BR —I

3. Calcul rigoureux. — Le but de ce premier calcul est d’obtenir les coordonnées du point d’émergence O et les paramètres directeurs du rayon émergent. Considérons les trois réfractions que le rayon subit successivement en M, N et O. Il est commode de séparer le calcul des paramètres directeurs de segments successifs de celui des coordonnées de leurs extrémités N et O.

a. CALCUL DES DIRECTIONS. — Première réfraction (fig. 41). — L'origine est transportée en M. La surface d’onde pour l’air est la sphère de rayon 1.

Fig. 41. — Première réfraction. Construction de l’onde incidente.

L’onde plane normale au rayon incident et tangente à cette sphère coupe la surface de séparation suivant une droite A; perpendiculaire à la projection du rayon incident; l’équation de A, s’écrit

(1) æ COSŸ + y Sin Ÿ + ——, — 0.

S : sin ?

Celle de l’onde réfractée, passant par A,, sera donc de la forme

(2) æ cos Ÿ + y Sin Ÿ + à z + = 0.

es pe

Il nous reste à exprimer qu’elle est tangente à la surface d’onde pour le premier milieu du biréfringent. Suivant le cas, nous en resterons au système xyz ou nous passerons à celui des nt. Appelons provisoirement a, b, cles axes de l’ellipsoïde surface d'onde; deux d’entre eux seront toujours égaux et pour l’onde ordinaire les trois. En raison de la position parti culière des axes dans les prismes examinés, l’équation de cette surface sera toujours de la forme |

; x? 9 Z à (3) 0 im ou la même en Ent,

et celle du plan tangent

xx" 144 zz —— E 1 — ô [a (4) RE re de ou la même en Enê

et l’on obtient les coordonnées du point de tangence de l’onde réfractée, ainsi que la valeur de «, en identifiant (2) et (4). Ces coordonnées ou tout autre groupe de quantités proportionnelles sont les paramètres directeurs du rayon réfracté, soient L,, m,, 1.

Seconde réfraction. — L'origine est en N. L’équation (2) devient celle de l’onde incidente. On l’écrit dans le système Eté et l’on y fait & —0o pour avoir l’équation de son intersection À, avec le plan de coupe dans ce plan. Ce calcul se présente comme suit :

(2 bis) RU no 0 = V2 V2 Sin & d’où, pour & — 0 (A), (5) TER T CT NE 4 — V2 sin

L'’onde réfractée passe par A,; son équation peut donc s’écrire

a+ sing I

- C- 0, Dors

ou en revenant au système æyz qui servira évidemment pour la troisième réfraction

(6) Ecosb+n

a + sind — 6 ÿ2 œ + sin ÿ + PB V2 1 (2) L'COSŸ + ———————— + 3 — -—— + — — NE V V2 Sin £

Le plan tangent à la surface d’onde a une équation de la forme (4); en l'identifiant avec (6) ou (7), suivant le cas, on obtient les coordonnées du point de contact de l’onde réfractée avec cette surface, d’où les paramètres directeurs L, M, n du rayon deux fois réfracté et la valeur de B.

Troisième réfraction. — L'origine est en O; l'équation (6) ou (7) devient celle de l’onde incidente. On y fait z —o pour obtenir celle de son intersection À, avec la face de sortie, soit

a+ siny— pe... I

v2 sint

L’onde réfractée, qui est cette fois l’onde émergente, passe par À; et son équation s’écrit

(8) | æ COSb + y

a + sind — 6 V2 CEA (9) RÉPNCE RE TR ol On obtient ici directement les paramètres directeurs du rayon émergent puisque, se propageant dans l’air, il est normal à l’onde; on a donc

l; —= cost, + sind — 8 V2 m, = %+siny—f$v?, v2 TEEN

quantités (*) dont l’écriture est commune à tous les cas; la différence, non apparente, sera dans les valeurs de «, 8 et y. Exprimons y en fonction de «, $ et L. La surface d’onde est la sphère de rayon 1; le plan tangent a pour équation

(10) TL +YY +22 —1—=0.

Identifiant avec (9), on obtient, pour le point de contact

T3 = — ds sin 1, V3=— M3 Sin ë, GS 13 SIN 7:

Ce sont d’ailleurs les cosinus directeurs du rayon émergent, puisque ce point est sur la sphère de rayon 1. On a donc

(li+ mi+ ni) sin?i = 1,

d’où, pour y qui est égal à n, :

I Phil 1 3 DNS — Ai si [ooso+ (ue sim 6 va], SIN & : 2

valeur qui s'écrit de même dans tous les cas.

() La notation y, qui s’introduit ici tout naturellement, ne saurait produire de confusion avec la constante, inverse du grandissement g, dont il ne sera d’ailleurs pas question dans tout ce calcul.

On voit que le calcul rigoureux de la troisième réfraction est ainsi entièrement fait pour tous les cas.

