O P D CD

CO

signes

to

CO

ff

tO

Ainsi de x= — 1 à x=0, on perd deux variations; donc il y a deux racines entre 1 et 0; de même il y en a 2 entre 2 et 3. Voilà donc les racines connues à une unité près, chacune.

2e Exemple.

xi— x‘— 2x— 3=0. L=l-f-j/3=3, — L'= —2.

Il y a une variation de x=l à x=2, et une autre de — 2 à — t. -

Entre 1 et 2 il ne peut y avoir qu’une racine ; car l’équation n’a qu’une racine positive (p. 30). On cherche/’ etc,

2 fx — 2x* — 2X1 — 4x — 6 2x3 — x — 1 — x1 — 3x — 6 x

Le polynôme x’-?-3x-j-6=/x ne change pas de signe de — 00 à -f 00 ; car /x = 0 a ses racines imaginaires, donc il est inutile d’aller plus loin. Mais comme les trois polynômes fx ,fx,fx ne peuvent offrir pour x= — 00 , plus de deux variations, la proposée n’a pas plus dé deux racines réelles; ces racines sont en évidence (p. 42).

ALGkBRE.

3e Exemple, fx—x'' — 10a4+50.r — 21=0.

La méthode de Newton (pr, 28) donne L=2 , — L' = — 2.

Les substitutions ne fournissent qu’un changement de signe qui a lieu pour 0 et 1.

Pour appliquer le théorème de Sturm on cherche à la dérivée

fx — tixfi — 30.r’+50

qui se simplifie, et donne x'1 — 6.r’+10.

Or, cette dérivée égalée à zéro n’a point de racines réelles. Donc la proposée n’en a pas plus d’une (p. 46, r. 6); elle est entre 0 et 1.

4e Exemple, fx —x'1 — 5a?’+7 x — 2=0.

On trouveL=3, — L’ = — 3 parce que 3^^>5.3*+7.3+2 (p. 4 et 26).

Cette équation de degré pair, ayant son dernier terme négatif, a une racine réelle positive et une racine réelle négative (p. 45). Comme elle n’a qu’une permanence (si l’on y rétablit ± 0.a4), elle n’a qu’une racine négative (p. 30).

Les nombres 3 ,2 , 1 , 0, — 1, — 2, — 3

donnent les signes + ,+-> + , — , — , — +

Si les deux autres racines sont réelles, elles sont positives. Or, elles ne sauraient être entre 2 et 3 ; car leur somme serait 4; la somme des trois racines positives serait donc à fortiori 4 , et comme le module de la racine négative est 3, la somme des quatre racines ne serait pas nulle , ce que l’équation exige cependant.

Appliquons la proposition 46.

5fx—'20x3— 50x+35 lOx* — - 21,r+8 42x* — 66,r+35 2x, +21 Xpar5 +210#* — 330x+175

+ 111 JT.

Il est inutile d’aller plus loin : on voit que le premier terme de ce reste changé de signe, est négatif; donc (p. 47) l’équation