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| ? (i) i , DE ep À Lila mi ME » DFE CT TEL ENNS ms | Gi=1, 2,0)

De plus, comme le résolvant d’un système irréductible doit être lui-même

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 157 irréductible, nous pourrons toujours déterminer les entiers p,, pe, ..., p, de manière que l'expression |

R,(2; VIE CHCMREEC Vi) soit, elle aussi, irréductible. Il va de soi que la condition du paragraphe précédent, que À,(&, 4; :.., 4,3) nait pas de facteurs doubles, est alors vérifiée d'elle-même.

Comme, par hypothèse,

k ACT) (1) er O(Yy1» VCE RARE à Yn-h» Nn- EE D NOK | n ) se 2

nous avons Aussi

p2 f A #1) 1 { PA) | #1; V2 VALUE. Yn—n) HEC 22 Y15 Coug TARDE ets Eté , V1 CCE Y x»)| » se (1) re 2 He L VIE CAO ROPE | Las) CE VE

Mais alors, 71, y, ..., Yi n restant indéterminées, la fonction ratiommelle de # IH(2; VE PLUS) ue)

s’annule pour l’une des racines de l'équation irréductible 2,(4,) = o; d'apres un théorème connu, elle s’'annulera done pour toutes les racines Go, (à = 1, 2, ..., p) de cette équation, et nous aurons

Ai) 1 (EÙ Le 071, 2 Rx Yn—hs PRE V1» D Yn-h)s GLS TRACE 1/1 vins D) =,0 pour = 1, 2, ..,, 9. Il en résulte immédiatement que la fonction

rationnelle O(y:; Vas +... Yn)

PATIO DOUDOUS MIS LEVELOMES y ne purs don Ya 70, vérifiant le système irréductible d'équations

Gi, 2 CRUE | RAS Gays V2) 4027 Yn) = CGT: tt: V2) LICE | V0

Inversement, si nous pouvons démontrer que toute fonction rationnelle quitsannulepour#um système dé) valeurs (y, 93.2, uns mis ..s no), vérifiant un système d'équations données, s'annule également pour tous Msrditrestsyatemestdelvaleurs! (4; dar 007 ms Le das 1m) véri-

158 | | J. Molk.

fiant le méme système d'équations, nous pouvons en conclure que ce système d'équations est irréductible.

Soit, en effet, R — o, la résolvante de te systéme. - La fonction Re

s'annule pour y;,h1 = Ma - … Va => 7, :08b donc élle était réduetipe

et si R— S.T il y aurait une équation $ = o, ou T — o qui étant vérifiée pour un systéme. de »valeurat (7,292; 2 nu OS ne le serait pas pour tous, contrairement à l'hypothèse. Ainsi l'équation R — 0, et, par suite, le systéme d'équations données est irréductible.

Cette propriété étant nécessaire et suffisante pourrait étre donnée comme définition de l'irréductibilité d’un système d'équations.

Le probléme de la décomposition d'un système d'équations quel-' conques en systemes irréductibles peut être maintenant considéré comme résolu en même temps que posé. Soit, en effet, un système donné; nous commencerons par former sa résolvante À — 0; nous décomposerons ensuite, dans le’ domaine de rationalité arbitrairement fixé, la fonction R en ses facteurs irréductibles; à chacun de ces facteurs $,, égalé à zéro, correspond un système d'équations bien facile à former. Il suffit de développer la fonction irréductible NA CP RE A PP RP ne suivant les puissances des indéterminées w,, 4, ..., u,, et d'égaler à zéro tous les coefficients

i) i (à) / Dogs Vas Mn) DEN is Vase ts Maire US UT EE EE

de ce développement. L'ensemble des équations ainsi formées est certainement équivalent à l'équation S$S,— Oo elle-même, qui doit être vérifiée indépendamment des indéterminées %,, %, ..., 4

En d’autres termes, S, — o est identique à l'équation résolvante du système

CD (gas Vas) = 0 DS (as Yar see Ya) = Os ve, DE (Yo Yas +23 Un) = O].

L'ensemble de ces derniers systèmes, formés pour tous les facteurs irréductibles $;, du résolvant R, est équivalent au système donné.

Tout ceci ressort immédiatement de la définition même de l'irréductibilité des systemes, Mais ce qui est bien remarquable, c'est que l'on puisse toujours former un système irréductible, équivalent au précédent, (D, D, ..., D) et composé de (n + 1) éléments seulement. Ce nombre peut se réduire dans chaque cas particulier, maïs un seul élément

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 159

de plus que le nombre total de variables considérées suffit certainement. Nous allons démontrer ce théorème.

