires, dont la suite constitue le cycle, a pour valeur
dQ = — (Ra dot -h Rp é/(3 -+- . . . -+- Rx d'h).
Le théorème précédent donne donc, en vertu des égalités (3),
° -J ( dai + dl d$ +" • oï
~ £ / (fa d* -+- /p d$ -h . . . -+- fi dX).
Or, la fonction U étant une fonction uniforme et continue de a, [3, . . ., X, 9, la première intégrale, étendue à un cycle le long duquel la température 9- demeure invariable, est égale à o. L’égalité précédente devient donc
(4) j*( /a da. -+- /p e/(3 h- . . . -+- fi dX ) = o,
ce qu’on peut énoncer de la manière suivante :
Lorsqu’ un système parcourt un cycle isothermique réversible, le
Journ. de Math. (5* série), tome V. — Fasc. II, 1899. 23
P. DU H EM
travail effectué , durant le parcours de ce cycle, par les actions extérieures qui, ci chaque instant, le maintiennent en équilibre, est égal à o.
Ce théorème a été donné par J. Moutier.
Considérons dans l’espace des a, 3, X, £r, une ligne fermée quelconque le long de laquelle & garde une valeur constante. En vertu du corollaire énoncé au n° 1 du Mémoire cité, cette ligne peut toujours être regardée comme le tracé d’un cycle isothermique réversible auquel l’égalité (4) est applicable.
Il existe une fonction (j(a, (3, . . ., A, x) telle que l’on ait
“ dl '
Lorsque x est maintenu constant, celte fonction est une fonction uniforme et continue de a, [3, . . ., X.
On peut toujours lui ajouter une fonction arbitraire de S.
ï. Continuité et uniformité de la fonction (J. — Si la température varie, la fonction (J peut n’être plus une fonction uniforme et continue des variables a, [3, . . ., X, x. A cet égard, nous poserons successivement deux questions :
1 0 Peut-il exister , dans l’espace ci n dimensions des a, [3 , . . . , X, un espace à (n — 1) dimensions tel que la fonction ç(a, [3, ..., A, £r) varie d’une manière discontinue lorsque le point (a, [3, . . ., A, S") , se déplaçant d'une manière continue, vient à traverser cet espace ?
La fonction (j(a, [3, . . ., A, <x) devant varier d’une manière continue le long de tout chemin isothermique, on voit qu’aucune ligne isothermique ue peut traverser l’espace D; cet espace est donc isothermique.
Si la fonction (/(a, [3, . . . , A, £r) est discontinue le long d’un espace D, à {n — 1) dimensions, tracé dans l’espace des a, (3, ..., X, ib, la température a la même valeur en tous les points de l’espace T).
suit l’égalité de clausius.
Menons, s’il en existe, au travers de l’espace à n dimensions des a, [3, ..., X, 5, les espaces isothermiques D, D', D", ... le long desquels la fonction g peut être discontinue; soient G, 0', 0", ... les températures auxquelles correspondent ces espaces. Ces espaces à n — i dimensions divisent l’espace des a, [3, . . ., X, £r en espace à n dimensions partiels, tels qu’au sein de chacun d’eux la fonction Ç varie d’une manière continue; ainsi la fonction (J sera assurément continue si la température S demeure comprise entre G et G'. Mais, dans ce domaine, cette fonction peut n’être pas uniforme. D’où la question suivante :
2° Dans une région de l’espace des a, (3, . . ., X, £r, où elle varie d’une manière continue, la fonction (j admet-elle un espace critique C à (n — 2) dimensions?
Un tel espace critique est d’ailleurs défini de la manière suivante :
Si deux cycles y, y', tracés dans la région considérée, peuvent être amenés à coïncider comme forme et sens de parcours sans que ni l’un
ni l’autre rencontre l’espace C, les deux intégrales Ç d§, j cùjont la
même valeur. Si, pour venir d’un mouvement continu se superposer au cycle y, le cycle y' doit avoir avec l’espace C au moins une rencontre, et s’il n’est pas nécessaire qu’il ait plus d’une rencontre, les deux inté-
Considérons d’abord deux cycles y, y', isothermes et relatifs à la même température £r. La fonction (j étant uniforme et continue
lorsque £r ne varie pas, les deux intégrales d(j auront la même
valeur. On en conclut sans peine que l’espace isothermique considéré
ne peut avoir, en commun avec l’espace critique C à (n — a) dimensions, un ou plusieurs domaines à (n — 3) dimensions; s’il en était ainsi, en effet, on pourrait tracer en l’espace isothermique considéré un cycle y susceptible de se réduire à un circuit évanouissant sans tendre vers un point de l’un des domaines à ( n — 3) dimensions, et aussi un cycle y', susceptible de tendre vers un point de l’un de ces domaines; il est clair que, pour amener le circuit y' à coïncider avec le
P. DUHEM
circuit y, il serait nécessaire et suffisant de rencontrer une fois et une seule l’espace critique C, en sorte que j" d(j et j" d(j auraient des valeurs différentes, contrairement à ce que nous venons de démontrer. Donc, deux fails peuvent se présenter :
Ou bien l’espace isothermique 2j ne rencontre pas l’espace critique C;
Ou bien l’espace isothermique 2r a, avec l'espace critique C, en commun, un domaine continu à ( n — 2) dimensions. D’où le théorème suivant :
Si, clans une région où elle varie d’une manière continue, la fonction Ç admet certains espaces critiques C, C', ... ci (n — 2) dimensions, chacun de ces espaces appartient en entier à un espace isotherme à ( n — 1) dimensions.
