Sur Une Courbe Qui Remplit Toute Une Aire Plane
Dans cette Note on détermine deux fonctions x et y, uniformes et continues d'une variable (réelle) t 7 qui, lorsque t varie dans l'intervalle (0, 1), prennent toutes les couples de valeurs telles que 0<æ<l, 0 <y< 1 . Si l'on appelle, suivant l'usage, courbe continue le lieu des points dont les coordonnées sont des fonctions continues d'une variable, on a ainsi un arc de courbe qui passe par tous les points d'un carré. Donc, étant donné un arc de courbe continue, sans faire d'autres hypothèses, il n'est pas toujours possible de le renfermer dans une aire arbitrairement petite.
Adoptons pour base de numération le nombre 3 ; appelons chiffre chacun des nombres 0 , 1 , 2 ; et considérons une suite illimitée de chiffres a i7 a 29 .. que nous écrirons
(Pour ce moment, T est seulement une suite de chiffres).
Si a est un chiffre, désignons par ka le chiffre 2 — a, corryplementaire de a\ c'est-à-dire, posons
k0 = 2, kl = 1, k2 — 0.
Si b = k a y on déduit a — k b\ on a aussi k a = a (mod. 2).
Désignons par k n a le résultat de l'operation k répétée n fois sur a. Si n est pair, on a k n a == a; si n est impair, k n a — k a. Si m~n (mod. 2), on a k m a = k n a.
Faisons correspondre à la suite T les deux suites X^ 0, b^b 2 b^ • • •; -F—— û, Co où les chiffres b et c sont donnés par les relations
e x — k a 'a 27 b 2 = k**a Z7 c 2 = k a *+*a 4 , b s — k a *+ a *a b7 ... b n = k 0rf '“ + - + ° 2 »- 2 a 2 , 1 , e* = ^
Dbnc w ième chiffre de X, est égal à w ième chiffre de
rang impaire dans T, ou à son complementaire, selon que la somme «2 + • • • + 02*~2 des chiffres de rang pair, qui le precedent, est paire ou impaire. Analoguement pour Y. On peut aussi écrire ces relations sous la forme:.
css #2 —k^Cj, #3 —• k Ci b 29 w ~ ,. »,
G. PjSAHO.
Si l'on donne la suite T , alors Z et T résultent déterminées, et si Ton donne Z et Y, la T est déterminée.
Appelons valeur de la suite T la quantité (analogue à un nombre décimal ayant même notation)
t = val. + - f-~+*** *
A chaque suite T correspond un nombre et l’on a 0 < t < 1 . Réciproquement les nombres t 7 dans l’intervalle ( 0 , 1) se divisent en deux classes:
a) Les nombres, différents de 0 et de 1, qui multipliés par une puissance de 3 donnent un entier; il sont représentés par deux suites, Tune
où a n est égal à 0 ou à 1; l’autre
T' — 0 , a x a 2 .. . an-xan 000 ...
OÙ ün "f" 1 *
§) Les autres nombres; ils sont représentés par une seule suite T .
Or la correspondence établie entre T et (Z, Y) est telle que si T et T' sont deux suites de forme différente, mais val. T — val. T\ et si Z, Y sont les suites correspondantes à T, et Z', Y' celles correspondantes à T' t on a
val. Z = val. Z', val. Y = val Y'.
En effet considérons la suite
FJ . 0 , ... û 52 b —3 0/2n ——1 ^ 2 ®'^ 222 ...
où a 2 »-i et «g» ne sont pas toutes deux égales à 2. Cette suite peut réprésenter tout nombre de la classe a. Soit
on a:
Z> a = t aî+ -~ + “ 2 *- 2 fl 25S 1 , i> K+1 = &»+ 2 = • • • — g
Soit Y' l’autre suite dont la valeur coincide avec val. T,
T ^ 0, (ïj * » * ^2»—$$2»—2^2»—1®2« 0 0 00...
et
Les premiers 2 ^ — 2 chiffres de T* coincident avec ceux de T\ donc les premiers n — 1 chiffres de Z' coincident aussi avec ceux de Z \ les autres sont déterminés par les rélations
Nous distinguerons maintenant deux cas, suivant que a 2n < 2 , ou 02* — 2.
Si a 2n a la valeur 0 ou 1, on a a 2n = a 2n 4“ 1> # 2 »-i — <hn-u bn s==s b n7
a % 4~ a é 4“ * * * 4~ ^2»-2 4” c&2« — ^2 4“ * * * 4“ #2«—2 4- #2» 4^ ^> d’où
bn-j-2 * * * 8=5 3=== ^«4~ 2 55=1 * * * k <Z2 ”b’
Dans ce eas les deux séries X et X' coïncident en forme et en valeur.
