SECONDE ÉDITION

Ce recueil se compose principalement d'une reproduction des Tables de Laiande, avec quelques additions destinées k en faciliter l'usage. Nous; avons joint, comme complément, d'autres Tables dont on verra plus loin le détail, et parmi lesquelles se trouve la première édition française des Tables des logarithmes d'addition etde soustraction, inventés par Leonelli, et connus généralement sous le nom de logarithmes de Gauss.

Les modifications que toous avons apportées aux Tables de Laiande sont les suivantes :

i°. L'agrandissement du format, qui, en diminuant de beaucoup le nombre des pages à feuilleter, nous a en outre permis diverses additions utiles;

a°. La suppression des caractéristiques dans la Table des logarithmes des nombres; *

3°. L'introduction de Tables auxiliaires donnant les parties pro-

Sortionnelles des différences, non-seulement pour les logarithmes es nombres, mais encore pour ceux des lignes trigonométriques;

4°. Le rétablissement, dans les Tables trigonométriques, des logarithmes des sécantes, que le défaut d'espace avait fait supprimer par la plupart des auteurs, et qui sont cependant très-commodes, en dispensant de l'emploi des compléments arithmétiques dans les calculs de trigonométrie;

5°. La Table des logarithmes des nombres a été prolongée jusqu'à 10800, nombre des secondes contenues dans 3 degrés;

6°. En tête des diverses colonnes de cette Table, nous avons inscrit les valeurs correspondantes des logarithmes des rapports du sinus et de la tangente à l'arc exprimé en secondes, et par ce moyen cette Table peut remplacer avantageusement, pour les trois premiers degrés, la Table trigonométrique proprement dite;

7 . Pour les petits arcs, l'usage des lignes trigonométriques naturelles est souvent plus commode que celui de leurs logarithmes, ceux-ci se prêtant mal à l'interpolation. Nous donnons en consé-

[ vi J AVERTISSEMENT.

quence , dans nos Tables trigonométriques, les valeurs naturelles des sinus et des tangentes pour les trois premiers degrés*

Avec ces modifications de détail , nous avons conservé ce qui constitue essentiellement, selon nous, le grand mérite des Tables de Lalande, la simplicité de leur disposition, qui permet au commençant de s'initier sans difficulté à l'usage des logarithmes, en même temps qu'elle soulage l'attention du calculateur, et qu'elle diminue ses chances d'erreur dans une longue suite d'opérations. Le seul reproche que l'on puisse faire à cette disposition à simple entrée, c'est d'augmenter le volume des Tables. Mais ce reproche a ici peu de gravite , les logarithmes des nombres n'occupant que 36 pages de notre recueil, et nous n'aurions pas beaucoup gaghé à en réduire un peu l'étendue, en nous privant des avantages que nous venons de signaler.

Les logarithmes d'addition et de soustraction , connus généralement sous le nom de logarithmes de Gauss , ont pour but de faire trouver, par une seule lecture dans la Table, le logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres, donnés par leurs logarithmes. Ils ont été inventés, au commencement de ce siècle, par l'Italien Leonelli, qui exposa sa découverte dans un opuscule trèsrare, imprimé à Bordeaux, en l'an XI, sous le titre de Simplement logarithmique [*]. L'auteur y donne un spécimen d'une Table à quatorze décimales qu'il se proposait de construire. Mais le peu de fa-r veur avec lequel ses travaux furent d'abord accueillis, le fit renoncer à la construction , ou du moins à la publication de cette Table. Cependant une traduction allemande du Simplement logarithmique, faite en 1806, tomba entre les mains de Gauss, qui, non moins habile calculateur que profond géomètre , comprit l'utilité pratique de cette nouvelle méthode, et construisit lui-même de petites Tables à cinq décimales sur le plan proposé par l'inventeur. Ces Tables, publiées cour la première fois en 181 2, dans la Correspondance de Zach, ont été reproduites, quelquefois avec des modifications plus ou moins heureuses, dans la plupart des recueils de Tables imprimés, depuis cette époque, en AU&nagne, en Angleterre et même en Italie.

