COSMOGRAPHIE

Distance de la lune à la terre en rayons terrestres :

distance maximum = 63,8 d minimum = 55,9 ]> moyenne = 69,9

Eœentricité de Torbite lunaire : o,o549>

Rapport du volume de la lune à celui de la terre ; le diamètre = les 0,273 de celui de la terre, et le volume = les o,02o3

ou un peu plus de r- de celui de la terre.

^ Masse de la lune : les o,oi3 de celle de la terre.

Densité de la lune : les 0,6 de la densité moyenne de la terre.

Rotation de la lune : dans le même temps qu'une révolution sidérale, c'est-à-dire en 27J , 32i66 = 2 7J 7* 43™ 11'.

Période chaldéenne^ connue sous le nom de Saros, pour prédire le retour des éclipses : 49 ans ii jours qui correspondent à 223 lunaisons et à 19 révolutions synodiques du nœud.

Période plus exacte : 67 ans 325 jours qui correspondent i 716 lunaisons et à 61 révolutions synodiques du nœud.

3" loi de KEPLER ! :^^ = -;;

7, t^, temps des révolutions de deux planètes autour du soleil 3 a, a', demi-grands axes de leurs orbites.

Digression de Mercure: elle ne dépasse pas 2$^ -•

Digression de Vénus : elle ne dépasse pas 48®. '

Vitesse de la lumière : 74600 lieues de 4 kilomètres par second^.

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Expression du poids d'un corps : p=zvd

p, poids évalué en grammes; v, volume en centimètres cubes; d, densité rapportée à l'eau.

Principe de la transmission des pressions dans les liquides:

p, pression totale exercée sur la surface s , p\ pression totale qui en résulte sur la surface s'.

Condition d'équilibre de deux liquides dans deux vases" communiquants : h'd' =zhd

hy hauteur du liquide de densité d) h'j hauteur du liquide de densité d\

Condition d'équilibre des corps flottants : vd = "j'd' V, volume du corps flottant: d, sa densité; v% volume du liquide déplacé; d'y sa densité.

Détermination de la densité des solides :

i* avec la balance hydrostatique : d = ^

Py poids du corps dans l'air; p', perte de poids qu'il éprouve dans l'eau distillée.

2*" parla méthode du flacon : même formule;

Py poids du corps dans l'air; p% poids de l'eaa déplacée par le corps introduit dans le flacon.

Détermination de la densité des liqîiides :

i" avec la balance hydrostatique . d= — ,

Pj p') pertes de poids éprouvées par le corps pesé successivement dans le liquide et dans l'eau.

2<* par la méthode du flacon : même formule;

Py Pi P^^^s ^u liquide et de Veau introduits successive^ ment datis le flacon.

Mesure de la pression atmosphérique sur une Surface donnée: p=i3«',6x/tô

Pj pression évaluée en grammes ; h, hauteur de la colonne barométrique évaluée en centimètres ; 8, surface pressée évaluée en centimètres carrés.

Loi de Mariotte : v'p'rrvjo

V, volume du gaz soumis à la pression p ; v', son volume sous la pression p',

d p Conséquence : 7 ~ '

d, densité du gaz sous la pression p ; d'y sa densité sous la pression /?'.

Mesure de la pression des gaz et des vapeurs : 4» avec le manomètre à air libre : p = d + /^

p, pression évaluée en colonne de mercure; d, différence des niveaux du mercure dans les deux branches du manomètre; hj hauteur barométrique.

2" avec le manomètre à air comprimé : p = d h — j-

même notation pour p et d; v, volume primitif de l'air du manomètre sous la pression h; V, volume final de cet air comprimé.

tension de l'air sous le récipient de la machine pneumatique après n coups de piston en négligeant l'espace nuisible au-dessous du piston :

-= i^yf^

a, capacité du récipient;^, capacité du corps de pompe; h, tension de l'air sons le récipient avant le jeu de la machine ; Xj tension après n coups de piston.

Tension de Tair sous le récipient de la machine de com^ pression après n coups de piston:

même notation que pour la machine pneumatique.