Soit 2? = l l’équation qui caractérise un espace isothermique I, supposé contenir un espace critique C. Soient t' <f t et t" t deux températures telles que, lorsque 2? varie entre les limites t' , l" , la fonction (j varie d’une manière continue et n’admette pas d’autre espace critique
que l’espace C. Proposons-nous d'étudier la valeur de j dçj le long de
cycles non isothermiques rencontrant l’espace 1 ; pour ne point entrer en d’inutiles complications, considérons seulement les cycles qui percent l’espace I en deux points : l’un, M, où la température passe de valeurs inférieures à t à des valeurs supérieures à /; l’autre, N, où la température passe de valeurs supérieures à t à des valeurs inférieures à t.
Il est clair que deux cycles pour lesquels les points M, N sont les mêmes peuvent être amenés à coïncider sans que ni l’un ni l’autre rencontre l’espace C; J" dç a donc pour ces deux cycles la même valeur.
Pour connaître cette valeur, on peut donner une forme particulière au cycle qui passe par les points M, N. Supposons que les (n — j) égalités
(6) R«=o, Iïp=o, ..., R> = o
ne soient simultanément vérifiées ni au point M, ni au point N.
sur l’égalité DE CLAUSIUS. I 8 1
On pourra alors, par chacun de ces points, mener au moins d’une manière une ligne infiniment petite vérifiant l’équation
Rac/a + Rpc/[3 . .-h R)f/A -h Ctfô = o
et représentant par conséquent une modification adiabatique, sans que l’on ait le long de cette ligne
dh = o.
Au point M, menons une telle ligne infiniment petite, du point m, où h — t — £, au point m' , où h — t -b t. De même, au point N, menons une telle ligne infiniment petite, du point n, où h = t — e, au point jï , où h = t -+- e. Joignons les points m , n par une ligne isothermique, de température (l — e), et les points m', n' par une ligne isothermique, de température (/ + £).
nous
Le long du cycle mm' n' nm, l’intégrale Jt d(J a la valeur que nous proposons de calculer; d’ailleurs Ç dç et Ç c/(j étant visible-
*• ' m ni ' t-/ n ' n
ment des quantités infiniment petites, l’intégrale dont nous voulons calculer la valeur diffère infiniment peu de
Mais le cycle considéré est un cycle de Carnot réversible, auquel l’égalité (i) est applicable. En vertu des relations (3) et (5), cette égalité devient
FU — e)
f (°ldy
EF (£ -I- e ) Jm,n\ da. ay' FF (t-e)fn.
°^dy.
ih
àÇ
dp
dp
La fonction U étant uniforme et continue, la somme (jui figure à la
P. DUHEM
première ligne est infiniment petite. Si l'on observe que le long des lignes m' n' , nm, S ne varie pas, on voit que l égalité précédente entraîne la conséquence suivante : La quantité
dq
('si infiniment petite. Cette proposition équivaut d’ailleurs à celle-ci : La quantité
f dg + f dg
m' n' nm
est infiniment petite; ou enfin à celle-ci :
Pt use le long d’un cycle qui est tracé dans une région où g varie d’une manière continue cl qui rencontre l’espace I, l’intégrale ■
est égale ci o, pourvu qu’en aucun des points de rencontre du cycle et de l’espace I les ( n — i) égalités (6) ne soient simultanément vérifiées.
