INTRODUCTION

L’équation intégrale linéaire (1) a(æ)g(æ)— A f b(æ,s) g(s) ds — (x),

où ©(x) est une fonction inconnue; a(æx), b(x,s), c(x) des fonctions bornées et intégrables dans le domaine «a £x£$, a£s£8; «, 6, À des constantes, se rencontre fréquemment, en Mécanique et en Physique mathématique, sous une forme plus ou moins explicite.

C’est Abel qui, pour la première fois, en 1826, posa et résolut une équation particulière de ce type. Mais trois quarts de siècle devaient s’'écouler avant que le problème en question fût nettement posé.

En 1894, M. J. Le Roux(') proposait de trouver une fonction 9 (x) satisfaisant à l’équation

(2) [étais etas=e(e)

(*) J. Le Roux, Thèse Sur les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, p. 19.

et résolvait cette question par la méthode des approximations successives.

Le problème de M. Le Roux était repris par M. V. Volterra (yen 1896. L’équation (2) est d’ailleurs devenue classique sous le nom d’équation de Volterra.

C’est seulement en 1903 que M. Ivar Fredholm (?), dans son remarquable Mémoire Sur une classe d'équations fonctionnelles, étudia l’équation (1) pour a(x)—1, équation à laquelle il fut conduit par l’étude du problème de Dirichlet, lorsqu'on cherche à représenter le potentiel inconnu par le potentiel de double couche.

Les résultats essentiels de M. Fredholm eurent un universel retentissement. M. Picard en a fait cet incomparable éloge : « Ils avaient la beauté des choses simples et définitives (*). »

M. Fredholm a induit de la solution d’un système d'équations linéaires en nombre fini, la solution du problème transcendant traduit par l'équation (1). Il a ensuite, par une méthode synthétique, vérifié l'exactitude de son induction dans le cas des équations de seconde espèce, c’est-à-dire quand a(x) peut être supposé égal à l'unité.

M. Fredholm met ainsi en évidence le rôle que joue dans la résolution de (1) une certaine fonction entière D (À), qu’il appelle fonction déterminante par analogie avec le déterminant des coefficients d’un système d'équations linéaires en nombre fini. Il définit ensuite les mineurs de la déterminante et associe à la fonction dite noyau b(x,s), une fonction b(x,s, À), méromorphe en À, dite résolpante, dont la connaissance permet de résoudre l’équation (1) quand a(x) =1.

Aussitôt après l'apparition du Mémoire de M. Fredholm, un grand nombre de géomètres apportérent leur contribution à l'étude de l'équation (1). Les travaux sur ce sujet se sont succédé depuis sans interruption.

(1) V. Vocrerra, Sulla inversione degli integrali definiti ( Atti della reale Academia delle Sciense di Torino, 8 mars, 26 avril 1896, p. 311, 400, 337, 693).

(2) I. Frennocu, Sur une classe d'équations fonctionnelles (Acta mathematica, t. XXVII, r003).

(3) T. Laresco, /ntroduction à la théorie des intégrales (Préface de M. E.

Picard, 1912).

MINEURS DE LA FONCTION DÉTERMINANTE DE FREDHOLM. a

Nous citerons seulement ceux dont nous utiliserons les résultats dans la suite :

M. D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Gôtings Nachrichten, 1, 2,3,4, 5,6 Mitteilung), a montré la légitimité de la hardie induction de Fredholm, étudié spécialement le noyau b(x,s), symétrique en ets, et mis en évidence l’analogie entre l'étude des noyaux et l'étude des formes bilinéaires et quadratiques.

MM. E. Goursat, Recherches sur les équations intégrales linéaires (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1908); Bryon Heywood, Sur l'équation fonctionnelle de Fredholm (Thèse), et T.Lalesco, Bulletin de laSociétémathématique de France(t. XXXIX, 1911, p. 92), ont fait l'étude détaillée des noyaux et des résolvantes. M. Goursat, notamment, a mis en évidence la notion de fonction principale et les propriétés caractéristiques de ces fonctions.

M. E. Picard, Sur les équations intégrales de troisième espèce (Annales de l'Ecole Normale, 1911), a établi d'importants théorèmes généraux concernant les équations intégrales de troisième espèce, c'est-à-dire celles pour lesquelles a(x) est nul pour des valeurs particulières de x comprises entre « et f.

H. Poincaré, dans ses Remarques diverses sur l'équation de Fredholm (Acta mathematica, t. XXXIII, 1909), s’est occupé en particulier de mettre en évidence quelles différences il y a, en ce qui concerne les équations intégrales linéaires de première espèce, entre le cas où les limites &, 6 sont infinies et celui où elles sont finies ; à ce propos, il a étudié (p. 81) certaines équations intégrales linéaires de seconde espèce à limites infinies, dont M. E. Picard, Sur une équalion fonctionnelle du type de Fredholm (Comptes rendus, 13 octobre 1910), a signalé d'importantes particularités.

Le présent travail comprend deux Parties.

Dans la première Partie, nous nous sommes proposé de compléter l'étude de la déterminante et de la résolvante d’un noyau donné par l'étude des propriétés des mineurs de la déterminante. Nous avons exprimé algébriquement un mineur d'ordre quelconque en fonction de la déterminante et de la résolvante et mis en évidence le rôle des diviseurs élémentaires de la déterminante; l’anologie entre l'étude des

n CH. PLATRIER.

formes bilinéaires et l’étude des noyaux trouve une nouvelle confirmation dans l'interprétation des exposants de ces diviseurs élémentaires.

La seconde Partie a pour objet l’étude des systèmes d'équations intégrales linéaires Te

B (3) > ut) py(æ) — à buy (æ, s) ou(s) a —=eu(z) (B=1,2,:,m),

vai

où ®,(x) sont des fonctions inconnues; a,,(x), b,,(x,s), (x) des fonctions bornées et intégrables dans le domaine 4£x°8, a=s=°$; æ, 6, À des constantes et 7 un entier positif.

Nous étudierons spécialement les systèmes de seconde et de troisième espèce, c’est-à-dire ceux pour lesquels le déterminant

au(x) Re Aim(Z) (4) INCARNE

Am (TZ) CPC AmmKT)

n’est pas identiquement nul dans l'intervalle 4 = x°6.

Dans le cas où A(x)ne s’annule pas entre «et 6 et peut être supposé égal à l’unité, le système (3) est dit de seconde espèce. M. Fredholm a montré, dans son Mémoire fondamental, qu'on peut le ramener à une équation unique. Cette remarque, jointe à l'expression algébrique des mineurs en fonction de la déterminante et de la résolvante, nous permettra de discuter complètement l'existence des solutions du système de seconde espèce et de donner ces solutions le cas échéant.

La résolution des systèmes de seconde espèce sans second membre trouve une application naturelle dans la recherche des fonctions principales d’un noyau, telles qu’elles ont été définies par M. Goursat. Dans le quatrième Chapitre, nous donnerons l'expression générale de ces fonctions.

La méthode suivie par Fredholm pour réduire un système de seconde espèce à une équation unique s'applique aux systèmes de troisième espèce et conduit à faire, corrélativement à l’étude de ces systèmes, celle de l'équation intégrale linéaire de troisième espèce du type (1). Supposant que les limites &, $, comprennent le point x — a, nous nous occuperons spécialement du cas où a(x) —(x — a), en

nous plaçant au point de vue de M. E. Picard (*). Nous rattacherons