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À SL Tes LP LE: OU 2 CRE OR OX - EE ARCS Le ne Le M" ‘ s: À
D RSS + ps + # 195.2 RECRUE A : *
[O9 désignant le résultat de x + 1 intégrations par rapport aux
variables æ,, 4,,... &,,., entre les limites a et b;
RES JT ,— Î A3" Il f(x) dx.
Toutes les intégrales que nous aurons à considérer étant prises entre les mêmes limites, nous nous dispensons d’écrire ces limites.
Nous allons chercher la formule de réduction de l'intégrale multiple
Rat ea |
J,,(u,v), é’est à dire la liaison entre J,,(w,v) et J,(w, v); cette
formule nous donnera la série cherchée avec le terme complémentaire.
En développant les déterminants A, ,(u), A,.(v) suivant les
éléments de la première ligne, nous aurons
À,.(u)—=4,9,.(&)+À, D, , (de) +...+A (x
n+]1 Pat rt
RAC bip en ED, D, ()+...+B
nr Pare LU
ny)
où À,, B, désignent les déterminants mineurs indépendants de ,. Donc
A,,(u)A,,(v)— > Pn—1 (4) LB D. Pn—1 Ce) Pn—1 (r) 45Bz
où la première somme est étendue sur toutes les valeurs de à
i—1,2,3,...(n+1) et la seconde sur toutes les combinaisons des valeurs
if) 2 8e (ml) k— 1, 2,3,...(m+ 1)
à l’exception des combinaisons dans lesquelles 4—%; le nombre de termes de la première somme est # + 1, celui de la seconde est min+-1); tous les termes de chacune des sommes s’obtiennent d’un
seul par la permutation des lettres æ,, 4,,... 4%,,..
rio
Multipliant par É | =
n+1 we
[rec
et intégrant (n-1) fois, l’égalité ne ie d'aprés ce qui est exposé ci-dessus
Sval n+1
Ju, 0) = (n + NE @,)4, B, [| f() dx, e (5)
(n+-1) ee
| + n(n + 1) | P,(%)p, (%) Ai Ba Il f(x) dx, | L L
Por (&:) ? PEUR (&), 2 Ph 0 (æ N+H+-1 )
0 0 0 ee 0 0 0 0 4 © ee €
1— P,(&),. (mm) -. ©, Eee, Po: Po: Po Uo ; Us; Una
B, s'obtient de À, en y remplaçant w par v,
Pa) Pn (T3): te Pa (Un+1)
0 0 000 0 0 0 ee 0 ee €
De re : (&), P1 (Gs), note Pi (Gi) Do) Do» ER Po Vis Vs set Dr
Le premier terme du second membre de la formule (5) se réduit
évidemment à (n)
(n + fs, (0) f(x) dx |a,.00 À, ,(v) Il f(x,) dx, « L
— (n +- fe. (x) (&) da. J,,(w, v).
ÉTAT Er
Quand au second, on peut évidemment l'écrire sous la forme
— 5 \ k Lise n+-1
ne D]{fe, GB, f) du fe, Gp Art) dn) TT r@pdr, : 8
Observant que
Pre (ts), Dh a). , PAS (pese )
0 00 0 0 0 0 e ee 0 0 0 ee à e 0 ee © ©
A=(—1)" "# |+o(x,) - PL); D, (M) .."0 (x es :
Po» Phare Po D, (T3)) RE at pets) RER ee P1 (Us) c.. P(2,,) Dis Po
o(x) et o(x) étant des fonctions UNE de dégré nr — 2 par rapport à æÆ, et que
| Pn 1(2) f (22) © dx, = 0 Je.) f(&)o(x,) dx. = 0,
on | voit que le second terme du second membre de la formule (3) se réduit à
— N (N + Du op, (2) f(x) dx Je op, .(&)f(&)dr.J,..
Donc la formule (5) prend la forme
De D Que) | ee
—nn+l)7,., + f(œ)w Pr (x) dx fr (@)vp,.(x)dx
ou
Th (u, v) ar DRE n(n+1) Juno. [f(&) pn—1 (&) d
no (to) JS (ou on (0 de. [ (0) 0 On à (2) de RATE J @?n—1 (e)f (0) de
on t6)
En faisant ici une supposition particulière sur les fonctions w et v, Savoir RL
u—=v—p, (2) et observant que | A (pu Jo (die 6) 0
AO A de Our Pen nous aurons Je, —="nJ,%, [r,.0 f(x) dx et la formule (6) prend la forme
Jn—1 (#4; v) En Jn—2 (4, v) F4 [7 (@) U Pn—1 de. | f(x) 0 Pn—1 dX (1) (n 4-1) Jp; n Jn—2 [f() P?n—1 d% AP
En posant ici successivement n égal à
2, 3,...n 4 et observant que
Jo, 0) 25 [fe 3) (vo 01)f (ar) (2) de ds I AT [f(&) dx
u f(æ) de. [of (x) dx | = [uv ro ar — etes Lt
DANONE
on obtient définitivement la formule
NT LU Om (of (a) de. [ 0 @m x (@).F (a à DANONE RUES LEROMIS EARE ERIC LS ] 4 2 J9%m = (e) (a) de
ce qui est précisement la formule de M. Tehébicheff, avec le terme complémentaire
Cette expression du terme complémentaire peut être simplifiée, en
faisant usage des propriétés connues des déterminants.