Cette proposition, à son tour, entraîne celte autre :
Si, dans l’une des régions où g est fonction continue de a, (il, . . ., "h, il n’existe aucun domaine à (n — i) dimensions, d’étendue finie, en tout point duquel on ait les n égalités
£ r= const.,
Ra= o, Rp— o, ..., R> = o, dans cet espace, la fonction (J est fonction uniforme des variables
S’il existe un domaine d’étendue finie , à (n — i) dimensions, en tout point duquel les égalités (8) sont vérifiées, il se peut que la
SUR l’égalité de clausius.
fonction (j1 ne soit pas uni forme. Le domaine en question forme alors une coupure artificielle transformant la fonction Çj en fonction uni forme, mais discontinue .
Considérons maintenant un espace isothermique D, représenté par l’équation & = l, qui puisse être pour la fonction (j un espace de discontinuité. Nous pourrons toujours, d’après ce qui précède, trouver deux températures : l’une, t' , inférieure à /; l’autre, t", supérieure à t, telles que la fonction f j soit continue et uniforme lorsque la température varie entre t' et t , et aussi continue et uniforme lorsque la température varie entre t et t''.
Cela étant, prenons, en l’espace D, deux points M, N, tels que les égalités (Ci) ne soient simultanément vérifiées ni au point M, ni au point N. Par ces points faisons, comme dans le raisonnement précédent, passer un cycle de Carnot mm! ri! nm et appliquons l égalité (i). Nous obtiendrons ainsi l’égalité (7) que nous pourrons écrire
Lb'u o
r hW)
■ (iK)
Çj(n)
LF(f-s)
Faisons tendre £ vers zéro. Comme l'énergie interne U est une fonction continue, chacun des deux premiers termes entre crochets tend vers zéro, et il reste
Lim [(j(m') - <j(/»)] = Lim [(,’(/*') - £(/*)].
Lors donc que la température, en croissant, passe par la valeur t. la fonction (j augmente d’une quantité C (qui peut être o) indépendante des valeurs de a, [3, ..., A au point où l’espace D a été traversé, à moins qu’en ce point les équations (G) ne soient toutes vérifiées.
Mais à la fonction f/ on peut toujours ajouter, sans manquer à aucune des conditions auxquelles elle doit satisfaire, une fonction arbitraire de la température, continue ou discontinue. En particulier, nous pouvons ajouter à la fonction (j une fonction de la température, discontinue en tout point de l’espace D, et croissant brusquement de
P. DUHEM
( — C) lorsque S, en croissant, passe par la valeur t. La nouvelle fonction Çj variera alors d’une manière continue lorsque le point figuratif traversera l’espace D, à moins que cet espace ne contienne un domaine fini, à (/i — i) dimensions, en tout point duquel les égalités (H) seraient vérifiées.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
On peut toujours supposer que la fonction (j(a, (3, X, £r) qui figure dans les égalités (5) est une fonction continue et uniforme des variables a, (3, . . A, £r, pourvu que l’on exclue du champ de variation de ces variables tout domaine à (n — i) dimensions, d' étendue finie, en tout point duquel les équations
Sr = const. ,
l R* — o, Rp — ‘ i R^j
seraient simultanément vérifiées.
Ce n’est que par une hypothèse que nous pouvons nous débarrasser de cette dernière restriction et dire :
En toutes circonstances, on peut supposer la fonction (J continue et uniforme dans tout l’espace des oc, (3, . . ., A, S.
a. Emploi du cycle de Carnot élémentaire. — Considérons, dans l’espace des oc, [3, . . . , A, 2r, un point où l’on n’ait pas les (n — i) égalités
(5) Ra = o, Rp=o, ..., lC = o.
Admettons qu 'au voisinage de ce point les fonctions Ra, Rp, . . . , R) , C soient continues et admettent des dérivées partielles. Alors, au voisinage du point considéré, la fonction ff est certainement continue et uniforme; en outre, l’équation
Ra doc — i— Rp c/[3 — h . . . R> d'h -t- C dià = o n’a pas pour conséquence
dS = o,
sur l’égalité de clausius.
en sorte que, par le point considéré et par les points voisins, on peut mener an moins une ligne adiabatique réversible qui ne soit pas une ligne isothermique et ne soit pas tangente à une ligne isothermique.
Soit i(a,, 3,, .. A,, 2r)le point considéré. Par ce point menons
une isotliermiquc réversible 1-2 qui nous amène au point infiniment voisin 2(aL>, (32, . . ., X2, £r). Soit S'une température infiniment voisine de Sr. Par le point t menons (ce qui est possible) une adiabatique réversible i-i' le long de laquelle on n’ait pas cVh = o. Sur cette adiabatique se trouve un point
infiniment voisin du point r où la température est 3r'. De même, par le point 2, menons une adiabatique réversible 2-2', le long de laquelle on n’ait pas cfâ = o. Sur cette adiabatique se trouve un point
2 (a2> Pa- • • '1 ^2 1 ^ )l
infiniment voisin du point 2, où la température est Relions les points 1', 2' par une isothermique réversible i'— 2'.
