On a facilement

le moment du second membre étant celui d'e l'élément AJ défini par les points et de l'élément Aj défini parles tropes, parce qu'on prend A(A/,a^); on aurait une formule semblable avec hi et 7)^.

Cette formule donne une propriété du moment de deux éléments de référence dont l'un est défini par des points et l'autre par des tropes; les deux formules du n° 7 sont relatives à deux éléments définis tous deux par des points ou tous deux par des tropes. L'élimination de r^ ferait. retrouver les premières formules du n** 6.

9. Derniers éléments métriques. — Dans un tétraèdre, on peut étudier ce qui se passe autour d'un sommet ou d'une arête, dans une face ou sur une arête, autour d'un sommet dans une face. Dans un polytrope, on peut étudier ce qui a lieu autour d'un élément Aa qui sera Air, dans un élément AP qui sera A**, les deux suites F et H n'ayant pas d'indice commun. On posera

N -ha -H p = n.

Un élément A§:J:^ passant par A^ et situé dans AP sera A"/, et on aura P-|- Q = N^ les I et les J variant, on a un système comparable à un polytrope.

Le moment réduit des deux éléments A[", AJ^J qui ont Ap inscrit commun. A" circonscrit commun, sera la quantité vin;"j définie par les relations équivalentes (n® 6)

tous les indices étant dans l'ordre naturel. On peut placer d'abord les F ou les H. Quand on change l'ordre des deux éléments, le moment réduit est multiplié par ( — i)^^. Pour un seul indice /, on a 0"/ = I et la formule de gauche se simplifie; de même, etc. On remarquera les deux cas suivants :

1° S'il n'y a pas d'indice /, c'est-à-dire si les deux éléments n'ont

pas d'élément inscrit commun et sont seulement dans un élément

circonscrit commun, on a un moment non réduit, défini par la

relation

(— i)'''fficjjr,i,j = du,

qui est entièrement comparable à une relation du n® 7; l'autre relation donnée plus haut avec des S reste la même : on l'obtient par les premières formules du n° 6.

2° S'il n'y a pas d'indice A, c'est-à-dire si les deux éléments n'ont pas d'élément circonscrit commun et sont seulement autour d'un élément inscrit commun, on a

que l'on transformerait par les premières formules du n" 6.

Si l'on échange let J dans la dernière formule et si l'on suppose

POLYTROPE DE RÉFÉRENCE. 9

dans les deux formules un seul indice i, on a

la notation L — i indiquant les indices L autres que «. Pour deux indices L, on a sur un rayon ou autour d'un axe

en sorte que le moment de deux points ou de deux tropes de référence est leur o* ou leur S dans lequel on met les indices dans Tordre où Ton prend les deux points, tandis qu'ils sont supposés ici dans Tordre naturel.

S'il n'y a ni indice/, ni indice A, on a tjJit = iOt et Ton met seulement les indices du second élément.

On doit remarquer que les moments sont des moments d'éléments dirigés, autour d'éléments dirigés A^, dans des éléments dirigés A".

On a supposé les indices des o* toujours rangés dans Tordre naturel; on aurait CiO-jV^, j = (t,j, si Ton mettait dans le dernier o-,. d'abord les indices I puis les indices J dans le même ordre que dans les deux premiers (n° 108); on Ta dit plus haut dans le cas d'un seul indice «et d'un seul indice y.

On pourrait démontrer ici le théorème des quatre éléments (nM28).

Nous observons ici qu'on peut considérer :

i" La Géométrie générale, donnant lieu à des moments d^étéments associables; il n'y a alors ni F ni H. Le polytrope a des points et des tropes.

2" La Géométrie autour d'un élément Ap, ou dans un élément A", donnant lieu à des moments non réduits. Le polytrope a des tropes ou des points.

3° La Géométrie autour d'un élément Aj-, dans un élément A", donnant lieu à des moments réduits.

LE A D'UN POINT ET D'UN TROPE, ETC. LES y DE DEUX POINTS;

LES r DE DEUX TROPES.

10. Coordonnées normales. — Au point de vue de la notation, nous dirons d'abord ceci : Les coordonnées ûHj d'un élément M^ seront les moments de cet élément et des éléments de référence Ax ;

on considérera — r = Xt.. Les coordonnées uh de l'élément seront

les moments des éléments de référence et de l'élément; elles sont égales aux coordonnées x multipliées par ( — i)''^; on considérera

— î = Ux qui est égal à Xx» On aura des formules de la forme

l'ordre des coordonnées étant inverse de celui des éléments.

