XX I

(xxi

r.ette résultante U agit horizontaleinenl dans le plan dont l’ordonnée est •

•î *■. -H.ri

Ixxii)

.Enfin le volume V de la demi-arche et de la partie correspondante du massif a pour expression

V =■• Xep, sina,.

(xxiiit

Dans les arches complètes on a sensibleiuent siua, = i .

(Voir n“ 41 les remarques relatives à la largeur des piles.)

On peut obtenir une vérification relative aux poussées borizon. taies par l'équation suivante :

«Acfi, = T, cosa, L , (xxiii bis)

qui se déduit de la considération de l'équilibre des forces qui sollicitent rcnscmblc de la deini-voùtc et du massif, projetées horizontalement, ou des équations du n° 9.

Les intensités, directions et points d'application des forces T, et U doivent servir de base à l’établissement des culées; il y aura encore à examiner quelles sont les plus grandes variations que peuvent subir ces quantités sous l’influence dus surcharges accidentelles, tassements, etc., pour procéder avec sécurité è l’ét»-

DES ARCHES l)E PONT. 189

bli&senient des culées. Cependant, si l^n procède à l'égard de celles-ci comme nous l’avons fait à l’égard de la voûte , il ■pourra bien être suffisant de s’en tenir aux charges moyennes.

CALCDL DES COORDOSSÉtiL. ISCLIKAISOS9 DES JOIVrS, R.tTOSS DE CODUOEE.

•• ÉFAIMEDM. ETC.

I.es calculs- si 4 vants supposent le projet bien arrêté ; on n’aura besoin de les efifectuer que lorsqu’il s’agira de passer à l’exécution.

x“, y' et p' étant les coordonnées et le rayon de courbure de l’inti-ados fictif correspondants à l’angle a d’un plan' de joint avec la verticale, et Ar', Ay", Ap* les accroissements finis que prennent les coordonnées et le .rayon de courbure lorsqu’on fait croître a d'une quantité iinie Aa; on a, pour calculer ces accroissements, les formules

Q* - €* CCtttt

/■-V- />' >in 1

1 Aa

r -h- fl «ni

(xxiv)

Ay' = ^p’ -4- - -^p*^ sin^a Aaj Atx,

A.r' = ^p' ^ Ap'j cos^at -•*- Aaj A*.

dans lesquelles l’angle A oT^e'ii 'dehors des signes* sinus et 'cosinus doit, être exprimé en rapport d'arc aa rayon. Cela se fait en multipliant le nombre de degrés correspondant psœ (tr désignât

le rapport de la circonférence' au diamètre) t on évite ce calcul en se servant des tables que l’on trouve pages 2 14 et suivantes des Tables de Callet. Les trois dernières des formules {trécédentes

sont seulement approxinlatives , et d'autant plus exactes ^ue As

est plus petit.

Dans la pratique, on prendra Aa égal à a® ou 3“, et l’on fera varier l'angle a de la même quantité A a, du moins pendant une grande partie des calculs. On devra commencer ces calculs en. attribuant à a, y’ et x‘ les valeurs zéro, h' et zéro, qui ont lieu au sommet de l’intrados fictif. Chaque fois que l’on aura obtenu une noitvelle valeur de p’, il conviendra de l’ajbuter à la précédente, et de prendre leur moyenne arithmétique; le résultat devra

différer très-peu de la dernière valeur calculée de p’ -h - Ap", ce qui offrira un moyen de- vérification. (Voir n° Û2.)

On déterminera en.suite fépaisseur vraie e mesurée suivant la normale à fexlrados, par les formules

aÆ = j^/ou aÆ = e = e-(-ai; (xxv)

puis les coordonnées X, Y de f intrados réel et celles x, y' de l’extrados, par les relations

Y = y’ -t- a lî cosa, y = y° — c cosa, J

I (xxvi)

X = x’ — a^ sina, x' = x' -4- e sina. I

Les valeurs de y’ et p' sont vérifiées chaque fois, ainsi qu’il vient d’être dit; mais les autres quantités ne l’étant pas, il conviendra, à leur égard, d’employer le procédé -des différences.

Parvenu à une valeur de » qui excède l’angle a, déterminé plus haut, on recherchera par voie d’interpolation les valeurs correspondantes de Y et de X : ces valeurs devront très-peu différer de Y, -t- / et de g (Y, désignant fordonnée du sommet de l’intrados ou h' -f--ai,), et offriront ainsi un moyen de vérilication générale <fes calculs. >

TRACl DU PIIOPIL OE LA TOUTE AD HOTEK DD EAVON DE COBRBDRE DE l.’lirTBADQS FICTIP.