Nous allons donner en quelques mots une idée du projet de Léonelliy tel qu'il a été exécuté par Gauss, et nous arriverons ensuite aux modifications que nous avons apportées nous-même à la dispon sition de ces Tables.

DIF.

DIF.

0,23 Hfc3

[*] Voir ce les Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XII, page 171, et tome X, page 288.

AVERTISSEMENT. [ vil ]

La Table de Gauss , dont nous donnons ici un spécimen , se compose de trois colonnes, désignées par les lettres

et représentant respectivement les valeurs des quantités

iog#, logfn-^J, logi

x étant un nombre qui varie depuis i jusqu'à l'infini positif. La Table fait ainsi connaître les valeurs de B et de C qui répondent à des valeurs de A croissant en progression arithmétique à partir de zéro. D'après la définition de ces quantités, on a évidemment entre elfes la relation

Soient donnés maintenant les logarithmes de deux nombres a,b, dont a est le plus grand.

i°. Si l'on pose

il est aisé de voir que Ton a (B et G étant les nombres de la Table correspondants à cette valeur de A) ,

log (a-4-6) = loga-h-B = log 6-h C ;

d'où l'on voit que le problème de l'addition peut se résoudre de deux manières différentes, soit en modifiant lôg a, soit en modifiant log 6.

a 2 . Si t< 2 > en posant

log|*=B, on aura de même

log [a — b) =loga — C = log6 — A.

Mais, si t> a, on posera

logf = C,

d'où résulte

log (a— rb) = log a — B = log6-t-A.

Il y a donc deux cas dans le problème de la soustraction , chacun d'eux admettant encore deux solutions, où Ton modifie soit log a, soit log b. Mais ces deux cas ne sont pas essentiellement distincts, et l'on pourrait les réduire à un seul en doublant, comme l'a fait Shortrede, l'étendue de la Table [*].

[*] Il est aisé de voir, en effet, que, si Ton remplace x par -> ou A par —A, B et G se changent réciproquement l'un dans l'autre.

[ toi ] ÀVHITISSBMENT.

On voit donc, en résumé, que l'usage de (a Table de Gauss comporte deux méthodes différentes, dont la première consiste à modifier le plus grand des deux logarithmes donnés, et la seconde à modifier le plus petit.

Les Tables ainsi disposées sont d'une construction facile, et se prêtent à des usages variés. Mais elles présentent des inconvénients réels, que Leonelli avait déjà entrevus. Lorsqu'on applique au problème de la soustraction la première méthode, recommandée par Gauss, on est obligé, pour passer de la valeur de B à la valeur correspondante de G, ou vice versa, d'employer une double interpolation, exigeant, au lieu d'une seule opération de multiplication ou de division, une règle de trois complète, absolument comme pour trouver le cosinus d'un arc donné par son sinus. Cet inconvénient est atténué, il est vrai, par l'ingénieuse disposition des Tables des parties proportionnelles des différences qui accompagnent les petites Tables de Gauss. Mais il rend très-incommode, comme Gauss Ta reconnu luimême, l'usage des Tables plus étendues construites sur le même plan. Aussi les Tables à sept décimales publiées par Matthiessen (Altona, 1817), et disposées comme les Tables de Gauss, sont-elles peu em-

ployé

)n éviterait, à la vérité, la double interpolation pour rentrer dans le cas des Tables ordinaires, si l'on adoptait, au moins pour la soustraction, la seconde méthode, celle qui consiste a modifier le plus petit logarithme. Mais cette seconde méthode entraine des inconvénients bien autrement graves dans le cas, très-fréquent, où l'un des deux logarithmes donnés est beaucoup plus grand que l'autre. Dans ce cas, ep effet, pour obtenir log (a±b) avec autant de décimales que l'on en donne pour log a, il n'est pas toujours nécessaire que log b soit connu avec la même approximation, et la première méthode est en cela d'accord avec la nature même de la question : car le nombre B variant très-lentement lorsque A et C sont très-grands, il en résulte que, vers la fin de la Table, les dernières décimales de A et de G sont sans influence sur les dernières décimales de B. Si l'on emploie, au contraire, la seconde méthode, on obtiendra, pour log [a±b), autant de décimales seulement que l'on en donne pour log 6. Ajoutons à

cela que, dans le cas de ▼ très-grand, le calcul par la première méthode se fait en opérant seulement sur les derniers chiffres de log a, au lieu que, par la seconde méthode, on a, dans tous les cas, à modifier entièrement tous les chiffres de log b [*].