Si a 2n «2, on a azn-i = 0 ou 1, a 2n — 0, a 2 n-i — a 2n ~i 4et en posant
on a
b n k^2»~l , ^»4-l b n -\-2 ts=:s * * * 155=15 k* 0.
Or, puisque û 2 «-i = 4“ 1? * e s deux fractions 0, a 2n - 2 222...
et 0 , a 2 «-x 0 0 0 ... ont la même valeur; en faisant sur les chiffres la même opération k* on obtient les deux fractions 0, b n b n -\-t b n ^ 2 • * * et 0, ï4&m-i&» 4-2 • • ♦, qui ont aussi, comme Ton voit facilement, la même valeur; donc les fractions X et X\ bien que de forme différente, ont la même valeur.
Analoguement on prouve que val. Y = val. Y\
Donc si Fon pose x = val. X, et y = val. Y , on déduit que x et y sont deux fonctions uniformes de la variable t dans Fintervalle (0, 1). Elles sont continues; en effet si t tend à t Q7 les 2n premiers chiffres du développement de t finiront par coincider avec ceux du développement de t 0 , si t Q est un ou avec ceux de Fun des deux développements de 4 9 si 4 est un a\ et alors les n premiers chiffres de x et y correspondantes à t coïncideront avec ceux des x 9 y correspondantes à 4*
Enfin à tout couple ( x } y) tel que 0 < # < 1, 0<y < 1 correspond au moins un couple de suites (X, Y ), qui en expriment la valeur; à (X, Y) correspond une T 7 et à celle-ci t\ doue on peut toujours déterminer t de manière que les deux fonctions x et y prennent des valeurs arbitrairement données dans Fintervalle (0, 1).
On arrive aux mêmes conséquences si Fon prend pour base de numération un nombre impaire quelconque, au lieu de 3. On peut prendre aussi pour base un nombre pair, mais alors il faut établir entre T et (X, Y) une correspondence moins simple.
On peut former un arc de courbe continue qui remplit entièrement un cube. Faisons correspondre à la fraction (en base 3)
160 G. Peano. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, les fractions
où
= a I9 Cj = k ôi & 2 , = k^ +Ci tf 3 , ù 2 = k Ci ^a^ . . .
i n =t^+-+^i+^+-+^-i a3ji 2)
^ = kM-4-M-M—K. Æâ b .
On prouve que æ = val. X, y — val. T, # = val. Z sont des fonctions uniformes et continues de la variable t = val. T; et si £ varie entre 0 et 1, y, z prennent tous les ternes de valeurs qui satisfont aux conditions 0 < # < 1, 0 < y < 1, 0 < # < 1.
M. Cantor, (Journal de Crelle, t. 84, p. 242) a démontré qu'on peut établir une correspondence univoque et réciproque (unter gegenseitiger Eindeutigkeit) entre les points d'une ligne et ceux d'une surface» Mais M. Netto (Journal de Crelle, t. 86, p. 263), et d’autres ont démontré qu'un telle correspondence est nécessairement discontinue. (Voir aussi G. Loria, La definmone déllo spazio ad n dimensioni . . . secondo h ricerehe di G . Cantor y Giornale di Matematiehe, 1877). Dans ma Note on démontre qu'on peut établir d'un coté Tuniformité et la continuité, c'est-à-dire, aux points d’une ligne on peut faire correspondre les points d’une surface, de façon que l'image de la ligne soit l’entière surface, et que le point sur la surface soit fonction continue du point de la ligne. Mais cette correspondence n'est point univoquement réciproque, car aux points (. x } y) du carré, si x et y sont des /J, correspond bien une seule valeur de t , mais si x 7 ou y , on toutes les deux sont des a, les valeurs correspondantes de t sont en nombre de 2 ou de 4.
On a démontré qu'on peut enfermer un are de courbe plane continue dans une aire arbitrairement petite:
1) Si l'une des fonctions, p. ex. la x coincide avec la variable independente on a alors le théorème sur l'integrabilité des fonctions continues.
2) Si les deux fonctions x et y sont à variation limitée (Jordan, Cours d'Anaîyse, III, p. 599). Mais, comme démontre l'exemple précédent, cela n'est pas vrai si l'on suppose seulement la continuité des fonctions x et y .
Ces x et y y fonctions continues dè la variable t r manquent toujours de dérivée.
Turin, Janvier 1890.