L’angle d’émergence peut être donné par

li + mi = ÿ 3 3 5 S « sin? — \V/ Te ne sut Vl3+ m3 sin v.

b. CALCUL DES POINTS. — Il s’agit de déterminer les coordonnées du

point d’émergence à partir de celles du point d'incidence et des paramètres directeurs des segments MN et NO. On peut écrire

L3 = Li+ pr Li + 00 le,

O € Y3= Yi + pinu + pomme,

Z3 = 31 + 0171 + Polo.

Déterminons p, et #,; le point

La = Li + p: U Néy2=yi+einmu,

22 — 21 + PA 71 se trouve dans le plan de coupe; on doit-donc avoir

ce qui donne Yi—Z— ll 4 D tgi sind +y—7

Ii — IN: Ni — 4

Pour calculer p,, on écrit que le point O est sur la face de sortie, c’està-dire que Z2= — 2 me d’où Pi + 20 UE |

Ce calcul lui aussi est évidemment commun à tous les cas sous cette forme générale. Il n’y a aucun intérêt à introduire les valeurs de p,, de # et des six paramètres directeurs pour expliciter en partie les résultats; en effet, on serait encore arrêté par les valeurs de «x; 8 et y qui sont également particulières à chaque cas et qui mènent à des formules trop compliquées. Nous ne distinguerons donc les différents cas envisagés qu’en ce qui concerne le calcul des directions.

4. Suite. Calcul approché. — Le calcul approché commence exactement où s’arrête le précédent. On calcule d’abord « et $, puis x, et ya terme par terme. On passe ensuite à la détermination de e par la méthode exposée plus haut et sur laquelle nous allons revenir.

EN OSt—

a. Approtimalions. — Les quantités que nous considérerons comme petites seront la biréfringence € et l’incidence i. -

La première est une constante du cristal; nous avons vu qu’en valeur relative (c’est-à-dire rapportée à l'indice ordinaire n), elle vaut environ 0,006 dans le cas du quartz. Pour le spath, par contre, elle s’élève à o,11; en la supposant petite, nous éliminons donc ce second cas. Il ne serait pas logique d’ailleurs de considérer des prismes de même forme (p — 45°) en quartz et en spath. À égalité de constantes et aussi (comme on le verra plus loin) d’aberrations, l’angle de 45° pour un biréfringent en quartz correspond à 30,2 seulement pour un biréfringent en spath. C’est pourquoi, s’il est vrai que le calcul rigoureux est valable pour n'importe quelle valeur de la biréfringence, cela n’aura d'intérêt que lorsque nous l’étendrons à un angle de coupe quelconque.

L’angle d’incidence a pour valeur maximum la demi-ouverture angulaire du faisceau, c’est-à-dire dans notre cas la moitié du rapport d’ouverture de l'objectif. Ce rapport est généralement voisin de 1/15; l’incidence i ne dépasse donc pas 2° environ.

Il en résulte, toutefois, que nous ne pourrons pas négliger & qui représente une fraction importante de «e, alors que e? est toujours négligeable; de sorte que nous ne traiterons pas à et s comme des infiniment petits de même ordre. Nous conserverons finalement, outre les termes en tet en €, ceux en £? et les termes mixtes en si. Donnons ici les valeurs approchées de ces termes par rapport à € pour la valeur maximum de à supposée égale à 20 :

Indiquons enfin l'expression approchée de quelques quantités qui se présentent à tout moment dans les calculs :

b ; € b? 2 2€ 7 € a? PARDE Co = — — = + — EN — 7 n° a? n ? b n° b? iT n Nous poserons, en outre, A=a+bt=a(i—À), B = a%— b? = 2 a? —.

1 d A b. Méthode. — Nous avons déjà indiqué le principe de la méthode

utilisée pour obtenir e. Montrons maintenant comment ce calcul s'effectue à partir des éléments fournis par le calcul rigoureux. Considérons un rayon émergent quelconque défini par ses traces S° (O0, Y,, z; + h) sur le plan de symétrie et O (xs, Ys; Z3) sur la face de sortie (fig. 42). On peut écrire les projections du vecteur S'O sous la forme

NUE Ay = X ma ; Az = na,

d’où

Or, nous avons

AE LE AY Says, | Ar =—k,

d’où un moyen de calculer A; (L —0o) et h, (4 = =).

Fig. 42. — Définition d’un rayon émergent quelconque par ses traces dans le plan médian et dans la face de sortie.

Pour h,, la formule est très simple; S’ est l’image S', et l’on a

ha = — (3 )o (2)

où l’indice des parenthèses est relatif à la valeur de d. Pour h,, on est arrêté par y;, qui est inconnu; mais on tourne la diffi-

culté en considérant les deux rayons émergents 2 (u = :) et 4 (u = =) et en éliminant y; par différences. Ces rayons sont généralement dissymétriques par rapport à la normale à la face de sortie, soit S;. H (fig. 43).

On peut écrire

d’où