LIVRE PREMIER

Considérons présentement les vibrations d'une corde tendue, dont la figure initiale soit quelconque, pourvu qu'elle soit très rapprochée dans tous ses points de l'axe des abscisses. Nommons ^r l'abscisse, t le temps, yj;,t l'ordonnée d'un point quelconque de la corde après le temps i. Concevons de plus l'abscisse œ partagée dans une infinité de parties égales à da:, et que nous prendrons pour unité, ce qui revient à considérer œ comme un nombre infini. Cela posé, on aura, par les principes de dynamique,

a étant un coefficient constant dépendant de la tension et de la grosseur

de la corde. Si l'on fait ^ = — , on aura df = ~, etVrt deviendra une

fonction de x et de x', que nous désignons par j^,.^ ; or, la grandeur de dt étant arbitraire, on peut la supposer telle que la variation de .x' soit égale à celle de ^, que nous avons prise pour l'unité; l'équation précédente devient ainsi

xetx' étant ici des nombres infinis. Cette équation est la même que celle que nous venons de considérer; ainsi la construction géométrique que nous avons donnée précédemment peut être employée dans ce cas; le polygone dont les ordonnées des angles sont représentées par y^,„ est ici la figure initiale de la corde ; mais il faut pour cela supposer la longueur n divisée dans une infinité de parties égales à dx. Il faut de plus que la corde soit fixe à ses extrémités, afin que l'on ait Vo-^ = o, yn,x = O. D'ailleurs l'équation de condition

ou, ce qui revient au même,

se change en celle-ci,

ce qui donne

àf-r.O

dt -°'

Oy ~^ est la vitesse initiale de la corde; cette vitesse doit donc être ot

nulle à l'origine du mouvement. Toutes les fois que ces conditions auront lieu, la construction précédente donnera toujours le mouvement de la corde, quelle que soit sa figure initiale, pourvu cependant que, dans tous ses points, j^+2,0 — ^yx^\,o-^ yx,a soit un infiniment petit du second ordre, c'est-à-dire que deux éléments contigus de la corde ne forment point un angle fini. Cette condition est nécessaire pour que l'équation différentielle du problème puisse subsister, et pour que celle-ci

dt --^ = ^ [Xx+i . 0 — 'i-Tx. 0 -1- r-r-) , 0 )

donne -~j^ = o. Mais d'ailleurs il est évident, par ce qui précède, que

la figure initiale de la corde peut être discontinue et formée d'un nombre quelconque d'arcs de courbes différentes, pourvu que ces arcs se touchent.

Les diverses situations de la corde dans son mouvement sont représentées par les rangs horizontaux de la table (Z), et comme les rangs qui correspondent aux valeurs de x', x' ^in, x' -{- l\n, ... sont les

mêmes par ce qui précède, il en résulte que la corde revient à la même

, , , 2 n [in

situation après les temps t,t ^ -> t -^^^—-t —

On voit encore, par la construction géométrique donnée ci-dessus, que, si l'on conçoit une suite de cordes liées entre elles et placées alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe des abscisses, comme dans cette construction, toutes ces cordes vibreront de la même manière, en sorte que, leurs figures initiales étant les mêmes, leurs figures seront constamment pareilles. On peut même ne fixer que les deux extrémités de cette suite, et laisser leurs nœuds entièrement libres ;