Nous avons déjà posé
Posons en outre
e* — e'^ , sh ;r . ch ^
sha?=: , thar^z—- — , coth.r=:-r —
2 en a? shx
On en déduit
ch*a? — sh*cr = i,
ch(d7-+-/) =:chxchy -hshxshy,
sh(j? -H/) = sh^ch/ H-ch^sh/.
Ceci posé, soient a: A/ (y?^. lo) un angle aigu, Bun point de Aa?, C un
point de Aj; menons CD perpendiculaire sur AB; les triangles rectangles ACD, BCD donnent
chBC = chCD ch(AB - AD),
, ^^ ch AC chCD= , . ,. ; chAD'
(3o) d'où
oh KC
chBCi= ^J|^(chABchAD — shABshAD)
=z ch AB ch AC - sh AB sh AC ^^4? '
th AG
De même, en abaissant BE perpendiculaire sur ÂC, on a
chBC = ch AB chAC - shAB shAC^J^^.
tiiAB
Donc
thAD ihAE , thAC~lhAB^
comme les longueurs AB et ÂC sont quelconques, il faut en conclure \
que la valeur du rapport , .^ ne dépend pas de la longueur AC, mais
seulement de l'angle A : c'est cette valeur qu'on appelle le cosinus de l'angle A et qu'on désigne par cosA, de sorte que
chBC = ch AB ch AC — sh AB sh AC cos A.
Si l'angle A est obtus, le pied de la hauteur CD tombe sur le prolongement de BA; on trouve, dans ce cas,
chBC = chAB ch AC -f- shAB shAcl^54S;
th AC
et, en posant, par définition,
cosA=i— rzrrn =" cos (2 droits —A), In AL
on retombe sur la formule précédente.
Ainsi les côtés a, 6, c et les angles A, B, C d'un triangle sont liés par les trois relations
ch a = ch ^ ch c — sh 6 sh c cos A, ch ^ = ch c cha — sh c sha cosB, chc =chach6 — shash6 cosC.
Ensuite, en définissant le sinus d'un angle A aigu ou obtus comme
la valeur positive du radical v^i — cos^A, et en définissant la tangente et la cotangente par les formules
. sinA
tangA=: T-,
° CCS A
^ . cosA sinA
on déduit des trois relations précédentes
sha
sinA sinB
shc smC
shacosB = chôshc — chcsh6 cosA, coth a sh ^ =: ch 6 cos C H- sin C col A,
cosA= — cosB cosCh- sinBsinCcha.
En particulier, si Ton suppose que le triangle ABC est rectangle en A, on a
cha^= ch6chc, th^ = shc tangB,
sh^nr shasinB, cha = cotBcotC,
th^ = thacosC; cosB = ch6sinC.
Formules d'addition.
14. Soient a = xOy^ p :=yOz {fig> 1 1) deux angles aigus; supposons pour fixer les idées a > p, et d'un point A de Ox abaissons AC
perpendiculaire sur Oj; comme p < a, le prolongement de cette perpendiculaire rencontre nécessairement Oz en un point B. Les trian-
gles OAB, OAC, OBC donnent
shOA shOB cos(a -+- P) = chOA chOB — ch (AC -+- CB),
1 ir- unry chOAchOB chACchCB=: TTTw^ — i
ch-OC
d'où
shAC shCB = shOA shOB sina sinp,
cos(«-+- P) =zcolhOAcolhOB ( i ûTrïr ) ~^ sinasin(5
lh»OC . ^
"= lhOAthOB "^'"^^^"P-
ou
CCS (a-h P) zn cosacosp — sinasin(3.
On trouverait de même
ces (gc — (3) = cosacosP -h sina sin|3.
Si les angles a et p sont complémentaires, cos(a-i-P) est nul, donc
ces a ces (3 = sin a sin (3,
d'où
osa sina /cos*a -h sin*a
lïïp ""• côsp ■" V sin»j3 -h cos*p " "^ ''
cos sin
puisque a et ^ sont aigus; donc
sin (3 = cos«, ou, en désignant par D Tangle droit,
sin(D — a) = cosa.
Toutes ces formules sont établies dans Thypothèse où a et p sont aigus; mais, si Ton définit le sinus et le cosinus d'un angle quelconque A par les formules
cos A = (— i)'»cos(A — 2/iT)), -sin A =ir ( — i)" sin (A— 2/iD),
en désignant toujours par D l'angle droit, et par n un entier positif
(33) OU négatif tel que o<A— 2/iD<!2D, on démontre sans peine que
sin (D — A) = cosA, cos (A -+- B) = cosA cosB — sinA sinB,
quels que soient A et B.
On retrouve ainsi toutes les formules de laTrigonométrie ordinaire, excepté cependant celles qui dépendent du choix de l'unité d'angle.
15. Pour établir ces dernières, considérons les fonctions C(.r) et S(.r) définies par les égalités
ÇAx) — - — — z= I —
f»ix ___ ff~ix S iœ) =. : =LX —
Si l'on fait varier a: de o a 2, la fonction S(j?) reste positive et moindre que a?, et l'identité
montre que la fonction C(ir) est continue et constamment décroissante dans l'intervalle considéré. Or
donc il y a une valeur de x comprise entre o et 2, et une seule, qui vérifie l'équation C(a?) = o; c'est cette valeur qu'on représente
par - :
Ensuite, en désignant par D l'angle droit et par w un nombre en tier, on peut trouver un nombre a et un seul tel que
r. / X B , TT
C(a) = cos— et o<a<n 2
(*) Voir Géométrie de MM, Rouché et de Coinberousse (Note II, 6* édition). G. 5
En s'aidant des relations
C[09-hi)«]:r:2C(/?a)C(a)-C[(/;-i)a],
COSip -H l) — = 2C0Sp — COS COS(/? — ï) — >
on en déduit