Indépendamment de la quantité q déterminée précédemment, les constantes nécessaires pour effectuer le tracé sont :

tangE'.ÈX'

(.\XVIl)

()n remarquera que cet angle E',E‘É*, dans le ca.s des arches complètes, se trouve être égal au complément de l’angle a, du dernier joint avec la verticale, ou à l'inclinaison de ce joint sur l’horizon.

Nous renverrons au n“ 43, pour ce qui est relatif A la construction du rayon de courbure p' de l'intrados fictif. Ajoutons cependant une remarque sur la manière de procéder au tracé.

L’arc que l’on se propose de décrire avec un rayon p' étant supposé très-petit, mais non pas infiniment petit, on atténuera l’erreur commise par ce fait, en décrivant ie petit arc à l’aide du rayon de courbure correspondant ou à peu près au milieu de cet arc. A cet effet, il faudra s’y prendre à deux fois, du moins vers le sommet de Tiptrados; la première fois, on déterminera le rayon de courbure correspondant à l’extrémité connue de l’arc à décrire, et l’on décrira avec ce rayon un arc d’une amplitude donnée en degrés. On prendra alors le milieu de cet arc et l’on construira le rayon de courbure correspondant; on se servira de ce nouveau rayon pour tracer délinitivemeilt l’arc d’amplitude donnée : on obtiendra de cette manière une suffisante exactitude. Lorsque l’on aura décrit de la sorte plusieurs petits arcs d’une même amplitude, on pourra prévoir assez approximativement la position du point milieu

de l'arc à décrire, pour éviter de faire le tracé de cet arc à deux

reprises difféi-entes.

Nous allnps maintenant présenter quelques applications des règles qui viennent d’être exposées.

APPLICATIOINS.

AliCHf:S INCOMPLETES. DITES EN ARC DE CERCLE

piieMir.il rxEHrrr.

Pont d'iéna, à Paris

^l6. I.es calcids suivants ont été faits eu partant de données que nous «vons lieu de regarder connue un peu incertaines : mais il s’agit seulement ici de montrer par un exemple l'usage de nos tables et de nos formules; pour cette raison, nous nous sommes dispensé de faire des rcchercbcs dont le ré.sullal nous eût peutêtre obligé à recommencer les calculs.

Les données sont:

Demi-ouverture

Flèche - 1

Ordonnée du sommet de l'intrados. .

à ces quantités, nous joindrons la hauteur p, qui représente la charge dans le plan des naissances, et nous supposerons

■ fx, = 65“,o4a i •

et le poids © du mètre cube,

’ ' ! © =^44o kil.

(') hes décimales qui figurent ici et dam la valeur de (ti ticoocnl a CQ^que nous 4VOOS voulu utiliser des calculs faits en partant de la quantité h cnrome donnèé. laquelle étaft égale h o^.qo. "1 '

Nous suivrons la marche tracée dans le numéro précédent. Il vient d'abord

-=s il, 16667; "y “ O.68A7I.

A l'aide du premier de ces dciix nombres, la Table I donne aisément :

rdilTér.

l'difT.

-t- o.gSii

pour 0.6 6,6903

' partM prop. . . . ^ 0,79466

3 * diff. * *6

on en déduit

v«ieur ipp/ocliéfi. Q* 69,166.

àQVATlOII (j).

0,1 it

i.oSt

éQ 04 iieii.(u). :.çiU

I ** «pMtMPMiliim l,^ = e,o6>7

WV» , 1 t.

•— 9 .. Jr ■ ^

>' .pproninMioii. 1. 1 ^ 0,0871 <

J 9 ii

La Table 11 donne, à Faide des valeurs de

?ct^ / /’

d’où ■ , 0,4*7

valeur corrigée. Q*m€9,6i3

éo«ÀTio. (,).

L 6 es 0,7781 1.6Q‘=-=i.6ao8

... LY.m«.3i«6

— - — Y, » — o,oo 64 o. I. « 7,8060 —

i,oi 7^3 i.

En se servant de celte valeur et de celle de Q*, on peut obtenir une valeur plus exacte de l’épaisseur fictive e. A cet eflet, on a:

iODlTIOIt (il).

^ M 6i,ga6

(léDoin. «I 6n.6A i 1. déoom. « 1,78x79

valeur corrigée r m 1 , 1 479 I. < » 0,06990

Nous devons faire remarquer que lasurcharge A = A’— c = o“,90 environ ne pèche pas par excès de petitesse : elle présenterait plutôt l'excès contraire.

(’) Ce nombre provient iTunc première approximalinn obtenue en faiunt luage de ia valeur 0.770 einplovée plus liaut-