CAS DES ONDES PLANES LATÉRALEMENT LIMITÉES

En nous reportant au paragraphe IV (n° 19) du Mémoire de M. Boussinesq (p. 335) (‘), nous voyons que le rayon lumineux, supposé latéralement limité pour rentrer dans le cas de la réalité, mais assez large pour ne pas présenter de diffraction sensible, se prêtera à

l'étude précédente, pourvu que LT, M'T, N'T subissent trois correcdY dI

dx’ dy

al 5 : 5 :

> Î étant maintenant une fonction lentement variable de x, y, z, dont les dérivées secondes seraient encore beaucoup plus petites que ces

dérivées premières. Ce sont donc les expressions

tions émaginaires &, &,, €, de l’ordre des dérivées partielles ;

6 — nl — C — Pk(P—Ix-my-n3)V—-1—E L'I+e M'I+e, N'I+e,

que nous substituons dans les mêmes équations du mouvement. Dans ces expressions, L’, M’, N’ conservent leurs valeurs constantes du cas des ondes planes latéralement indéfinies.

Les termes £E, e, E, e, E donneront, d’après le calcul du Chapitre I, les produits de E par

De + Xe, + We, Diet Xe + We,, De + X,e, + We.

En effet, e, e,, e, étant déjà de l’ordre de petitesse des dérivées premières de [, les dérivations de €, &,, €, par rapport à #, y, 3 n’introduiraient que des termes de l’ordre supérieur de petitesse des dérivées secondes de I.

Dans les autres termes, la dérivation par rapport à æ du produit L'TE le multipliera par

1 di re | LR

IV ee kW (R FE :).

(*) Journal de Mathématiques, 6 série, t. VIE, 1917.

Cette dérivation reviendra donc à donner à / un accroissement qu'on peut représenter par

DR = REV ù

GAL GA A ; Mais, les dérivées partielles Te” D à “= étant petites, et chacune dz

d'elles n’éprouvant des changements comparables à sa valeur qu'après un grand nombre de longueurs d'onde, leurs propres dérivées seront d'ordre supérieur de petitesse, et elles-mêmes pourront être traitées comme des constantes dans notre calcul. On pourra d’ailleurs traiter

A A EE 1 di

= V—-t, ES EL = TV, AN TI nn.

en raison de la petitesse de Ha comme de véritables différen-

tielles, et, dans les résultats da la substitution que nous effectuons, les neuf polynomes ®, ..., W', seront accrus de leurs différentielles totales 0®, ..., 0W,, Ces résultats fourniront donc les trois équations Pe+Xe, +We, + L'I(D +0) + M'I(X + 0X) + N'I(Y +9) —o, De + Xe, + Wie, + L'I(D, + 0b,)+M'I(X; + 0X,;)+N'I(W,+0Y,)—o, De + Xe We,-t L'I(D,-+ 0®,) + M'I(X:+ OX,) + N'I(W,-+ dW,)—0 Appelons W, w, v’ les trois multiplicateurs, définis à un facteur près et fonctions de /, m, n, qui vérifient le système homogène ND + u'®, + v'P, — 0, VX +pX;+vX; —o, XY+pW+vW,—o,

compatible à cause de la condition

D dd, , OU RE CEE y w, W,

ou f(a,b,c,l,m,n)—o, que nous supposons vérifiée, et qui n’est autre que la condition (41) du Chapitre [ (troisième Partie), les lignes étant échangées avec les colonnes. Il en résulte aussi que pour À, uw’, von peut prendre les expressions imaginaires conjuguées de L, M’, N’, d’après une remarque faite à la fin du Chapitre 1.

Alors, en multipliant par \', x’, v’ les équations et les ajoutant, on

obtient, après suppression du facteur 1,

Dans cette équation, on à

+ p'0X, +v'0X,)M' u! 9Ÿ, + y AY, )N'— 0.

