LIVRE PREMIER

et, en suivant l'analyse donnée précédemment, il est facile d'en conclure que l'intégrale complète de l'équation proposée {a) est

(p(.r -f- oo') étant une fonction arbitraire de a? -h x', et ^x — x') étant une fonction arbitraire de ^ — x'. Il est facile d'ailleurs de s'assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu'elle en est l'intégrale complète, puisqu'elle renferme deux fonctions arbitraires. Supposons présentement que, dans la Table suivante

STo.Oj y'i.O, X'I.O, J3,n, ••., Jrt-),0, J'n.O, To.u Jm> y2.\, r.1,1, .-., j«-(,(, y ru,

'"' 1^0,2, ri,2, ^2,2, 73.2, ..., r«~),2, yn.i,

V Jo.«> T<'*' J2.«=, JS.x, ..., J>"«-),«, /«,«,

on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre les deux colonnes verticales extrêmes

Jo.o, Jo, I, yo.1, ..., Jo.x,

yn.o, y„,\, y, 1,2, ..., y,,,^,

et que l'on connaisse de plus tous les termes de ces deux colonnes ; on pourra déterminer toutes les valeurs de y^-y qui tombent entre ces colonnes. Car, si l'on veut former le troisième rang horizontal, on observera que l'équation {a) donne

yx, x+\ = j.t+i , X' -\- yx~ I ..V — yx. x- 1 .

En faisant, dans cette dernière équation, x'^v, et successivement X = i, X = 0., X ='5, ..., x = n~ {, on aura les valeurs de v, o» J2.2. 73,2» '-, 7«-i,2, ou le troisième rang horizontal, au moyen des deux premiers rangs horizontaux. On former de la même manière le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l'infini. Mais, si l'on veut déterminer les valeurs de j^.^', qui tombent hors de la Table (Z), les conditions précédentes ne suffisent pas, et il faut leur en ajouter d'autres.

Œuvres de L.— VU. 10

Reprenons l'intégrale

et supposons que le second rang horizontal, qui détermine une des deux fonctions arbitraires, soit tel que l'on ait

on aura

En faisant x' = o, on a partant

fx, X' = i r-r+x-, 0 + îj-r-^', 0 .

Il est facile de voir que cette équation satisfait à l'équation proposée {a); mais elle n'en est qu'une intégrale particulière, qui répond au cas où le second rang horizontal se forme du premier, au moyen de l'équation

T-'^, I = Ly->:+ 1,0 + I J.c- 1,0-

Tant que ce -^ x' sera égal ou moindre que n, et que œ — œ' sera positif ou nul, on aura la valeur de j.^,^ au moyen du premier rang horizontal. Mais, lorsque, a; croissant, ir -h x' deviendra plus grand que n, ou lorsque x — x' deviendra négatif, il faudra déterminer les valeurs de yx+x',0 ^^ *^l6 yx-x',0 ^u moyen des deux colonnes verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de ces colonnes soient nuls, et que l'on ait ainsi jo,.^y= o etj„,^'= o. En faisant x nul dans l'équation

on aura

En faisant ensuite x = 7i dans la même équation, on aura

Xn+x', 0 =^ Xn—x\ 0'

Si l'on change ensuite, dans cette dernière équation, x' en n h- ^', on aura

en changeant encore oo' dans n ■+- x', on aura

Xzn+x\ 0 = Xn-i-x\ 0 = — y'n-x\ 0 >

et généralement on aura

X'irn+.i", 0 ^^— Xx',Of J^l,1r+i)/i+x',0= — X/i-x',0-

On pourra ainsi, au moyen de ces deux équations, continuer les valeurs de j^.^' à l'infini, du côté des valeurs positives de ce, et l'on en conclura celles qui répondent à x négatif, au moyen de l'équation

Delà résulte la construction suivante. Représentons les valeurs de j^o» depuis x = o jusqu'à x =: n, par les ordonnées menées aux angles d'un polygone dont l'abscisse soit x, et dont les deux extrémités, que je désigne par A et B, aboutissent aux points oh x = o Qi x =^ n. On portera ce polygone depuis x =^n jusqu'à x = in, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis a? = o jusqu'à x = n, c'est-à-dire une position telle que les parties qui étaient au-dessus de l'axe des abscisses x se trouvent au-dessous, le point B restant d'ailleurs dans cette seconde position, à la même placje que dans la première, et le point A répondant ainsi à l'abscisse ^ = 2//. On placera ensuite ce même polygone depuis x ■= in jusqu'à x = 3n, en lui donnant une position contraire à la seconde et par conséquent semblable à la première, de manière que le point A, dans cette troisième position, conserve la place qu'il avait dans la seconde, et qu'ainsi le point B réponde à l'abscisse x = 3n. En continuant de placer ainsi ce polygone alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe des abscisses, les ordonnées menées aux angles de cette suite de polygones seront les valeurs de j^o q^ii répondent à x positif.

Pareillement, on placera ce polygone depuis a.- = o jusqu'à x = — n, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis x = o jusqu'à X =^ n, A restant d'ailleurs à la même place dans ces deux positions. On placera ensuite ce polygone depuis x= — n jusqu'à

x= — 9.11, en lui donnant une position contraire à la seconde, le point B conservant la même place, et ainsi de suite à l'infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de j^ ^ qui répondent à X négatif. On aura ensuite la valeur de y^^^^, en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux abscisses ^r -4- .r' et ^ — x! .

Cette construction géométrique est générale, quelle que soit la nature du polygone que nous venons de considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs de j^ ,^f comprises depuis x = o jusqu'à x = n, et depuis x' ^ o jusqu'à ^'=co, pourvu que l'on ait j^ ,^. = o et J«,a/^o, et que d'ailleurs le second rang horizontal de la Table (Z) soit tel, que l'on ait

T'^. I = hï-t+ï , 0 + 2 J'.t- 1,0.

On a, par ce qui précède,

de plus, donc