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à B un avantage moral proportionnel à sa grandeur, de manière qu'il y a pour lui un désavantage moral à exposer un franc pour l'obtenir,

avec la probabilité excessivement petite ~ de réussir. Mais l'avantage

moral que peut procurer une somme espérée dépend d'une infinité de circonstances propres à chaque individu et qu'il est impossible d'évaluer. La seule considération générale que l'on puisse employer à cet égard est que, plus on est riche, moins une somme très petite peut être avantageuse, toutes choses égales d'ailleurs. Ainsi la supposition la plus naturelle que l'on puisse faire est celle d'un avantage moral réciproque au bien de la personne intéressée. C'est à cela que se réduit le principe de Daniel BernouUi, principe qui, comme on vient de le voir, fait coïncider les résultats du calcul avec les indications du sens commun, et qui donne le moyen d'apprécier avec quelque exactitude ces indications toujours vagues. Son application au problème dont on vient de parler va nous en fournir un nouvel exemple.

Nommons a la fortune de B avant le jeu, et x ce qu'il donne au joueur A. Sa fortune devient a — x- -\- i, s\ croix arrive au premier coup; elle devient a — x-hi^, si croix arrive au deuxième coup, et ainsi de suite jusqu'au coup n, où elle devient a — x -i- 2", si croix n'arrive qu'au coup /^''''"^ La fortune de B devient a —x, si croix n'arrive point dans les n coups, après lesquels la partie est supposée finir;

mais la probabilité de ce dernier événement est — • En multipliant les

logarithmes de ces diverses fortunes par leurs probabilités respectives et par /c, on aura, par ce qui précède, la fortune morale de B, en vertu des conditions du jeu, égale à

-/<• log(« — :r-f-2) + — /r Iog(a — x ■+- 2^] -{- . . . H — -k log(fl — X -+- 2") -Jr — k \og{a — x) + log/j.

Mais, avant le jeu, sa fortune morale était k logrt 4- logA; en égalant donc ces deux fortunes, pour que B conserve toujours la même fortune

ORuvres de L. — VU. 57

morale, et repassant des logarithmes aux nombres, on aura, a — x étant supposé égal à a! , et faisant -^ = a,

les facteurs (i + 2a)% (i + 'ï^y.y vont en diminuant sans cesse, et leur limite est l'unité; car on a

En effet, si l'on élève à la puissance 2'+' les deux membres de cette inégalité, elle devient

I + 2'+' a -h i-^aP- > I 4- 2'+' a,

et sous cette forme l'inégalité devient évidente. De plus, le logarithme

de (i + i'clY est égal à '—^^ + ^. logU -}- ^j, et il est visible que

cette fonction est nulle dans le cas de i infini, ce qui exige que dans ce

cas (i H- 2'a)^' soit l'unité.

Si l'on suppose n infini dans l'équation (o), on a le cas où la partie peut se prolonger à l'infini, ce qui est le cas le plus avantageux à B. a! et par conséquent a étant supposés connus, on prendra la somme des logarithmes tabulaires d'un assez grand nombre i — i des premiers facteurs du second membre, pour que 2'a soit au moins égal à dix. La somme des logarithmes tabulaires des facteurs suivants, jusqu'à l'infini, sera, à très peu près, égale à

i'^^i' i (^'+ 0 log?- o ,4342945 2'-' 2'-' 3a2'-2

L'addition de ces deux sommes donnera le logarithme tabulaire de a! -\' X ou de a. Ainsi l'on aura pour une fortune physique a, supposée à B avant le jeu, la valeur de x qu'il doit donner à A au commencement du jeu, pour conserver la même fortune morale. En supposant, par exemple, a' égal à cent, on trouve a — 107^'', 89, d'où il suit que, la