Chapitre I. — Des fonctions génératrices a une variable

// étant une fonction quelconque d'une variable t et ja: étant le coefficient de t^ dans le développement de cette fonction, u e&l fonction génératrice dejx- Si l'on multiplie u par une fonction quelconque s de - , on aura une nouvelle fonction génératrice qui sera celle d'une fonction de j^, jx+i, etc. En désignant par vj.r celte dernière fonction, us' sera la fonction g-énératrice de v'J^r, en sorte que l'exposant de s, dans la fonction génératrice, devient celui de la caractéristique v dans la fonction engendrée. N" 2 7

De l'interpolation des suites à une variable, et de l'intégration des équations différentielles linéaires ' '

L'interpolation se réduit à déterminer le coefficient j-^+, de t^ dans le développement de -. • On peut donner à - une infinité de formes différentes : en l'élevant à la puis-

sance i sous ces formes et repassant ensuite des fonctions génératrices aux coefficients, on a, sous une infinité de formes correspondantes, l'expression àcyx+i- Application de cette méthode aux suites dont les différences successives des termes

vont en décroissant. N° 3 • • • ' '

Formules pour interpoler entre un nombre impair ou pair des quantités équidislantes. N" 4 '^

TABLE DES MATIÈRES. clvii

Pages

Formule générale d'interpolation des séries dont la dernière raison des termes est celle d'une suite dont le terme général est donne par une équation linéaire aux différences, à coefficients constants. N° 5 1 8

La formule s'arrête lorsque la raison des termes est celle d'une suite semblable, et alors elle donne l'intégrale des équations linéaires aux différences finies, dont les coefficients sont constants. Intégration générale do ces équations, dans le cas môme où elles ont un dernier terme fonction de l'indice. N" 6 25

P^ormule d'interpolation des mômes suites, ordonnée par rapport aux différences successives de la variable principale. N" 7 20

Passage de cette formule, du fini à l'infiniment petit. Interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d'une équation aux différences infiniment petites linéaires, à coefficients constants. Intégration de ce genre d'équations, lors même qu'elles ont un dernier terme. N" 8 32

De la transformation des suites. N° 9 35

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en se'ries 37

On déduit du calcul des fonctions génératrices les formules

'l^^Xx = [(!-+- Aj-^)'- i]'S '2«ja: = [(i -4- Aj^)' - i]-«,

A et 2 se rapportant au cas où x varie de l'unité et 'A et '2 se rapportant au cas où x varie de i. On tire de ces formules les suivantes :

'A" Jar =\C ''■^ — I y , '2 « J.^

IV nv. — \ ^ dx

C ex j

dans lesquelles c désigne le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et 'A et '2 se rapportent à la variation a de x. On transforme l'expression de 'A"j^ dans celle-ci

''^x+riî '^y

g 2 rf.r .^^ c 2 dx

On parvient à ces formules

^=[log(r-^AJ.)]^

i^XxClxn = [log(i -h Aj^)]-«.

Analogie entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales, fondée sur ce que les exposants des puissances, dans les fonctions génératrices, se transportent aux caractéristiques correspondantes de la variable j^- Généralisation des résultats précédents. N° 10 3-,

Théorèmes analogues aux précédents sur les produits de plusieurs fonctions d'une môme variable et spécialement sur le produit />-^ja:. N" 1 1 '4