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due à M. Tchébicheff, donnant l’expression approchée d’une . intégrale définie au moyen d’autres, prises entre les mêmes limites, mais plus simples que la proposée.

= Le chapitre III est consacré à l’étude de te fonctions

entières, dites fonctions analogues à celles de Legendre ou poly-

nômes de Jacobi. Ces fonctions ont été considérées pour la première fois par Jacobi dans son mémoire sur la série hypergéo-. métrique, inséré dans le T. LVI du Journal de Crelle. Les propriétés de ces fonctions découlent presque immédiatement de | leur définition comme dénominateurs des réduites dans le développement en fraction continue d’une intégrale de la forme indiquée ci dessus et se déduisent sans le secours des séries hypergéométriques, sur lesquelles on fait ordinairement reposer la théorie de ces fonctions. On trouvera ici, entre autre, les démonstrations de quelques théorèmes élégants, enoncés par M. Stieltyes dans les Comptes rendus 1885.

L'application de la théorie exposée dans le premier chapitre : au calcul approximatif des intégrales définies fait le sujet du ch. IV. Les expressions des termes complémentaires dans les diverses formules des quadratures approchées sont déduites, à la manière de M. Markoff (Math. Annalen Bd. XXV. Sur la méthode de Gauss etc.), au moyen de l’expression du terme complémentaire de la formule d’interpolation de Lagrange généralisée, donnée par M. Hermite dans le t. 84 du Journal de Borchardt.

Le dernier chapitre V est consacré à l’une des plus belles applications des fractions continues algébriques,. provoquée par les recherches ingénieuses de M. Tchébicheff. La question dont il s’agit consiste à trouver les valeurs limites, c’est à dire, le maximum et le minimum de l'intégrale

fe (y) (y) d

=: | Y d’aprés les valeurs données des intégrales b 2#D D

b | fr (y) dy, fo { (y) dy, Lo f(y)dy, … Jar (y) dy,

æ étant un nombre donné, compris entre « et b, f (y) — une fonction inconnue, positive entre les limites de l’intégration et Q{(y) — une fonction quelconque donnée, assujétie seulement à quelques restrictions, concernant le signe de Q (y) et de ses derivées successives jusqu'à l’ordre +-1, pour les valeurs de y comprises entre a et b. |

Cette question a été posée, pour le cas de Q(y) —1, par

M. Tchébicheff dans son mémoire «Sur les valeurs limites des intégrales», inséré dans le Journal de mathématiques pour

C’est à M. Markoff que nous devons la première résolution de cette question dans toute sa généralité. La solution de M.Markoff a été publiée par lui dans son mémoire «Sur quelques applications des fractions continues algébriques» en russe, à St. Pétersbourg 1884. C’est cette solution même, quant aux traits principaux, que nous reproduisons 1CI.

Mais, en cherchant de simplifier autant que possible l’exposition des résultats définitifs, nous avons substitué à quelquesunes des démonstrations de l’auteur d’autres, plus simples, et nous avons ajouté aussi quelques considérations sur la distribution des racines des équations à la résolution desquelles se ramène toute la recherche, et dont on pourra apprécier la valeur, essayant d'appliquer les formules générales à des exemples.

Récemment, M. Tchébicheff à publié les résultats de ses propres recherches sur la même question (Sur la représentation - des valeurs limites des intégrales au moyen des résidus intégraux, en russe, Mémoires de l’Academie des sciences de St. Pétersbourg pour 1885). Une traduction française de ce mémoire doit pa- raître prochainement dans les «Acta Mathematica».

Les expressions des valeurs limites de l'intégrale proposée y

sont données sous une forme très simple et élégante, mais les principes, sur lesquels repose la solution, ne sont pas indiqués.

On trouvera la démonstration des formules de M. Tec hébi-

cheff dans le #° 17 du ch. V.

La résolution de quelques questions des maxima et minima,

qui se ramènent aisement à la question enoncée ci-dessus, termi-

nent ce chapitre.

Le but principal que nous avons eu en vue, en publiant ce

travail, était de contribuer à la connaissance des résultats déjà.

acquis dans ce genre Ce recherches, qui sont encore loin d’être épuisées, essayant de présenter un ensemble assez complet de ces résultats sous une forme tout à fait élémentaire.

St. Pétersbourg, Novembre 1886. à