LIVRE II
sera, par ce qui précède, la probabilité que, dans s tirages, le bénéfice de A sera sij. h- /; cette probabilité est donc égale à
(c) -^fclxD c-W=T[c-p-t;T\/~(a c^W-'' -+- a'c^'ciV^ + . . .)J,
l'intégrale relative à ci étant prise depuis u=—t: jusqu'à cj = -. Si l'on développe par rapport aux puissances de cj le logarithme hyperbolique de la quantité élevée à la puissance s sous le signe /, et si l'on observe que « + a' + a" + . . .= i , on aura, pour ce logarithme,
CJ \/-^(«v + a'v' + a"v"+. . . — p.)
^ rav2 + «'v'2 + n%"'- + . . . - (av + «'v' + a"v" + . . . )2] - . . . .
On fera disparaître la première puissance de cr, en faisant
p. =: a V -H a' v' + a" v" -i- . . . ; si l'on suppose ensuite
2/f2 = av2 + a'v'2 + «"v"2 + . . . (av'-f- a'v' H- a"v" + . . . )S
et si l'on observe que, s étant supposé un grand nombre, on peut négliger les puissances de ct supérieures au carré, on aura, en repassant des logarithmes aux nombres,
ce qui change l'intégrale (c) dans celle-ci
(jui devient, en intégrant comme dans le numéro précédent.
En la multipliant par 2dl et intégrant le produit depuis /= o, on aura
OEuvres de L. — \\\. So
43i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
la probabilité que le bénéfice réel de A sera compris dans les limites
5 (a V -f- a'v' + a" v" -+- . . . ) ±: /; en faisant donc
cette probabilité sera, en prenant l'intégrale depuis r'= o,
SJT.
Nous avons supposé dans ce qui précède les probabilités des événements connues; examinons le cas où elles sont inconnues. Supposons que, sur /w événements semblables attendus, n soient arrivés, et que A attende s pareils événements, dont cbacun lui procure par son arrivée le bénéfice v, la non-arrivée lui causant la perte [7.. Si l'on représente par —s + z le nombre d'événements qui arriveront sur les s événements attendus, la probabilité que z sera contenu dans les limites dr kt sera par le n" 30
~Jdtc-t\
l'intégrale étant prise depuis t = o,k^ étant égal à
insim — n] [m -i- s]
Mais, - -y -1- - étant le nombre des événements arrivés, le bénéfice réel
de A est
TIV (m — n.\
^}jjt\
l'intégrale précédente est donc la probabilité que le bénéfice réel de A sera compris dans les limites
k est de l'ordre sjs, si m et /^ sont d'un ordre égal ou plus grand que 5;