L'équation

S;(Y; Vis Yo secs Unis Us Us ce. u,) = 50.

devant être vérifiée identiquement en %,, #4, ..., u,, sera manifestement - vérifiée pour les à systèmes de valeurs suivants donnés à ces indéterminées

LANCE GUN) ET FE Due O PR PTIT ES PRE NTRES NS TI LUN TO Un 9 U, I; U TT? Vo En — Un 3 72 O Ulis =U, =), WW —= =... —=U,; — Ui jy0 = ER U, ==) (0

Nous avons ainsi à équations simultanées à . Rp” a) Si(Ya5 Has vie Ynar Op eees © .., O, O, 15 À, N', 2, °) = 0 S K : . M M’ (LINE Si (Yn-1 + Ya Yis ver Ynis Où es O3 O, I, 1; N, hR y es À *) = 0

, ! ; QR(H)\ Si(Yn-2 + Yn Way ver Ynir Op ve Où es 1, O, I; À, R', EX == Q

; = . (ÿ7) er ER een Varare Oploers à lanene 30 Or Os a 15 Med notes NU) = Où

La première nous permet de déterminer y, en fanction algébrique de UD 0 1,7, et lésesuivantes Y,;, [k— 1,2, =: (2 r)hen:fonction algébrique des mêmes variables y, y, :.., y,;. Toutes ces équations réunies déterminerit donc des variétés dont l’ordre est au plus égal à (n—i). En d’autres termes, si nous formons l'équation résolvante de ce système d'équations, nous sommes certain que les résolvants R,,R,, ..., R;; sont égaux à l'unité. De plus, le résolvant de rang ©, RÀ;, contient

certainement le résolvant S;; car

; a rÀ Di Le (is > Long DD 41) + LRU" re Ph) RL EN 2 (Y, ET: 7?)

160 J. Molk.

(2) Cu) (2) (h) Ch) (n) h) LEZ et An ) Yn—1 12 Vn ? Nn-—2 de %r MORT n—i+1 Cm "% ) sont précisément les racines des équations qui composent le système que nous considérons maintenant; si donc S, — Oo, ce systéme est vérifié par une variété (n —i)""" et, par suite, À, = 0.

Mais S, n'est pas nécessairement identique à ÆÀ,. Supposons donc qu'il y ait des systèmes de valeurs, formés par certaines combinaisons des” racines des À équations précédentes, qui vérifient simultanément ces à équations et, par suite, leur résolvante de rang à, et ne vérifient cependant past l'équation MO; (y Ye TL ED — o. Ces solutions peuvent alors, il est vrai, pour certaines valeurs particuliéres données aux entiers D, D, ..., P,, Vérifier l'équation |

S:(Pi91 + PoYo + pan + Pn? n° Vas de Yn—is Pis Dos SAS FER Pi) ==

mais elle ne saurait vérifier cette équation pour tous les systèmes possibles D15 Das es D D'autre part, l'équation r

S;( Pi 7 Pro ce AE RENE ar Pan» Ya» CRC? Yn—is Di TP Pi)

TA IRSC PRE ae TARA) v- SES tr Pat FE 79) An

est certainement vérifiée pour toutes les solutions de l'équation

S(u,Y: + UoY9 + A} " + UnYn 3 Yi» D Yn—is U;, LPS AC U)

(l (4 « FX 1e (Uni (Yn- Abe Yn 1+1) na € U,(Yn De 7) EN

Si donc la fonction

CACHE TRE EU UMR A UTUS u,) ne représente pas à elle seule le résolvant de rang à des À équations considérées, nous pouvons toujours choisir des entiers p,, 2%, ..., p,

tels qu'elle représente, à elle seule, le résolvant de rang à des (à + 1)

équations .

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 161 OEM SAUT IR 0 ER ON p.06, 4Ÿ 2 0

OR + V0 7/1: Yas ces Yn-is LPS ea 40 ee ouate LS 1e ©

NAPAREN + Un 5 Yi , U9 » CICR à) RES E O, SACS I prie elles O, 1) — © Y À ; Ur; 2 ; / S;(PiY1 + Pa <È re HD is VAT V2 En" 2 Yn=i9 Pi 0) D Dai) CS PRET: Ph) MO

dont les résolvants de rang un, deux, ...,(n — 1), sont égaux à l’unité.

