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$ 12. Sur une propriété valable pour les n;im avec m premier et i quelconque.

Les résultats obtenus pour m premier et i — 2,3,4 montrent que, dans toute colonne métacyclique, les colonnes cycliques ne peuvent pas figurer plus de i fois. Cette propriété est-elle vraie pour i > 4? Oui et on va l’établir.

Théorème 51. — Avec m premier, dans chacune deS Dim colonnes métacycliques, les colonnes cycliques ne peuvent pas figurer plus de à fois.

Preuve. En effet, soit 01 a,...a; la combinaison choisie dans l’une quelconque des nim Colonnes métacycliques, combinaison qui existe toujours avec m premier.

Le groupe R — |x,bx| la transforme en les œ (m) = (m—1) combinaisons du tableau (x). Et on va faire deux hypothèses au sujet de ce tableau :

0 1 Ageooooe Ai 0 2 2A ge... 2j (x) 0 S: 343 ones 3a;

ete en» ee le {eue ce, ses 6 ee) es 0 19 1e

I. Les combinaisons du tableau (a) sont toutes différentes. Il est toutefois possible que ces combinaisons ne se trouvent pas dans (m—1) colonnes cycliques distinctes. Cependant, on peut affirmer qu'il n’y a pas plus de i colonnes cycliques idenliques parce que la colonne cyclique contenant la combinaison 01 a,...a; renferme exactement i combinaisons possédant l’élément 0 et qui, seules, peuvent éventuellement figurer dans le tableau (x). Et, comme toutes les combinaisons d’une colonne cyclique jouent le même rôle, il est clair que le choïx de la combinaison particulière 01 a,....a; n’enlève rien à la généralité de la démonstration.

IT. Les combinaisons du tableau (a) ne sont pas toutes différentes.

Alors, en vertu de ce qui vient d’être dit, on peut encore affirmer que si une combinaison figure « fois dans ce tableau, elles figurent foutes w fois. Mais quand ce fait se produit-il ? D'une façon plus précise :

Et 7

19 À quelles conditions la combinaison 0 2 2a3...2a; est-elle identique à la combinaison 0 1 a3.….a; ? Si:

dg— 2,0 4, —1 29, à, = 24, a = 2aj1 et 2a—=1 ou ä—=2#? et 251=1 ou m—2t1— 1. Et, comme m doit être premier, il faut que i— 1 —p soit un nombre premier. En effet, si i—1—r.s on a m—25— 1 — (2r)s — 1 —(27—1). [a CERRE Or) +1] et m n’est pas un nombre premier car, avec r>1, on a 27—1>1. Les seuls nombres premiers à considérer dans ce cas sont donc de la forme m — 2P — 1 avec p premier et p—i—1.

29 A quelles conditions la combinaison 0 K Ka:...Ka;i (K > 2) est-elle identique à la combinaison 0 I a3..…...ai ?

En raisonnant comme ci-dessus on voit qu’on doit avoir m = KÏ-1- I ou, en décomposant, m—(K—1)(Ki-2+ Ki-3+..+1) et, pour K > 2, m n’est jamais un nombre premier.

Ainsi, les combinaisons du tableau («) ne sont pas toutes distinctes pour les seuls nombres premiers de la forme m — 2P— 1] où p est premier et p—i-—l.

Dans ce cas, le tableau (x) devient le tableau (8) ci-dessous où chaque combinaison figure p —i—1 fois.

0 1 2 DÉlaoteases 2

One Done D 2m) (mel) pe

Mais ces a combinaisons différentes du tableau (B) appar-

tiennent-elles à des colonnes cycliques toutes distinctes ? Oui, et on va le démontrer. En effet, chaque combinaison du tableau (8) est transformée en elle-même par chaque substitution du groupe cyclique T —{}x;2x|}. Or, on va montrer que la combinaison FFSA re 2P-1, par exemple, est la seule de sa colonne cyclique à jouir de cette propriété. Soit donc la combinaison s 1+s D'RISPP EE Sn 214$ avec s <0; par la substitution | x,2x | elle devient : 2s 2+2s 2+2s 22+2s...2P14+2s 1+2s et elle ne sera identique à la précédente que pour 2s =s ou s — 0 ce qui est impossible ici puisque s -< 0. Par suite, même dans le cas où m premier est de la forme m — 2P— 1, chaque colonne métacyclique ne contient que des colonnes cycliques qui y figurent à fois au plus, car ici, au tableau (8) correspond une colonne métacyclique où les colonnes cycliques figurent p=i—1 fois.

REMARQUE. Il en résulte que si m premier est tel que m— 2P— 1, avec p premier on a m—1—kKp. En eftet, m—1—2—2—92 (2r1— 1). Et le «Petit théorème de Fermat » dit que a? = 1 (mod n), si a et n sont premiers entre eux ; donc, si on l’applique à p premier on a g(n)—p—1 et pour p>2 on a 2P1—=1 (mod p) ou 2P-1— 1 — kp d’où m—1— Kp. Avec p = 2, on à m —3 et m—1—2et.la propriété est encore valable.

La démonstration de ce théorème amène une autre propriété :

Théorème 52. — Avec m premier de la forme m = 2P— 1, l’une au moins des ni,m Colonnes métacycliques contient des colonnes cycliques figurant p = (i—1}) fois.