Force ascensionnelle d'un aérostat en supposant la température égale à çfiy la pression égale à o"" ,76 et en négligeant te volume des accessoires :

V, volume du ballon évalué en mètres cubes; et, densité du gaz qui le remplit, rapportée à celle de Tair ; p, poids de Tenveloppe et des accessoires, évaluée en kilogrammes.

Comparaison des différents thermomètres :

40oC = 8oR=:i8oF

G; degré de Celsius ou centésimal ; R, degré de Réaumur ; F. degré de Faremheit.

Dilatation linéaire :

l=lo{i+ht)

et avec une approximation suffisante :

(q, longueur d'une barre à o ; / et Z', sa longueur à / et ^. i' degrés ; h, coefficient de la dilatation linéaire de la barre.

Dilatation cubique :

Vo, volume d'un corps à 0; v et v', son volume à ^ et à /' degrés ; k, coefficient de la dilatation cubique du corps. On a k'=3h avec une approximation suffisante.

Relation entre le coefficient D de la dilatation absolue d'un liquide ou d'un gaz, son coefficient d de dilatation apparente et le coefficient k de la dilatation cubique de l'enveloppe. On a avec une approximation suffisante :

Coefficient moyen de la dilatation absolue du mercure

entre o et ioo* : rrr"

Coefficient moyen de la dilatation apparente du mercure

dans le verre entre o et «oo*;

64So

Coefficient moyen de la dilatation du verre entre o et 08700

Coefficient moyen de la dilatah'on absolue de Vair entre oet 100" : o, 0003665.

Mesure des températures avec le thermomètre à poids :

P, poids du mercure qui remplit le tube à o; p, poids du mercure qui s'en écoule à la température inconnue x.

Calcul du volume d'une masse de gaz sec, à une température et sous une pression données :

,__ vp 4 -hkt' ^ ""p' *i -\'kt

Vy volume primitif du gaz, à la température t et sous la pression p ; v% volume final, à la température t' et sous la pression p' ; k, coefficient de la dilatation du gaz.

Correction des hauteurs barométriques : /io= rrï: 7

hy hauteur observée à t° j hg, hauteur à o.

Expression de la quantité x de chaleur gagnée ou perdue par un corps; p, poids du corps; c, sa chaleur spécifique; /, nombre de degrés dont sa température s'élève ou s abaisse :

x^=pcL

Mesure de la chaleur latente de fusion de la glace par la méthode des mélanges; p, poids de la glace supposée à o; o?, sa chaleur latente de fusion; m, poids de Teau dans laquelle on plonge la glace; c, sa chaleur spécifique égale à l'unité;

m', poids (lu vase qui contient 1 eau ; c', sa chaleur spécifique ; tf température initiale de l'eau et du vase ; 6, température finale:

px + pc^ — [me -h m'c') {t — 6)

on a trouvé x = 79 ,25.

Mesure de la clialeur latente de vaporisation de Veau en faisant arriver un poids connu de vapeur d'eau dans un ser* pentin entouré d'eau froide ; p, poids de l'eau vaporisée ; a?, sa chaleur latente de vaporisation; T, sa tempéature; m, poids de l'eau dans laquelle plonge le serpentin; c, sa chaleur spécifique égale à Tunité ; m', poids du vase et du serpentin ; c', sa chaleur spécifique ; t, température initiale de l'eau et du vase ; 0; température finale :

px -hpc (t — ^-^) = i^c -H m'c') (ô — t) on a trouvé x = 537.

Détermination de la chaleur spécifique des solides et des liquides

1" par la niétlwde des mélanges ; /?, poids du corps ; x, sa chaleur spécifique ; T, sa température avant le mélange; m, poids de l'eau ; c, sa chaleur spécifique égale à i ; m'j poids du vase; c', sa chaleur spécifique; tj température du vase et de Teau avant le mélange : 6, température finale du mélange :

px (T — 6) = (me + m'c*) (0 —

Si le corps est de même nature que le vase, c' = x et l'étiuation ne contient qu'une inconnue.