Le système formé à l’aide des à premières équations précédentes peut également contenir des variétés d'ordres inférieurs à (7 — 1). Mais si ces variétés sont situées sur la variété

S;(y; Yo ste y Yniis Us ee s Un) = O

d'ordre (n — i), comme S, — Oo ne représente qu'une variété d'ordre (n — à), nous pouvons toujours choisir les entiers p,, 2%, ..., p, de manière que ces variétés ne vérifient pas l'équation

DDR act et DaVes Vas croalde ar Dinecss Pal == 0.

Le système formé à l’aide des ( + 1) équations précédentes peut alors

contenir encore des variétés d'ordres inférieurs à (# — i); mais ces variétés ne sont pas situées sur la variété représentée par l'équation

Si(y, ave sg Ynks Usa u,) IE

Cette derniére équation ne sera donc certainement pas vérifiée pour la variété (n — i — 1)°%* représentée par la résolvante de rang (à + 1) des (à + 1) équations considérées, du moins tant que #,, %,, ..., 4,

désignent des” indéterminées. Nous pouvons donc toujours déterminer des entiers

Pis Do, +, p, tels que le résolvant de rang (à + 1) du système

Sy Yi» Y2» PAS UE, 1e) —=: 0 Si (Yu Le Yns Vis Ya +. Yn 1) a?

SAERTE + Yn 3 VIT UC TITRE Ynr) = = 4@) S(pig1 «Dons Vis Vas ++ 23 Ya) 0 Spy Hipiys s Dis Vos 20% 5 Ya) = O

Acta mathematica. 6. Imprimé 13 Septembre 1884, » 91

162 J. Molk.

soit éval à l'unité et'que les résolvants de rangs supérieurs égalés à zéro ne représentent pas des variétés contenues dans la variété (n — i)"®, S,— 0. D'ailleurs le résolvant de rang à de ce système est, comme celui du système précédent, égal à S,.

En continuant ainsi nous obtenons successivement de nouveaux systèmes contenant chacun une équation de plus que son précédent, et . ayant leurs résolvants de rang (à + 1), (i + 2), ..., égaux à l’unité. Enfin nous parvenons à un système composé de » équations et tel que son résolvant de rang à étant toujours S,, ses résolvants de rang (à + 1), (à + 2), ..., (n— 1) soient égaux à l'unité; seul son résolvant À,, de rang #, peut encore étre différent de l'unité; mais nous avons pu remplacer les indéterminées #,, %, ..., #,, par des systèmes d'entiers Pis Pas -.., P, tels que les systèmes isolés que représente l'équation R, — © ne soient pas situés sur la variété S; — ©, toujours puisque le résolvant de rang à, égalé à zéro, ne représente qu'une variété d'ordre (n—i). En ajoutant, d’ailleurs, au système précédent composé de » équations, l'équation

Sy, Vis Yao ces Unis Us ss u) = ©

nous formons un nouveau système dont le résolvant de rang À est toujours S;, et les résolvants de rang (à + 1), (i + 2), ..., (n— 1), toujours l'unité, quelles que soient les valeurs par lesquelles on remplace #,, &, .,., u,, dans la dernière équation. Comme l'équation S; — Oo n'est pas vérifiée, pour des « indéterminées, par la variété d'ordre zéro représentée par le résolvant À, égalé à zéro, nous pouvons déterminer des entiers

(n—i) (n—ài) (—i) Pi » Do J'y ,

tels que le résolvant de rang x du système.

Yo—0

S;(Yn Van UT: MS Yn—+) at (net) k=0,1,...,n—i (4) }) ’ ; a 83 S;(p\ Ya +. + D Un» V1» ORNE | Yn+) = O

soit égal à l'unité. Le résolvant total de ce système, qui se compose au plus de (# + 1) équations, est alors précisément égal

Si(Ys Vas «eus Yénrs Ua Lee s Ua).

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 163

Dans la démonstration précédente nous avons fait usage de ce que S;— © ne représentait qu'une seule variété, mais non de ce que $, était irréductible. Nous pouvons donc énoncer immédiatement le théorème:

»(n + 1) équations suffisent toujours et sont en général nécessaires pour isoler, c'est à dire pour figurer à l'exclusion de toute autre variété, une variété d'ordre quelconque, prise dans une variété n°".

