DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME
150. Il s’agit d'établir que le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant négatif, susceptibles de représenter des nombres résidus quadratiques de 5, est égal au nombre des classes de formes
susceptibles de représenter des nombres non résidus de 5.
Remarquons d’abord que la proposition n’a de sens que si le déterminant est divisible par 5.
Supposons en effet que le déterminant — A soit résidu et consi-
dérons la classe a? + Her Si A =:1 (mod 5),
A+i=2 (mod 5).
Donc les deux nombres 1 et A+ 1 qui sont représentables par la forme (1,0, À) sont, l’un résidu, l’autre non résidu : l'énoncé n'aurait donc aucune signification dans ce cas.
Si
ÂA=—1: (mod 5).
on vérifie que 1 et À + 4 sont représentables par la forme (1,0, A) et sont, l’un résidu, l’autre non résidu.
Si À n’est pas résidu, la classe (1,0, À) peut représenter 1 et À, c’est-
à-dire des résidus et des non résidus : le théorème n’a pas de sens.
Supposons donc
A=o (mod 5).
On sait alors (') que, si » et n’ sont deux nombres non divisibles par à et représentables par la forme (a, b,c) de déterminant — A, on à
et, par suite, tous les nombres représentables par la forme sont résidus
ou tous sont non résidus : l'énoncé a donc un sens.
151. Ceci posé, rappelons d’après Lejeune-Dirichlet les principaux résultats de la théorie des genres, de Gauss (?).
(1) P.-G. Leseune-DIRICHET, Vorlesungen über Zahlentheortie, vierte Auflage, $ 121. (2) P.-G. Leseune-DiRiCHLET, Recherches sur diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres (Première Partie, $ 3 et 6) (Journal de Crelle,
1QO JACQUES CHAPELON.
Soit — À le déterminant de la forme (a, b, ec) supposée primitive
{soit proprement, soit improprement).
On pose A cp == P ou : == | S-
selon que le quotient du premier membre est impair ou pair. S? désigne d’ailleurs le plus grand carré qui divise À. Par suite, P est un
nombre émpair dont les facteurs premiers p, p', p”, ... sont tous iné-
: ! « . . . . 2 gaux. Soient s,s”,s”, …. les divers facteurs premiers smpatirs (inégaux)
de S, et » un nombre représentable par la forme (*).
On considère les Tableaux suivants :
THE SAR [P = 3 (mod4)].
S = 1 (mod2) (2) (5) P p
sms) (#) (8) le (2) Ge
NA —=SP [P=:1(mod)].
S= 1 (mod2) fine (2) (5) . (2),
> (mod 4) =)
un Al
nn 19 F re ES ER Ma A
CE) S=o(mod{)|(—-1°?, (=
rtmode)R 1) =
mn? —1 S=o(mod2})|(—1) * , Ce) 1
(!) I faut prendre 27» si la forme est impropre.
AA ES SP [P =: (mod4)].
mm —1 m?—1
$= 1 (mod2) | (—1) ? * +, Mr CANON p p Ù s | | mm? —1 m m nm nm \ S— d —1) ? —1)e" sr er TROT CMOS AM TN, (1) ’ (=) (5) (=) a
Ces quatre Tableaux contiennent évidemment tous les cas.
Les divers caractères quadratiques contenus dans ces Tableaux ne dépendent en rien du nombre particulier » () représentable par la forme ; ils constituent autant de caractères particuliers de cette forme.
L'ensemble des caractères particuliers, c’est-à-dire l’ensemble des caractères quadratiques contenu dans une ligne des Tableaux précédents, est le caractère complet de la forme. L'ensemble des formes ayant même caractère complet constitue un genre. Deux formes de la même classe appartenant au même genre, les classes se répartissent également en genres.
