LIVRE II

27. Pour donner une application de la formule précédente, considérons le cas où deux joueurs A et B jouent ensemble avec cette condition, que celui qui sur trois coups en aura gagné deux gagne la partie, et supposons que, sur un très grand nombre n de parties, A en ait gagné un nombre i. En nommant x la probabilité de A pour gagner un coup, et par conséquent i — .r la probabilité correspondante de B, la probabilité de A pour gagner une partie sera la somme des deux premiers termes du binôme (x -\- 1 — xy, et la probabilité correspondante de B sera la somme des deux derniers termes. Ces probabilités sont donc x'^{'^ — 2.r) et (i — ^)^(i + 2,2?); ainsi la probabilité que, sur n parties, A en gagnera i, et B, /? — i, sera proportionnelle à ,^2«j3 ^x)\\ — xy-^\\ -+- ixY-\ En nommant donc y cette fonction, et a la valeur de x qui la rend un maximum, la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites a — ô et a + 6 sera

Sydx'

l'intégrale du numérateur étant prise depuis x = « — 0 jusqu'à X = a + 9, et celle du dénominateur étant prise depuis x = 0 jusqu'à a? = I . Si l'on fait

on aura, par le numéro précédent,

La condition du maximum de j ou de (p donnec^<p = o; par conséquent, a étant la valeur de x correspondante à ce maximum, on aura

oA' ii' 2(1 — i'] 2(1 — /')

a 3 — 2rt 1 — a \ -\- ia

d'où l'on tire

i'= «2(3 2rt), I /'r= (i — fl)2 (1 4- 2rt);

ensuite on a