Nous dirons que cette figuration, par (n + 1) équations, d'un systéme d'équations représentant une variété déterminée, est la figuration complète de ce système d'équations. |

Un exemple trés-intéressant de la différence essentielle qu'il y a entre la figuration principale et la figuration complète d'un systéme, est le suivant. Considérons un déterminant formé à l'aide de »%° variables. D'après le dernier théorème, la condition nécessaire et suffisante pour que tous les mineurs d'ordre (m — % + 1) s'annulent, doit pouvoir s'exprimer par (n° + 1) équations, quel que soit #. Mais il suffit d'introduire une inégalité, pour que ce nombre d'équations se réduise à k*, comme M. Kronecker l'a démontré dans une lettre à M. BALTZER, insérée dans le Journal de Crezze. La variété représentée par les (n° + 1) équations dont nous parlons est donc d'ordre k° seulement; et cependant, si nous ne voulons pas introduire d'inégalité, elle ne peut s'exprimer par inoins de (m° + 1) équations.

164 J. Molk.

Conclusion.

Les recherches contenues dans ce Mémoire amènent à plusieurs résultats intéressants.

1. Nous avons vu que non seulement la théorie de l'irréductibilité des fonctions entières, mais encore celle de systèmes particuliers de fonctions entières, pouvait être résolue sans quitter le domaine de l’Arithmétique et de l’Algèbre. L'importance des indéterminées dans cette recherche indique déja le grand rôle qu'elles peuvent jouer en Algébre. Leur association systématique aux éléments de cette. science est comme le couronnement du grand trait de génie de Gauss, qui a donné à l'Arithmétique un caractère tout différent de celui que cette science avait jusqu'alors; et, d'autre part, elle est intimement liée par le principe d'équivalence de M. KumMmEer aux belles recherches arithmétiques de cet éminent géometre.

2. En supposant connue la notion de fonction algébrique, nous avons montré comment on peut résoudre le problème général de la décomposition des systèmes de fonctions entières et ce qu'il fallait entendre par équivalence dans cette décomposition. (Comparez Festschrift $ 20).

3. Nous nous sommes ensuite assurés que toute dépendance donnée par un nombre quelconque de fonctions entières égalées à zéro, peut être algébriquement — algébriquement, et non pas seulement logiquement, ce qui serait insuffisant en Alswébre, — ramenée à la dépendance donnée par une fonction entière égalée à zéro. Ainsi, en particulier, le domaine de rationalité le plus .général que l’on puisse former, est bien celui que nous avons nommé domaine général de rationalité. Ce théorème complète le second chapitre de ce Mémoire. (Comparez Festschrift $ 10.)

4. Nous voyons aussi quelle grande simplification la notion de contenant et de contenu, plus générale que celle de la divisibilité, introduit dans nos recherches. Elle n'est d'ailleurs point suffisante et il faut la généraliser encore, comme nous l'avons dit dans le troisieme chapitre. Mais déja la généralisation dont nous nous sommes particulière-

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination, 165

ment occupés, nous a rendu de vrais services et nous avons vu, plusieurs fois, ‘combien elle est naturelle.

5. La théorie générale de l'élimination nous permet également d’énoncer quelques théorèmes fondamentaux qui jettent un nouveau jour sur les formes géométriques d’un nombre quelconque de dimensions. A cet effet il suffit de ne plus limiter le domaine de rationalité.

6. Si nous jettons enfin un coup d'œil sur les méthodes employées, nous voyons que tout revient toujours à la recherche du plus grand commun diviseur. Comme l'élimination est {a cinquième et la plus élevée des opérations de l'Algèbre, on‘ peut donc dire que la notion du plus grand commun diviseur domine l’Algébre toute entière. C’est d'ailleurs bien naturel. La notion de plus grand commun diviseur des nombres entiers domine, elle aussi, l'Arithmétique élémentaire, et j'ai insisté, en commençant, sur l'identité des domaines arithmétique et algébrique.

Je termine en remarquant que, dans l’ordre de recherches abordées dans ce Mémoire, il conviendrait , ;

a) d'étudier de plus près le cas si interessant des systèmes impropres à la décomposition, dans le sens que nous avons attaché à ce mot;

B) de débarasser les deux derniers chapitres de la notion de fonction alsébrique, comme dans le cas particulier traité dans le chapitre trois.

En un mot, il conviendrait de substituer davantage, et sans faire usage d'éléments étrangers à l’Arithmétique, la décomposition des systèmes de fonctions entières, à celle des systèmes correspondants d'équations algébriques.

Paris, 20 Octobre 1883.

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