2" par le calorimètre de Laplace et Lavoisier ou par un puits de glace; 7n, poids du corps; t, sa température initiale; X, sa chaleur spécifique; 7n', poids de la glace fondue :

mtx=^^,2bm'

Volume d'une masse de yaz saturée d'humidité k une température et sous une pression données :

/t -/' 1 -{-kt*

Vj volume primitif du gaz à la température t et sous la

pression totale h; f, tension maximum de la vapeur d'eau à t^-j v'j volume final à la température ^ et sous la pression totale h' ; f% tension maximum de la vapeur d'eau à t' degrés; fc, coefficient moyen de la dilatation absolue du gaz égal pour l'air à o,oo3665.

Poids du litre d'un gaz ou dune vapeur à t^ et sous la pression h .

dj densité du gaz ou de la vapeur, rapportée à l'air; p est évalué en grammes, h en millimètres; et fc = o,oo3665.

Poids dun litre datr humide à la température / et sous la pression totale h :

12^293 h-if ^ . 1 H- fcr 760

fj tension de la vapeur à t^, elle peut être maximum.

Déclinaison de l'aiguille aimantée : 17^ environ à Paris à l'ouest.

Inclinaison de l'aiguille aimantée : 66^ environ à Paris.

Vitesse de transmission du son dans Vair : on a trouvé 340"», 9 par seconde à 4 6® et 337», 2 à 10^. Cette vitesse diminue de o'",6o par degré. On trouverait 334" à 0^.

Vitesse de transmission du son dans Veau .'on a trouvé i435 iiuXros par seconde à 8**.

Lui des vibrations transversales des cordes :

rl\ Tid

n, nombre de vibrations simples par seconde ; r, rayon de la corde supposée cylindrique et homogène, l, longueur de la corde; d, sa densité relative à l'eau; Pj poids qui tend la corde ; g^ accélération de la pesanteur par seconde, égale à 9" 1809; iz, rapport de la circonférence au diamètre.

Lot des vibrations longitudinales des cordes :

N et n, nombres de vibrations longitudinales et de vibrations transversales que la corde exécute dans le même temps . l, longueur de la corde ; a, allongement que lui fait éprouver le poids qui la tend.

Formation de la gamme avec la corde du sonomètre.

Notes ut ré mi fa sol la si ut

Longueurs successives ) ^ ^ '1 ? ? A i

de la corde ( 9 5 4 3 5 45 2

Nombres successifs de J 9 5 4 3 5 iS

vibrations ) 8 k 3 2 3 8

Accord parfait : ut mi sol ut; les nombres de vibrations sont comme 4*0)6,8.

Diéser une note : c'est multiplier le nombre correspondant

de vibrations par -r.

Bémoliser une note : c'est multiplier le nombre correspon-

dant de vibrations par -^•

Gamme tempérée : l'octave est divisée en douze intervalles égaux. Pour obtenir l'intervalle unité, on a à résoudre l'équation a;*-=: 2, d'où ic= 1 ,009. Noms des notes avec les nombres relatifs de vibrations :

rt 1

Ut dièse 1 ,059

Bé 4,132

lié dièse 4,489

Mi 4 , 260

Fa 4,335

Fa dièse 4 ,4i4

Sol 4,498

Sol dièse 4 , 087

La 4,682

La dièse 1,782

Si 4 , 888

Vibrations longitudinales des verges : lorsque la tige «st fixée à l'une de ses extrémités, elle peut rendre des sons dont les nombres relatifs de vibrations sont comme la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7» «... et lorsqu'elle est libre à

ses deux extrémilés, elle peut rendre des sons dont les nombres relatifs de vibrations sont comme la suite naturelle des nombres i, 2, 3, k^ • • • .