Si À est le nombre des unités (+ 1 ou — 1) d’une ligne des Tableaux qui précèdent, le nombre des genres possibles est évidemment 2. Mais, tous ces genres n'existent pas, en général. On a, en effet, une relation entre les caractères particuliers : le produit des caractères particuliers qui sont situés dans la première partie de chaque ligne doit donner + 1. Cette condition, si la première partie de la ligne existe, aura donc pour effet de réduire le nombre des genres possibles de moitié. On constate d’ailleurs aisément que la première partie de chaque ligne existe toujours, sauf si À est un carré précédé du signe —. Ce cas ne nous intéresse pas, puisque nous supposons le déterminant négatif.
Ainsi le nombre des genres possibles est 27", De plus, ces genres existent effectivement et chaque genre contient le même nombre de classes de formes. On remarquera que, dans le cas d’une forme improprement primitive, on ne peut avoir que À = 3 (mod 4) et, par suite,
(1) Ou 2m.
192 JACQUES CHAPELON.
P=3(mod#4) et S—1(mod2). Les Tableaux qui précèdent”se réduisent alors à la première ligne de 1°.
152. Or, un des nombres p, ...,s,... est 5. Un des caractères quadratiques sera donc (&):
1° Si5 est un des nombres p, p', ..., P étant impair, sera ou 5, ou le produit de 5 par au moins un autre facteur, différent de 1.
Si P=— 5 —=1(mod/), on est dans le cas 2° et la première partie des
caractères particuliers se compose de deux caractères :
(— re et (2)
auxquels correspondent deux combinaisons de signes
+ + et
) et, par suite, au moins deux groupes de genres : l’un pour lequel 7} 1, c'est-à-dire le sroupe des genres pour le Is la fi = ,c'est-i STOUP g pot squels la forme représente des nombres résidus quadratiques de 5, l’autre pour lequel
des nombres non résidus quadratiques de 5. D'ailleurs, ces deux
m , (3) — — 1, ou legroupe des genres pour lesquels la forme représente
sroupes contiennent le même nombre de genres et, par suite, le même nombre de classes de formes, ce qui démontre le théorème.
Si P est le produit de 5 par un autre nombre, quel que soit le cas où l’on se trouve, il est clair que la première partie des caractères particuliers se composera au moins de deux caractères, et par suite qu’on
a EL du 4] N m aura un certain nombre de groupes de genres où (&) — + 1, et le
même nombre de groupes de genres ot ie Il d le group g s où Rs )—=—1. y à done,
en, 5 \ nm ici encore, autant de classes où (S)=+: que de classes
\ m vue ou É —= — Î.
>° Si 5 est un des nombres s, ilest clair que, puisque les caractères
parüuculiers de la seconde partie de chaque ligne ne sont soumis à au-
ro < m : : :
cune restriction, lors même que seul le caractère 3) existerait, il y ra à ; hs aura à la fois des genres où (5) — + 1 et des genres où (+) =. J Ces nombres de genres sont d’ailleurs les mêmes : par suite, le théo-
rème est encore démontré dans ce cas.
On voit que le point important de la démonstration est qu'il existe
\ A \ . m à Coup sur, «a la fois, des genres où ()=+ 1 et des genres
\ m ou (&) = lé
Cela n’a pas lieu pour tous les nombres.
Si l’on prenait, par exemple, les classes de formes susceptibles de représenter des nombres résidus quadratiques de 3, ou des nombres non résidus de 3, on constaterait que, pour certains déterminants, il n'existe pas de classes pouvant représenter des nombres résidus.
Si, par exemple, —147—3(49}), on est dans le cas P=3(mod4) et S = 1 (mod>2)
Classes. (+): (2).
3 7 (Œ OM) Modern trie + 2e Cure AO TS Tee enr <E + OS a507) eue 1e ÿ CO TO) EU ee ie = (12; OS EE + = PUR SP R S PEPR ER PRE + == (he; ne heros -- -i- (6; DR ne cute + —
On voit qu’on n’a que deux genres et que, seuls, les résidus quadratiques de 3 sont représentables par des formes quadratiques de diseriminant 1/47.
La démonstration précédente réussit pour tout nombre premier
congru à 1 (mod 4).