Le cycle i-2-2'-i'-i est un cycle de Carnot réversible auquel on peut appliquer l’égalité (1).
Celte égalité nous donnera l’égalité
IÇ, ( aa — gi ) + rtp, ( P2 — ih ) ~t~ • • • + f>>,, ( — x 1 )
ai)+Rp,(p2 Pi) ■+■ • • • ■+" Ft),, (^2 Xj)
égalité dans laquelle
R'a, = R«(a., Pi, • • - , C, &),
En négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur au second,
Jour/t. de Math. (5' série), tome Y. — Fasc. II, 1899. - l
1 86 P. DUHEM
l’cgalilé précédente peut s’écrire
dRq,
dà
1 ) + Rfj, ( ?
2 Pl ) + •
ai) 4-
0 \ dRx, , .
- al) +
dp! U '
dRa + dX,
CA- a,)
dR?, / o' dp,
dRfj
dX,
rdRXl/
dpi
, dRx, dX,
a.) +- Rp
+ Rx
Mais, d’autre part, en écrivant que les lignes (t — i '), (2-2') sont des adiabatiques réversibles, nous trouvons
i'a, (a, — ai ) + Rp,(P, — ^1 )-)-••■ + Rx.Os — ^1 ) •+• C| — s) — o, Ra,(«2 — a2) + — ^2) -+-...4- RxX^ — é2)+ C2(&' — Sr) = O.
En retranchant la première égalité de la seconde et en négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur au second, nous trouvons
(aa - a< ) + (Pa —?.)+•• • + ^7 (K ~ Ai )] (ai — a')
dp,
dRs,
^ ^ (ft“ K) + • • • + 3P « " >» (P'-PO
*Va-o + ^<p;-p'.)+
da(
dC, /
dCi /o Q \
dp, ■ ‘ - dc>
dX,
dRp,
dR)„
A ( 4- A , ) dC,
sur l’égalité de clausius. 187
La comparaison des égalités (9) et (io) donne immédiatement l’égalité
Mais (a2 — a,), ((L — (3,), . . (X2 — X,) sont des quantités infiniment petites arbitraires, en sorte que les coefficients de ces binômes doivent être tous nuis. En supprimant l’indice 1, désormais inutile, on peut énoncer le théorème suivant :
En tout élut (a, (3, . . . , A , £r) du système où les (n — 1) égalités
(6) Ra = 0, Rp = o, . . . , R), = o
doc.
dCt
d Rp, ]
dC,
d Rx, 1
F(Sr)
dX1
ne sont pas simultanément vérifiées , on a les relations
dC
do<
dC
dC
Rx
dA
dS
Si nous supposons continues les dérivées partielles des coefficients calorifiques Ra, Rp, Rx, C, nous voyons sans peine que les égalités (11) sont exactes en tout point de l’espace à n dimensions des a, [3, A, £r, à moins que cet espace ne renferme un domaine d’étcnclue finie, à n dimensions, en tout point duquel les égalités (5) sont vérifiées.
C’est seulement par voie d’uvpoTHÈsE que cette dernière restrio-
P. DP H EM.
lion peut être levée cl «pic nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Les égalités (i i) sont exactes en tout point de l’espace à n dimensions des a, [3, . . X, 2r.
On voit alors que, s’il existe un domaine à n dimensions en tout point duquel les égalités (5) sont vérifiées, on a aussi, en tout point de ce domaine,
el la capacité calorifique C est, en ce domaine, fonction de la seule température iz.
6. Potentiel thermodynamique interne et entropie. — Les égalités (3), jointes aux égalités ( >), nous permettent d écrire
^ R* 0 EU — q
F rt-A o eu -
^F(Sr) “ à), F (S)
D ailleurs, les égalités ( 1 1) et (i3) donnent
.. <) C 0 / d EU — <)' ‘ <ïi F (Sr ) 0'h\<Yz F(^)
(’es égalités nous enseignent que les deux fonctions uniformes et
conlinues et y1 ne different l’une de l'autre que par une
fonction uniforme et continue de la seule variable £r, cp(S) :
ô EU — q
c ô eu — g F(ï) - te F(&)‘
Déterminons une fonction uniforme et continue de S, lE(~), par la condition
et posons (iG)
d V(3r) /CA
S IW = - ?<*)-
Q + ff (^)?
ainsi
«pic