Gela posé, considérons n variables x^ liées par la relation suivante , dans laquelle on pose t^ = X^,

2x>^X'YX/ = i» ou cp(X, X) = i, ou ^X'cp/ = i,

en posant

nous dirons qu'un système de valeurs de ces quantités forme les coordonnées normales x^ d'un point M, et nous aurons ^ = A (M, a) ; un point dépend de n — i paramètres.

Soient n autres variables Xi^ avec un indice inférieur, liées par

LE A d'un point et d'uN TROPE, ETC. II

la relation suivante, dans laquelle on pose p = X/,

2XxX/rX/ = ,, ou *(X,X) = i, ou ^Xi^i = i, en posant

un système de valeurs de ces quantités formera les coordonnées normales ;r/ d'un trope /w, et Ton aura ^ = A(m, A); un trope dépend de n — I paramètres.

Un point et un trope sont dirigés; on change le sens en changeant les signes des coordonnées.

11. Coordonnées homogènes. — Les coordonnées homogènes sont des quantités proportionnelles aux coordonnées normales; on obtient celles-ci en divisant les premières par le facteur normalisant di y/cp ou dz y/4>.

12. Le A d'un point et d'un trope, etc.- — Un point M avec le coefficient i est (n'' 49) le point résultant des points de référence A/ affectés des coefficients X^; un trope m, etc.; en prévision du théorème des A (n° 41), nous écrirons avec des coordonnées normales

le second élément, affecté du coefficient i, est le résultant des éléments de référence affectés de coefficients qui sont les coordonnées X de cet élément, et on prend les A du premier élément et des éléments qu'on vient de dire.

On peut écrire A(M, m) = \] ~~jn~> cette relation, qui renferme

seulement des A où le point est avant le trope, peut s'écrire sous la forme d'un déterminant d'ordre n -\- i égal à o, et elle rentre alors dans l'identité des A pour n -\- i points et n-h i tropes (n° 65).

13. Association d'un point et d'un trope. — Un point et un trope sont associés lorsque leur A est nul. Les équations normales d'un

Irope et d'un point sont respectivement

la première est une équation ponctuelle, dont le premier membre donne A(OnL,m) quand on y remplace les coordonnées x par les coordonnées \ d'un point DIL; la seconde est une équation tangentielle dont le premier membre donne A([jl,M). Si les coefficients sont en coordonnées homogènes, on a des facteurs normalisants.

14. Détermination d'u4 trope par des points, etc. — Un trope est déterminé par n — i points M,M,, ...; les coordonnées homogènes X du trope sont les quotients par S<, Sj, . . . des déterminants d'ordre n — i de la matrice des coordonnées x^ les colonnes étant prises dans l'ordre naturel; l'un au moins de ces déterminants est supposé différent de o. L'équation du trope s'écrit sous la forme d'un déterminant égal à o ; nous reviendrons sur le facteur normalisant (n® 33). On a encore la condition pour que n points soient dans un même trope. De même, etc.

15. Polytrope. — Un poly trope est la figure formée par n tropes non concourants; cette figure a n sommets. Elle dépend de /i(/i — i) paramètres. Le déterminant des coordonnées homogènes^ des sommets, et celui des quantités X pour les faces, sont inverses à un facteur constant près.

16. Polytrope de référence. — Considérons les n tropes dont les coordonnées normales x sont respectivement

(ces coordonnées vérifient bien la relation ^ = i); ces n tropes forment le polytrope de référence, et les sommets de ce polytrope ont pour coordonnées normales x les termes d'un tableau analogue au précédent, avec un indice supérieur; on a A( A|, a*)= A*, A(a*,Ai) :n= A|. Les équations normales des tropes de référence sont x^ = o, et les coordonnées normales d'un point sont les A de ce point et des tropes de référence. De même, etc.

LE A D*UN POINT ET d'uN TROPE, ETC. l3

Un point dont les coordonnées homogènes sont données est défini par n — i tropes passant par les axes de référence d'une face; de même, etc.

17. Rapport anharmonique (MN/nn). — Étant donnés deux points MN et deux tropes mn^ le rapport anharmonique du sys-

teme MIN 772 /i est la valeur de l'expression ^. — : ^i^^ — i-; avec des

coordonnées homogènes ce rapport s'évalue sans facteur normalisant.