Tuyaux sonores : si le tujau est fermé à l'une de ses extrémités, il peut rendre des sons dont les nombres relatifs de vibrations sont comme la suite des nombres impairs

4,3,5, 7 , et s'il est ouvert à ses deux extrémités, il

peut rendre des sons dont les nombres relatifs de vibrations sont comme la suite naturelle des nombres i, 2, 3, 4}***<-

Mesure des intensités relatives de deux lumièi^es avec le photomètre de Rumford :

i et i' intensités des deux lumières: d et d' leurs distances aux deux ombres également éclairées.

Foi^mule des miroirs sphériques concaves :

Py distance de Tobjet au miroir ; p'j distance de limage au miroir; /*, distance focale égale au demi-rayon.

Formule des miroirs sphériques convexes :

même notation. etc.

Formule de pendule : t=iT. y -

/, durée d'une oscillation de petite amplitude en secondes; ic, rapport de la circonférence au diamètre ; /, longueur du pendule; g accéléraliou de la pesanteur par seconde.

Longueur du pendule à seconde à Paris : o"», 998856; on en conclut ^ =9'»,8oS96 ou à peu près 9", 809.

Loi du mouvement uniforme : e=zvt V, vitesse du mobile; e, espace qu'il parcourt en t secondes

Lois du mouvement uniformément varié :

v = Vo ± t<^^ et e = Vot db - ivt*

Vo, vitesse initiale; w, accélération par seconde; /, ten'ps évalué en secondes; v, vitesse acquise au bout du temps t; e, espace parcouru dans le temps t.

Lois de la chute des graves dans le vide /

v=gt et h= -gt^

Vf vitesse acquise après t secondes; g, accélération égale à Paris à 9" 5809; h, hauteur de chute.

Vitesse due à la hauteur : v = ^2gh.

Formule relative à la machine d'AiwooD*

g, accélération en chute libre; m, masse additionnelle; M^ chacune des deux masses égales qui se font équilibre; g', accélération réduite.

Vitesse angulaire d'une roue : - —

n, nombre de tours de la roue en t secondes.

Relation entre les forces constantes^ les masses et les

accélérations : 4> = — r— ,

/ mw

fj force qui imprime à la masse m l'accélération w\ /*', force qui imprime à la masse m' Taccélération vo'.

Travail dPune force agissant sur un point matériel qui se meut en ligne droite : fh cos a

f, intensité de la force ; h^ chemin parcoum par le point matériel ; <x. angle de la direction de la force et de la trajectoire du point.

Résultante de deux forces appliquées à un même point matériel :

sin (/■/') sin (r/') sin (r/)

r, feir, intensité de la résultante et des deux composantes; ifjhi angle que fait la direction de la force f avec la direction de la force /*;...,.

Mesure des forces centrales : /*=

fj force centrale; m, masse du mobile; r, distance du centre du mobile au centre du mouvement; Vj vitesse du mobile.

Principe de la transmission du travail :

Tw — T„ — Tm = o Tm, travail moteur; T„, travail utile; Tm, travail nuisible.

Rendement d'une machine : il varie dans les meilleures machines de 0,60 à 0,80.

Équilibre sur le plan incliné •' /r = 7

V. puissance agissant sur le mobile parallèlement à la longueur du plan; Q, poids du mobile; h et /, hauteur et longueur du plan. On a négligé le frottement

Équilibre du levier : Pp = Q<y.

r, puissance: Q, résistance, ;? et ^, bras de levier des deux forces P et Q dans le même plan avec le point d'appui.

P r Équilibre du treuil •' 7\^^ n

P, puissance ; Q, résistance ; r, rayon du cylindre ; R, rayon de la roue ou de la manivelle On a négligé le frottement et la raideur des cordes.

Équilibre des moufles .* P = - ^ ' n

P, puissance; Q, résistance; n nombre des brins qui soutiennent la moufle mobile.

Équilibre de la vis * 7: =

Q 27rR

P, puissance; Q, résistance; /i, pas de lavis; R, rayon de la circonférence que tend à décrire la puissance.

Écoulement d^un liquide par un orifice percé en mince paroi : q =zo,^2a^2gh

q, dépense; a, aire de Torifice; hy hauteur du liquide.