En désignant par À, le coefficient de 2° dans l'expression de o,(#), nous pouvons évidemment représenter ©, (x) sous la forme
pt) = 4,2 +p9, (+, +... +p,
Pos Pas ++ P,, étant des constantes; on pourra donc, en vertu d’une Ans connue des déterminants, remplacer les éléments de la première ligne
Pn—1(); Pro): + + Pr: En) dans les déterminants A, .(u), A,.(v), A,. par les quantités DRE MORT Re: ARE PER et en général la ligne
®z (x), D (ta) CRTC D CES) À, ER “re ie A; T
k ne
par la ligne
Aprés cette transformation l'expression de À, devient
re +1 [Dr ) Ds (0) LP des D RE A ee (11)
HA (x)
Qu 2) [ Dan TL (ad dé
où
1 TRE ET ES | ; Bi Da ++ Tous ; D, ,(u)— Rs node ttes dl re Pet LATE CRT Se ie, RE TR EST LA ‘ lors Te. | die PRES Une : D, ,— RTS Fe DE œ He RS. ie ur: ñ
(ir (D
3, Les propriétés du terme complémentaire À, découlent trés simplement de la formule suivante, concernant le déterminant
D (u) == DE (Q.,(x))
(Gé) D es 00) |
c’est à dire
n+1 : < ) Q, (n) (£) DT se. 0e. 110 0e ve 0e 6. oeuvre; e Le =). (0) sx F Le AS DAT Dre | | | | Se
& étant un nombre, situé entre les mêmes limites, entre lesquelles se
trouvent les ee Lo dirs peter | cs : Ë
FL LT JE SÉGNERS ineant Se PRE Et nd ANSE ons
— 4] — À Pour démontrer cette formule, observons qu’elle est vraie pour nt car | Il D, (Q, (x)) — —Q, (,)—Q, (2,)=(%—%) 0,6).
Il suffit donc, pour établir la généralité de la formule (12), de montrer, qu'étant supposée vraie pour une certaine valeur de », elle le sera aussi pour la valeur de x augmentée d’une unité. En partant de cette remarque, transformons D, .(Q.(x)) de la manière suivante
1, Bees 1 S La: as RS DE (Q, (x)) = : nos sers RU por 7. (n— 1) Q, (x), Q, (&),...Q (és) Ly— À, BL, L, —% | LL, Dr, - AU 1 Lu Ee ER a A ï Ut LS a"
Q, (2) — Q (a), Q (es) — Q (er)... (r,,,) — Q(m) Divisant les éléments de la première colonne par 4, — x,, de la
deuxième par %3 —#,, etc., On aura
(Lo— L3) (ta — D). + (Enr di)
fe . 1 DE D. Re mi se 2 Es:
OR DE PU EN ne 7 PORT PDO Te DE POSER MIS» 7 PRES O, (x) — Q, (x) O, (Gn-#1) — Q: (@)
ESC * ei . L] + LA Lo— Ty En+41— Li
DD a
ou, désignant
Q, (x) — Q, (æ;) LEA (1 (x) . T—%
et simplifiant le déterminant précédent, à l’aide d’une propriété con- |
nue, on obtient | Dy—1 (0 (x)
(to &3) (t3— Lo). . (Ap-r1— da)
— css ss ses = D,, (®(x)).
Dr), B(),...B(x,,,)
Supposant maintenant la formule (12) vraie pour le déterminant
D,,(d(x)), on aura / | (n—1)
aus (Q (x)) ns ee d) (X3— %) cs (CR %,) a * (13)
6, étant un nombre situé entre les mêmes limites, entre lesquelles se trouvent les nombres æ,, %3,... æ
n4+-1° Or,=ayant Q — Q a Da) = OO 2 fo, (à — 0 (2,)] (& —2) on aura
DD ()= (an) QG) (1) (22) QT? (x)+.
+ (— D" 1.2...(n— 1) (6 —2) *(Q(x) — Q (mi) =
Q (0 (en) D (a) — = APN —D (a)
(ti— 2)"
