D REC ATEN

Il est clair que A est indépendant de la numération des bouts périodiques.

10. Pour les surfaces à 7 bouts logarithmiques de R. Nevanlinna, l’ordre de

+ : £ rie Das ; PRE la fonction uniformisante est =. H. Wittich a montré sur un exemple qu'iln’en est pas toujours ainsi pour les surfaces à 77 bouts périodiques (°). Au Cha-

pitre V, nous préciserons ce fait en établissant le théorème suivant :

Tuéorème À. — La fonction uniformisante d’une surface NW à m bouts pértodiques et de caractéristique À est du type moyen de l’ordre

mi A Dr te nl 2 NUIT

Pour À — 0, les défauts et indices sont rationnels.

Nous appliquons le dernier résultat au problème d’inversion posé et démontrons au Chapitre VII le théorème suivant :

(2) H. Wirricu [2].

A RCE

Tuéorème B. — Sous les conditions

2° dv, € (rationnels);

Le > 0y5-0 ;

/° EC eh sé &, west pus nul; ï 1

on peut résoudre le problème d’inversion à l’aide des sur faces W de caractéristique nuUlE = 0:

Nous soulignons le fait que la restriction 4° tient à la périodicité des bouts et non à la condition A — 0. |

Le cas X2,—0, &,<[1 peut être résolu à l’aide des fonctions doublement périodiques.

Finalement le théorème B est complété par le théorème suivant :

Tuéorème C. — On peut choisir les bouts périodiques utilisés dans le théorème B de manière que chaque bout possède trois points fondamentaux de ramuficaton.

Pour démontrer ces théorèmes, nous devons quitter un moment le champ des transformations conformes pour passer à une classe de transformations plus générales, les transformations quasi conformes utilisées par ailleurs avec succès dans le problème de type.