LIVRE II. ill

alors celui qui parie d'amener croix deux fois de suite ou pile deux ibis de suite a de l'avantage sur celui qui parie que, dans deux coups,

croix et pile alterneront, sa probabilité étant - - - •

On peut diminuer l'influence de l'inégalité des deux faces de la pièce, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Désignons par A cette pièce, et concevons une seconde pièce B semblable à la première. Supposons qu'après avoir projeté cette seconde pièce, on projette la pièce A pour former un premier coup, et déterminons la probabilité que dans n coups pareils consécutifs, la pièce A présentera les mêmes faces que la pièce B. Si l'on nomme p la probabilité d'amener croix avec la pièce A et 5' la probabilité d'amener pile; si l'on désigne ensuite par p' et (( les mêmes probabilités pour la pièce B, pp'^qq' sera la probabilité que dans un coup la pièce A présentera les mêmes faces que la pièce B. Ainsi [pp' + qq'Y sera la probabilité que cela aura lieu constamment dans ii coups. Soit

on aura

pp'-\-qq)n=z i-(n-aa'

Mais, comme on ignore quelles sont les faces que les inégalités a et a'

favorisent, la probabilité précédente peut être également ou — (i -i-ax'j"

Qii — (i — oca'f. suivant que a, et a' sont de même signe ou de signes

contraires. La vraie valeur de cette probabilité est donc, a et a' étant supposés positifs,

ou

Si l'on compare cette formule à la formule (r), on voit qu'elle se rapproche plus qu'elle de ~, ou de la probabilité qui aurait lieu si les

faces des pièces étaient parfaitement égales. Ainsi l'inégalité de ces faces est par là corrigée en grande partie; elle le serait même en totalité, si a' était nul, ou si les deux faces de la pièce B étaient parfaitement égales.

p représentant la probabilité de croix avec la pièce A, et q celle de pile, la probabilité d'amener croix un nombre impair de fois dans n coups sera

le signe — ayant lieu si n est pair, et le signe + ayant lieu si n est impair. Faisant ^ ^ -^, g= -'-^, la fonction précédente devient

Si n est impair et égal à 2? + i, cette fonction est

mais, comme on peut y supposer également a positif ou négatif, il faut prendre la moitié de la somme de ses deux valeurs relatives à ces suppositions, ce qui donne ^ pour sa véritable valeur; l'inégalité des faces de la pièce ne change donc point alors la probabilité { d'amenev croix un nombre impair de fois. Mais, si n est pair et égal à 2/, cette probabilité devient

± a étant l'inégalité inconnue de probabilité entre croix et pile; il y a donc du désavantage à parier d'amener croi.r ou pile un nombre impair de fois dans 2? coups, et par conséquent il y a de l'avantage à parier d'amener l'un ou l'autre un nombre pair de fois.

On peut diminuer ce désavantage en changeant le pari d'amener croix un nombre impair de fois en 2« coups, dans le pari d'amener dans le même nombre de coups un nombre impair de ressemblances