On remédie à ces inconvénients en renonçant à l'emploi de la seconde méthode, et séparant la Table de Gauss en deux parties, l'une pour les logarithmes d'addition, l'autre pour les logarithmes de soustraction. C'est la marche qu'a suivie M. Zech dans la construction de ses grandes Tables à sept décimales, qui font partie de la nouvelle édition des Tables de Fega{Samrnlung mat hematischer Tafeln f etc.), publiée à Leipzig, en 1849, P ar le docteur Huhse.

[*] Voyez August, Vollstœndige log. und trig. Tafeln, Berlin, 1846; Filipowski, Table 0/ anti-loiarithms, etc., Londres, 1849; Wittstbih, Funfstellige log.- trig. Tafeln, Hanovre, i85g.

àyerussement. [ « j

La Table d'addition de Zech a, comme celle de Gausa, poiàr argument le nombre À, et donne les valeurs correspondantes de B. La Table de soustraction a pour argument le nombre B, et donne les valeurs correspondantes de C. Mais lorsque B est très-petit, te plus légère variation de ce nombre en produit une considérable dans la valeur de G. De là la nécessité de faire varier B par intervalles trispetits au commencement de la Table, ce qui augmente considérablement le volume de celle-ci, et encore ne donne-t*elle d'abord les valeurs de G qu'avec quatre, cinq ou six décimales.

Ces diverses considérations nous ont conduit à adopter, en la modifiant un peu, la disposition générale de M. Zech. Nous avons séparé comme lui la Table d'addition de la Table de soustraction ; mais dans cette dernière, c'est le nombre C que nous avons pris pour argument. Cette disposition inverse permet d'abréger l'étendue de la Table, sans diminuer l'approximation qu'on en peut attendre.

Nous avons calculé ces Tables par interpolation, avec deux décimales de plus que nous n'en conservons, et en poussant même l'approximation plus loin, toutes les fois qu'il pouvait rester quelque doute sur la cinquième décimale. Nous les avons ensuite collationnées avec diverses éditions des Tables de Gauss, et avec les Tables de Zech.

Parmi les autres additions que nous avons faites aux Tables de Lalande, nous citerons un recueil de Tables de conversion des arcs en parties décimales du rayon, du quadrant, etc., et réciproquement;

Une Table à trois décimales des valeurs naturelles des fonctions trigonométriques, de degré en degré;

Une Table des logarithmes à nuit décimales des nombres depuis 100 jusqu'à iooo, à l'aide de laquelle on peut obtenir très-promptement, avec sept ou huit figures exactes, le logarithme d'un nombre quelconque, ou le nombre correspondant à un logarithme donné.

Pour obtenir une approximation plus grande encore, et pour ainsi dire indéfinie, nous avons extrait du Supplément logarithmique de Leonelli une Table d'une seule page, qui permet de calculer avec vingt décimales le logarithme correspondant a un nombre donné, ou vice versa, dans le même temps que l'on emploierait à faire une multiplication abrégée avec ce nombre de chiffres.

Pour les cas très-fréquents où Ton peut se contenter d'une moindre approximation que celle que donnent les Tables à cinq décimales, nous avons construit une Table de logarithmes à quatre décimales, contenue tout entière dans deux pages en regard, ainsi que deux autres petites Tables donnant, l'une les logarithmes, l'autre les antilogarithmes avec trois figures seulement.

Lorsqu'on veut revenir du logarithme au nombre , il y a un grand avantage à se servir des Tables anti-logarithmiques, ayant pour argument la partie décimale du logarithme, et dans lesquelles les différences tabulaires sont d'autant plus petites que celles de la partie correspondante des Tables logarithmiques ordinaires sont plus considérables. Nous avons ajouté, à Ja petite Table à trois figures contenue dans la précédente édition, une Table plus étendue d'anti-logarithmes à quatre figures.

Là Table suivante renferme les logarithmes naturels ou hjrperboli-