PrEuUvE. Cela résulte immédiatement du fait que, si m premier est de la forme m — 2P —1, la colonne métacyclique correspondant au tableau (8) existe toujours.

$ 13. Les résultats obtenus et les diviseurs du groupe métacyclique.

On sait que le groupe cyclique H = {| x, 1+x |} est un diviseur normal du groupe métacyclique G. La décomposition de G, en fonction de H, est donc la même à droite qu’à gauche, soit par exemple :

G=H ED RIRE + [X, bom) X| + H où le groupe H laisse inchangée toute colonne cyclique, et où chacun des complexes |x, be Xx| - H change une colonne cyclique généralement en une autre.

Un autre diviseur de G est le groupe R des substitutions v — |x, bx|. D'où la décomposition :

G=R+Ix, 1+x|-R+....+]x (m—-1)+x| -R décomposition qui n’est pas la même à gauche, et où R change une colonne cyclique généralement en ç (m) colonnes cycliques différentes. Si ce n’est pas le cas, alors R a un diviseur, au moins, qui change une colonne cyclique en elle-même. Or, avec m premier, il existe toujours une racine primitive de m, c’est-à-dire un nombre 8 tel que PB?) = 1 (mod m), pour la première fois avec y (m). Par suite, le groupe R est le groupe cyclique R —{|x, 8 x|}; les diviseurs de R sont de la forme D — {|x, Bkx|} où k est un

TT Rs

diviseur de æ(m) ; le groupe métacyclique prend la forme G—{|x, 1+x|, |x, Bx|} et les diviseurs de G sont tous les groupes S = {|x, 1+x|, |x, UE

D'où la décomposition de R en fonction de D :

De même, on peut décomposer G en fonction de S : GS EC DR SE IX Dex les décomposition qui n’est pas la même à droite qu’à gauche, et où S est d'ordre m.o = m: PR. Et, dans une colonne métacyclique où les colonnes cycliques figurent w fois, S (de même que D) transforme une colonne cyclique en w colonnes cycliques identiques à celle-ci, alors que chacun des complexes |x, be : x] - S change cette même colonne cyclique en w colonnes cycliques, identiques

entre elles, mais différentes de la colonne cyclique initiale.

Maintenant, est-ce que, réciproquement, en prenant m premier, la racine primitive 6 et K diviseur de g(m)—m—1 donnant le groupe D —{}x, 8: x|} d'ordre © = 1 et le groupe S —{|x, 1+x]|,|x, 8Kx|} d'ordre m w, il existe au moins une colonne métacyclique où les colonnes cycliques figurent w fois ? Certes non, car on a constaté que pour m premier et 1 — 2,3,4, et démontré pour tout i, que les colonnes cycliques ne peuvent pas figurer plus de i fois dans leur colonne métacyclique alors qu’il peut exister des nombres w, diviseurs de m—1, supérieurs CRE

Ainsi, certains résultats obtenus précédemment peuvent s'exprimer sous une forme nouvelle.

Théorème 53. — Avec m premier, chaque colonne cyclique conju-

. ’ SORTE an — 1 quée à elle-même est un invariant vis-à-vis des groupes ( x, 62. x l ,

| et x, 1+x x, B2-x

où B est une racine primitive de m.

Théorème 54. — Avec m premier et m = 3 K+1, il existe toujours une et une seule colonne métacyclique parmi les n3,m;

et une parmi les n4M où chaque colonne cyclique est un invariant —1 RESTE vis-à-vis des groupes { a = | et ( X,1+x x, A ” l}

Théorème 55. — Avec m premier et m—4K+1, il existe toujours une et une seule colonne métacyclique parmi les nam où chaque colonne cyclique est un invariant vis-à-vis des groupes sex) effe1+x),}x pe x}

$8 14. Conclusion.

La connaissance de tous les diviseurs de G ne suffit donc pas pour se prononcer sur la nature des colonnes métacycliques incomplètes et ne donne pas leur nombre. Or, il en est de même avec les diviseurs du groupe cyclique H et les colonnes cycliques incomplètes. En effet, si m est premier, H n’a pas de diviseur et toutes les colonnes cycliques sont complètes. Mais si m a le diviseur k, le groupe H a le diviseur L = {(|x, 1+x|)K} et H se décompose en :

H=PE)x Ex) ER + |x, ax+x| - L

où L est d'ordre & —+. Et, dans une colonne cyclique où les combinaisons figurent w fois, L est le diviseur de H qui transforme une combinaison w fois en elle-même. Mais, ici encore, la réciproque n’est pas vraie et on sait, de plus, que les combinaisons figurent o fois dans leur colonne cyclique si w divise non seulement m mais i également. Ainsi s’explique-t-on pourquoi la recherche de Nm ne s’est pas effectuée à l’aide de la décomposition du groupe cylique ; et pourquoi le calcul de nim, pour m premier et i — 1,2,3,4, n’a pas utilisé davantage la décomposition du groupe métacyclique. Il faut, en effet, tenir compte du fait que, dans un cas comme dans l’autre, ces groupes agissent sur les C} combinaisons auxquelles correspondent C,, substitutions qui ne constituent pas un groupe.