18. Corrélation initiale. — Les faits suivants, dont on trouvera plus loin le développement et la démonstration, forment la base de la corrélation initiale; on distinguera avec soin les figures primitives et les figures transformées.

1° A un point primitif M, dirigé, répond un trope transformé /i, également dirigé;

2° A un trope primitif m, dirigé, répond un point transformé N, également dirigé;

3° Le A d'un point M et d'un trope m est égal au A des éléments transformés Al et N, en sorte qu'on a A (M, m) = A(n, N). En particulier, si un point M et un trope m sont associés, les éléments transformés le sont aussi; quand un point décrit un trope, le trope transformé du point mobile passe par le point transformé du trope fixe; si Ton considère un point M et le trope transformé /i, tout point N de ce trope est transformé d'un trope m, passant par le point M. Étant donnés n — i points et les tropes transformés, le trope des points a pour transformé le point des tropes. Le polytrope transformé d'un poljtrope a ses éléments transformés de ceux du primitif.

Tout point M peut être considéré comme point primitif ou, comme point transformé : il a un trope transformé /i, un trope primitif/, d'où la suite /M/i; on a de même la suite L/nN. On désigne toujours l'élément transfoi-mé par la lettre consécutive à celle du primitif; les coordonnées de N, de n, seront jk ou v.

j4 chapitre n.

Soient deux points M et N; formons la suite mMNw, les traits

allant de gauche à droite d'un élément au transformé; nous définirons y(MN) par les relations

A(mM) = y(MN) = A(N/i);

les deux quantités y(MN) et ^(NM) sont différentes. Pour deux tropes m et /i, on aura la suite Mm/iN, et on posera

A(Mm) = r(m/i) = A(/iN).

On emploiera de préférence les formules

Y(MN) = A(N/i), V{mn) = A(nN),

qui contiennent l'élément transformé du premier élément.

On a y(LM) = (—!)«-* y(MN), les points L etN étant le primitif et le transformé d'un même trope m; etc.

Le Y de deux points est égal au F des tropes transformés.

19. Fig^ure de référence auxiliaire. — Au point de vue de la notation, nous dirons d'abord ceci : On peut considérer trois polytropes de référence PPP dont chacun est le transformé du précédent. Les comoments d'un élément M^ et des éléments A| de référence sont les coordonnées u de l'élément N^ transformé du premier, ou les coordonnées u de l'élément -donné; les comoments des éléments de référence et de l'élément MJJ sont les coordonnées a: de l'élément LJ primitif du premier, ou les coordonnées x de l'élément donné ; nous emploierons de préférence les premiers comoments avec des u et des u.

Dans le polytrope P (n° 18), les tropes ont pour coordonnées normales œ les éléments y des colonnes du déterminant 5^, les sommets ont pour coordonnées normales x les éléments F des colonnes du déterminant SJ. Les coordonnées auxiliaires u d'un point ou d'un trope seront données par les formules

u[=^^'^ni = ?/. ui=^xiTy = <i>^

LE A d'un point et d'uN TROPE, ETC. l5

et l'on a les formules inverses

^u^rA, o^i = ^]hvh

en posant U^= —•

Dans les formules inverses, on a remplacé h^ par Ax, qui lui est égal (n°^ 18, 20) ; on le vérifie aisément par les formules de droite, à Taide des identités obtenues en multipliant dans les deux déterminants inverses du n*' 5 les éléments de deux rangées ou colonnes correspondantes et ajoutant; cette vérification n'est d'ailleurs pas nécessaire, si on suppose qu'on laisse h^ jusqu'au n*»21. Les Y et les F de P sont les Telles y de P (n«* 18, 2i); de

là cette remarque : Le polytrope P donnerait des formules analogues aux précédentes, avec des x et des h, et les formules directes de ce cas expliqueraient les formules inverses obtenues plus haut.

On a

d'où, comme avec P,

A(mM) = yX^^.

20. Trope transformé d'un point, etc. — Un trope /i est transformé d'un point M lorsque Jes coordonnées normales y ou (^ du trope sont égales aux coordonnées normales ;r ou u du point :

A ( An) = A(aM) ; et les deux relations cp = i , 4> = i rendent cela

possible, comme on verra. Un point N est transformé d'un trope m, etc. On a

La dernière formule du n° 19 donne la relation essentielle

A(miM) = A(N/i).