CHAPITRE: II

EMPLOI DU GALVANOMÈTRE APÉRIODIQUE DEPREZ-D'ARSONVAL POUR LA MESURE DU COEFFICIENT DE SELF-=INDUCTION

Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il existe une résistance particulière pour laquelle l’équation différentielle du mouvement du cadre admet des solutions simples.

C’est la résistance :

pour laquelle les racines de l’équation sont égales et d’après laquelle on aurait par conséquent :

Ce cas particulier fournit un moyen très élégant de déterminer le coefficient deself-induction. Il suffit, en effet, de mesurer expérimentalement la résistance qu’il faut donner au circuit du galvanomètre pour que les racines deviennent égales, c’est-à-dire la résistance qui supprime toute oscillation. Cette résistance une fois connue, on fait en sorte qu’elle reste égale à ellemême dans chaque expérience, ce qui est facile à réaliser par l'introduction d’une boîte de résistances. Puis on détermine le coefficient de self-induction par les méthodes que nous avons exposées précédemment.

Les expériences que nous avons rapportées, dans le chapitre précédent, relativement à l'étude du galvanomètre apériodique, montrent que, par suite de l’accord entre la théorie et les résultats numériques, on peut compter sur une approximation d'environ 1/20, dans la valeur absolue, et de 1/100, dans la valeur relative.

Des expériences directes, faites en vue de la détermination du coefficient de self-induction, (expériences dont les détails se trouvent à la fin de ce chapitre), permettent de constater que l'erreur relative ne dépasse pas ces limites.

Nous allons exposer brièvement les deux méthodes que nous avons employées. La première repose sur l'emploi d'une résistance additionnelle et la deuxième est une méthode directe qui ne comporte qu’une seule observation.

1° Méthode fondée sur l'emploi d'une résistance additionnelle

On établit l’équilibre du pont; on relève la clef de la pile et on observe l'impulsion à du galvanomètre. Nous ferons remarquer qu’on

arrive facilement à noter cette impulsion, même dans le cas où les oscillations sont très rapides. Il suffit de remplacer le fil par une fente étroite, ét, après un ou deux essais, on arrive nettement à observer l'impulsion, même quand la durée des oscillations ne dépasse pas une demi-seconde. On fait alors une deuxième observation : on note la déviation permanente «, due à un courant constant i, qu’on a produit par l'introduction

, die. À. . . # ER .

Fr résistance additionnelle r, ajoutée à la résistance de la bobine ont on cherche le coefficient de self-induction. On a dans ce cas:

dt Jr < RSS = # | 5 +

Cette formule, d’une grande simplicité, est analogue à celle qui correspond au cas d’un galvanomètre périodique sans amortissement, pourvu qu’on multiplie cette dernière par e.

Il suffit, dans ce cas, d’observer la durée T, d'une oscillation simple

à circuit ouvert, et de donner au circuit total du galvanomètre une résistance telle que les oscillations soient apériodiques, tout en étant sur le point de devenir périodiques,

La détermination d’un coefficient de selt-induction, n’est guère plus compliquée, dans ces conditions, que la mesure de la résistance de la bobine et on peut toujours effectuer les deux mesures simultanément.

Il reste à examiner comment on peut réduire les impulsions lorsqu'elles sont trop considérables et qu’elles sortent de l’échelle. Nous avons constaté que,quand on emploie un galvanomètre ordinaire à faible résistance, il convientd’intercaler des résistances dans le circuit du galvanomètre; mais, la

résistance totale du circuit galvanométrique devant ici rester la même, il faut employer un shunt.

Nous allons calculer de quelle façon les tormules se trouvent modifiées

par l'introduction de ce shunt.

Pour ne rien négliger dans ce calcul, nous procédons comme nous

l'avons fait pour l'établissement de la formule fondamentale. Nous écrirons donc les équations de Kirchhoff pour chacun des circuits (fig. 7) :

CONRONA I=1—i,—i, @) C hi, mi, (3) ABCD Re ei BRAS LUE (4) DAGC RI—gi,—li, ue (5) AGCS — gi, +si, Ts

Nous allons chercher i, en fonction de I, en éliminant d’abord à, et à’. L’équation (3; peut s’écrire

RU SM ENGEE PR ARE On a donc le système d’équations :

dI (6) (R HR)IH(R EP) EU HP) A +R EP =-L EE di di, (4) RI — gi, it, =—L +6 Te : di, (5) — gi, + si, =

En éliminant i, entre (6) et (4), on trouve :

(R'I—RI)IH IR + PE SH PME +U(R'+7)i, =LI ee GE .

Le di,

ci dt

Lorsque l'équilibre du pont est établi, on a

et on trouve, dans ces conditions, +. | , di , RU SUR +8 ET EI(R +1)| i=L Ts (s (47) +R +6

En intégrant entre les mêmes limites que pour la formule ordinaire, et observant que le courant à, qui traverse le galvanomètre est nul avant l'ouverture et après la fermeture du courant, on a:

Ji de Fe SR +) + gl) glR +7)

. Sans shunt, nous avions trouvé précédemment la formule

f' ST SSL" VOTRE ” (R'+7)l+g(+7)

Cette formule peut d’ailleurs se déduire de la première, dans laquelle

on aurait fait S — co.