09 — se Dr Nr dm Elle devient donc [FE 24 PT d® 2 , . d®, re d® ”. d®, | , d®, Lie dm Le dm dn dn dn + | C n pe y %) ol ax. RS dX> HAN dx; IX; À JV! 2 à Vtt [ af 2 4 { Fe G adm * DE 7 NUE mn) RS (à dn Dire ‘an )on | # ; EU 4, AE +| G HO AIT E Pa al )o!

a de dY dw dw , :

RER fl 1 2 ns En / 1 ! : (= hi ( am Fam mn) (er G dr dn dn, on | x.

avec Ve . Na V= al ANT EST DT de hé. LR

ou, en ordonnant par rapport à ces dérivées, c’est-à-dire en colonnes,

Mon r

+LT (EE VE) (à ue A pe, |

Un Ve) 6 (re ae 8 MORT

+R eu + ÉOLEAtE TRS

à dY, dm

dl dy

, dY, dn

ad ds

ou enfin di di di DER Orne dx A da P, Q, R représentant les trois crochets.

Mais entre les neuf polynomes ®, ..., W, nous avons établi la relation TU Pb, cm le;

qui n’est autre que l'équation tangentielle de la surface des ondes, et dont la différentielle totale serait

df df 4 22e HIT x OM + In 0 — 0 Or, je dis qu’on a précisément, df df df

dm: "an No na

En effet, pour effectuer cette différentiation, il est inutile de former explicitement F : il suffit de différentier totalement les trois équations linéaires et homogènes dont F = o exprime la compatibilité. Il s’agit ici de différentielles effectives et non plus symboliques, et il vient

®d dL'+XdM'+Y aN'+L'db + M'AX + N'a4W—o, ®, dL'+ X,dM' + Y,dN'+ L'd®, + M' 4X, + N'4dW, — 0, ®, dL' + X,dM' + W,dN'+ L'd®, + M'aX,+ N'dY,— 0. Ces équations, multipliées par ’, &', v', définies plus haut etajoutées, donnent, par évanouissement des trois premières colonnes,

(\ dd + p' dd, + v dY,)L' + (XX + p'aX,+ v 4X,)M'+ (dE + p' dW,— v' dW,)N'— 6,

avec d@ dd dd dd == 1 Ton dm —+ Tr An

L'ROMONTNT STD MT AATT NCNCMONOUN ARCM CORC TRS et TOILE DEL

Cette équation devient donc

/., db Te , 4®; | Va S. se un AX3 me AL PEAR CL ET ’ + 1 Te) ie Par: N'14 : : E. se :s | 6 PPS Si En dx , 4X\ AN C dy dwY, AN" \ + \ Lu 1 = |N'Id + (à dm ue dm EC 6 And dl de ) pe 3, 42 MER mL y 4P:

+ |+ a Lu Fa dy dY, DEN u' - y! = )]N' |dn = 0, -(1£ + pu au 1LE- ME TS JN dv = ou enfin

Pdl+Q dm+Rdn—o

comme nous l’avions annoncé, c’est-à-dire

HN ANT dl 2 dm dn PET HE C

Or le point de contact (x, y, z) du plan de l’onde avec son enveloppe est précisément donné, sur l'équation tangentielle, par

fie ile dl dm dn

Si nous considérons par suite un élément de chemin (0x, dy, dz) à partir de lorigine le long du rayon vecteur de ce point de contact, nous aurons

0x __ dy 0

et, sur cet élément, l'équation

CRT LUS rm rree Us

deviendra

dÂ d\ d Tax 9% 7 T9 = 1m T°: 6) (Av)

C’est léquation (53) de la page 339 du Mémoire de M. Boussinesq.

Donc, quelle que soit la manière graduelle dont varie la fonction I d’un point à l’autre d’une même onde plane, cette fonction ne variera pas le long du rayon vecteur joignant le centre de la surface des ondes au point de contact de cette surface avec l’onde plane, et c’est suivant ce rayon vecteur que se {ransmettra l'amplitude du mouvement : c’est la propriété caractéristique du rayon correspondant de lumière parallèle.

Nous avons donc étendu, au cas général qui nous occupe, malgré la présence des trois coefficients v, v,, v, (représentant un ordre de phénomènes analogue à la polarisation rotatoire magnétique), la conclusion de ce Mémoire :

Les équations du mouvement n'astreignent le coefficient 1 d’amplitude qu'à rester invariable le long de chaque rayon lumineux (rayon vecteur du point de contact du plan de l’onde avec son enveloppe, la surface des ondes).

Vu et approuvé :

Paris, le 9 mai 1913.

Le Doyen DE LA FACULTÉ DES SCIENCES,

Pauz APPELI.

Vu et permis d'imprimer : Paris, le 9 mai 1913.

Le Vice-REecTEUR DE L'ACADÉMIE DE Paris,