INTRODUCTION
En 1940, S. Bays et CHUIN-CHE Hsra ont établi (Cf. Commentarii mathematici helvetici, vol. 12, fasc. IV) que le nombre de systèmes intransitifs (ou colonnes cycliques) en lesquels se répartissent les combinaisons i à i de m éléments par les substitutions du groupe cyclique de degré m est :
Lie ddx
NN EC Ed) Cr (1) dx |$ ddx
où à est le p.g.c.d de ïi.et m ; d un diviseur de à ; dx un diviseur dé #
\ ddx LR: m Em le nombre des combinaisons ne à à à de ie u(dx) est la fonction de MÔBIUSs telle que : # (dx) = 1 pour dx = Î, (dx) = (— 1} si dx est le produit de r (r > 1) facteurs premiers différents,
u(dx) — O dès que dx est divisible par un facteur premier au carré.
nombres;
1) m et i seront toujours des nombres entiers positifs.
?) Groupe métacyclique au sens de S. BAys. Cf S. Bays « Sur la transitivité et la primitivité des groupes de substitutions ». Commentarii mathematici helvetici, vol. 22, fasc. I, p. 27.
ER
Cette formule, valable quels que soient les entiers i et m, prend une forme simple lorsque i et m sont premiers entre eux :
CE | Ni = mm (2)
Comme sujet de thèse, Monsieur le Professeur S. Bays m'a proposé de résoudre le même problème, mais avec le groupe métacyclique d’ordre m. y (m) ; il s’agit du groupe qu’il a défini et déjà utilisé dans plusieurs travaux et qui est constitué des substitutions!: w —"|:x, a Fbr-|foù a = 0,12%m—tretsoù les b sont les y {m) nombres de la fonction d’Euler, c’est-à-dire les entiers b premiers à m et tels que 1 <b< m. Un tel groupe est donc bien d’ordre m. y (m).
Ce problème est beaucoup plus complexe qu'avec le groupe cyclique qui comprend seulement les m substitutions : r — x a x loota= 0,12. m=t.
De plus, le procédé de Cauin-CHE Hsra ne donne rien ici. Et c’est une nouvelle méthode qui m’a permis de résoudre cette question, mais seulement pour m premier et pour i — 1,2,3 et 4. Toutefois, j'ai démontré, en même temps, des propriétés nouvelles sur les congruences dont la preuve directe paraît très ardue.
Mais l’établissement du nombre de ces systèmes intransitifs (ou colonnes métacycliques) n’a pu se faire qu'après l’introduction de la caractéristique d’une colonne cyclique. Et cette notion de caractéristique m’a conduit aux décompositions d’un nombre m en sommes de i nombres. Ce sont des décompositions particulières, non encore envisagées jusqu'ici, et dont le nombre est précisément donné par la formule (1). Comme ce nombre Nix de telles décompositions intervient dans le calcul du nombre des colonnes métacycliques, ce problème sera donc traité en premier lieu. C’est du reste une question assez vaste qui fera l’objet d’une publication ultérieure, et je n’en donnerai ici qu’un développement limité.
$ 1. Historique.
En 1740, Ph. NaAuDE, professeur à l’Université de Berlin, propose ce problème aux mathématiciens : frouver le nombre de décompositions de 50 en la somme de 7 nombres différents. Comme ce nombre est de 522, il s’agit de concevoir une méthode. C’est EuLER qui résout cette question, et qui publie, en 1750, son ingénieux procédé ?). Il mentionne aussi d’autres genres de décompositions d’un entier en sommes d’autres entiers et relie entre eux, par des formules simples, ces différents modes de décomposition. C’est ainsi qu'il fonde la fhéorie additive des nombres qui sera un terrain de recherches très fécond pour CAYLEY, SYLVESTER, VAHLEN ). Cependant, EULER n’a résolu le problème de NAUDE qu’à l’aide d’une formule de récurrence qui lui a permis d'arriver de proche en proche à m = 50 et i — 7. Une formule générale serait donc d’un grand intérêt. Pour ma part, je n’ai pu obtenir une telle formule que pour i<5 et m quelconque. Par contre, les nouvelles décompositions que j'introduis sont au nombre de Ni donné par la formule (1), applicable pour un i et un m quelconques.
8) LEONHARDI EULERI : Opera omnia, Commentationes arithmeticae, volumen primum edidit F. Rudio.
4) BACHMANN : Niedere Zahlentheorie, Zweïiter Teil, Additive Zahlentheorie, Drittes Kapitel.
82. Les différents types de décomposition de m en sommes de nombres.
Comme c’est le nombre de décompositions intervenant pour chaque type qui me préoccupe, je développerai donc cette question de ce seul point de vue.
L À (i,m): nombre de décompositions de m comme la somme de nombres pris parmi 1,2,3,..,i; Ces nombres n'étant pas répétés, ni ordonnés.
ExEMPLE : A (3,4) = 1 4 = 1 +5.