Pour apprécier de quelle manière lPintroduction du shunt réduit les impulsions, il suffit de diviser ces deux formules, l’une par l’autre, ce qui donne

i di Lines Mere ee à J Roanne Rtl+e(tr)+e s 2 SLR +) +g(U +) ai 2 Jar R+I+g(1+5) S

iS a|7

Ces formules sont exactes, c’est-à-dire qu’on n’a négligé aucun terme dans le calcul. Dans la pratique, ces formules peuvent se simplifier dans certains cas, comme nous l’indiquerons bientôt.

En général, la formule

ne se trouve pas modifiée par l’introduction du shunt, car la réduction s'opère en même temps sur à et sur «a. Ce n’est que dans le cas où l’on aurait pris la valeur de « correspondant à r, sans shunt, et la valeur de à avec l'emploi du shunt, qu’il faudrait tenir compte du calcul précédent, La formule devient alors

R’£7 pou 1 + > 11 œ

; I et si R'+/' est négligeable devant g £ + 5) on a, en mettant à au lieu

pi OL se NE TC, | rer S R

de F Nous donnerons, à la fin de ce chapitre, les vérifications numériques de ces diverses formules,

2° Méthode directe

Au lieu de faire deux expériences séparées, on peut déterminer le coefficient de self-induction en observant simplement l'impulsion du

galvanomètre lorsqu'on coupe le circuit de la pile, pourvu qu’on connaisse l'intensité du courant qui traverse la bobine.

Supposons donc que la bobine dont on cherche le coefficient de selfinduction soit combinée à trois autres résistances, de façon à former un pont de Wheatstone et que l'équilibre soit établi. La résistance totale du circuit jdu galvanomètre Deprez-d’Arsonval est celle qui correspond à l'égalité des racines de l’équation caractéristique; dans ces conditions, nous avons vu qu’on peut traiter le cas comme si l’on avait à faire à un galvanomètre périodique, à la condition toutefois de multiplier l'impulsion pare.

Pour déterminer le coefficient de self-induction, il suffit de noter la déviation obtenue lorsqu'on relève la clef de la pile, car on a:

f: dt= Dsl OI RP EEE)

D'autre part, nous avons trouvé

ce qui donne LUI ip -=—-e-

CORP Ne

EENO (l d Le elR+n+e(r+:)]

Dans cette expression,

d’où

est le rapport des deux branches du pont.

Emploi du shunt

Lorsque la déviation est trop forte, on met une dérivation {shunt) sur le circuit du galvanomètre. Nous avons calculé, plus haut, la formule qu’il s’agit d'appliquer dans ce cas.

On trouve ainsi

[' ne ÉTST 2T ; S[R'HPLEgU+T)+gl(R'+T) 7

CA PR ER ? l Rae 7 Drmenee(irr(i+ =) |

Cette formule peut encore se mettre sous la forme

0 R R +7 fR+rte(r+$ tn]

ù ee

d’où

Dans certains cas, ces formules peuvent se simplifier, car la résistance

du circuit du galvanomètre est souvent bien supérieure à celle des branches du pont.

Ainsi, pour un galvanomètre que nous avons employé, la résistance était de 222 ohms, et la résistance additionnelle, permettant d’obtenir le cas critique de l’égalité des racines, devait être de 100 ohms. Ona donc &g — 222 + 100 — 322 ohms, c’est le nombre que nous avons désigné par R dans le 2" chapitre. Or, les bobines dont nous avons déterminé le coefficient de self-induction avaient le plus souvent une résistance de 1 à 2 ohms et très souvent moins. Lorsque les 4 branches du pont ont la

même résistance, on a p = 1, €t on voit que, dans les circonstances

énoncées, R + J'n’est que 1/100 de g (7 + 1) ou de 2g. On peut donc

négliger le premier terme et écrire

TACTILE L=teiie(s 1)

Lorsqu'on emploie le shunt, on aura dans les mêmes conditions un, R' ste l

HYTIAES R+!

ÉRRERES

ou

Il est facile de voir que ces formules simplifiées s'appliquent encore dans le cas où le rapport

est différent de 1:

Avant de vérifier ces formules expérimentalement, nous allons examiner le cas où les résistances / et l’ sont de beaucoup supérieures aux résistances RietR-

Ce cas se présente souvent, car lorsqu'on est obligé de lancer des courants intenses dans la bobine, il est avantageux de s'arranger de manière que la plus grande partie du courant de la pile passepar D AB et qu’il ne passe que peu de courant dans D C B. Si, par exemple, il faut lancer dans D À un courant de 20 ampères, il faudrait, dans le cas où les résistances seraient partout égales, disposer d’une source capable de débiter un courant de 40 ampères. Il est donc préférable d'augmenter la résistance dans D CB, de. sorte qu’il ne passe que peu de courant dans ces branches du pont; d'autant plus qu’il est impossible d'employer des courants intenses avec des boîtes de résistances.

Examinons donc le cas où l’on aurait R — R'et / =! — 100 KR, et

voyons si la sensibilité de la méthode se trouve beaucoup altérée par cette augmention de la résistance.

Lorsque ñ — 1, la formule devient

£ F(R'A L' + à 8) ui

Changeons l'en /',, tout en laissant R’ constant, on aura, puisque L æ1

n’ont pas varié