Hauteur à laquelle s'élève un jet d'eau qiii sort par un ajutage cylindrique : /i = o,67H

/*, hauteur du jet; H, hauteur de l'eau du réservoir au-dessus du centre de l'orifice

Dépense d'une vanne : m a ^2 g h

m, coefficient qui varie de 0,70 à 0,76 suivant que la vanne est verticale ou inclinée; a, aire de l'ouverture, h, hauteur du niveau de l'eau au-dessus du centre de l'orifice rectangulaire.

Dépense d'un déversoir : o,l\oa ^2 g h

a, aire du déversoir; h, hauteur du niveau au-dessus de la base du déversoir.

Frottement qui s'oppose directement au mouvement dnn rnrp.9 glissant sur un autre :

F, frottement; /", coefficient du frottement, il est égal

à o ,07 environ pour les organes lubrifiés d'huile des machines; P, pression normale à la surface de contact des corps.

Travail absorbé par le frottement d'un tourillon qui tourne sur son coussinet, pour une révolution :

T=/*PX2nr

T, travail absorbé; f, coefficient du frottement; P, pression du tourillon sur son coussinet; r. rayon du tourillon.

Glissement d'une courroie sur une poulie ou sur un cylindre fixe :

^' fs '

V=pxer d'où log P s= log /> + ^ log c

P, force qui produit le mouvement en tirant la courroie par une de ses extrémités ; p, force qui s'oppose au mouvement en tirant la courroie par l'autre extrémité ; e, base des logarithmes népériens égale à 2,71828^ log 6=0,43429; fj coefficient du frottement égal à 0.28 pour une courroie glissant sur une poulie en fonte à l'état ^ordinaire d'onctuosité ; s, longueur en métrés de l'arc embrassé par la courroie sur la poulie; r, rayon de la poulie.

Travail moteur dune roue à aubes courbes, dite roue PoNCELET : quand il y a équilibre dynamique, on a

T^ = - mV* m(V — 2v)*

m, masse d'eau dépensée par seconde; P étant le poids de

cette eau et ^=9", 809 l'accélération de vitesse, due à la pe-

p santeur, m = — ; V, vitesse d'arrivée de l'eau sur la roue :

V, vitesse de la roue ; T„, travail moteur que peut transmettre la roue en une seconde. Dans les cas ordinaires de la pratique, on a

/i, hauteur de chute, c est>à-dire hauteur génératrice de la vitesse V.

Épaisseur que les ordonnances prescrivent de donner aux chaudières à vapeur en tôle ou en cuivre ;

Cy épaisseur de la chaudière en millimètres; d, diamètre de la chaudière en mètres ; n, nombre d'atmosphères qui indique la tension absolue maximum de la vapeur d'eau; la pression effective en atmosphères est n — 4 .

Kilogrammètre : travail ca(>able d'élever un poids d'un kilogramme à la hauteur d'un mètre.

Cheval-vapeur : 75 kilogrammètres par seconde.

Travail moteur d^une machine à vapeur à détente et à condensation :

T„ = VWt [H- log. nép ?- - ^ X y

Tf„, travail moteur produit par seconde en unités de 1000 kilogrammètres; V, volume de vapeur non détendue dépensé par seconde ^ hy pression de la vapeur avant la détente en mètres de hauteur d'eau, h'j pression derrière le piston en mètres de hauteur d'eau ; z, espace en mètres parcouru par le piston en une seconde; Zq^ espace en mètres parcouru par le piston pendant que la vapeur agit à pleine pression ; kj coefficient qui dépend de différentes résistances passives de la machine, et qui est égal à o,5a pour des machines d'une puissance de i5 à 20 chevaux.

Frein de Prony pour la mesure du travail utile transmis par un arbre tournant : /•= ,- ^

fj force réelle du moteur en chevaux de 76 kilogrammètres; n, nombre de tours de l'arbre par minute (ce nombre doit être le même que dans le travail de la machine) ; p, poids agissant à l'extrémité du levier; /, longueur du bras de levier du poids p.

Equivalent mécanique de la chaleur: 4aS kilogrammètres.