LIVRE PREMIER

partant

, , ,,,./ d\] d^^d\^ d.\^dVid\^ \ frd^ = ^^['-^T6-^-d6-^-^—^¥-^-^---l'

l'intégrale relative à oo étant prise depuis a? = 0 jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini.

Nommons Y' et U' ce que deviennent j et u lorsqu'on y change ac en 0' ; on aura pareillement

^ , ,„,„/ dV dV'dU d.V'dU'dl]' \

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x = 6' jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini. En retranchant donc ces deux équations l'une de l'autre, on aura

JIJ d\jd\j d.UdUdU

de '^ de-' "^ de^

dW d\i'd\}' d.\]' d\}'d\}'

dO' dd"' dQ'-'

l'intégrale relative à x étant prise depuis a? = 6 jusqu'à x = 6', en sorte que la considération de t disparait dans cette formule. Si 6 et 6' étaient primitivement renfermés dans j, il ne faudrait faire varier que les quantités ô et G' qu'introduisent dans U et U', les changements de x

en 6 et 0' dans la fonction u.

• 'V' djC

La formule (A) sera très convergente, si u ou — -^ est une très

petite quantité; or j étant, par la supposition, égal à <fu'u'^'u""\ .... on a

s du s' du' s" du" I rfcp

u dx u' dx' u" dx ' ' ' (f dx

Ainsi, dans le cas où s, s', s", . . . sont de très grands nombres, u sera fort petit, et si l'on fait - = a, a étant une fraction très petite, la fonction u sera de l'ordre a, et les termes successifs de la formule (A) seront respectivement des ordres a, a^, a', ....

Cette formule cesserait d'être convergente, si la supposition dea? = 0 rendait très petit le dénominateur de l'expression de u. Supposons, par exemple, que [œ - af soit un facteur de ce dénominateur; il est clair que les termes successifs de la formule (A) sont respectivement divisés par (e - af, (6 - af^-^ (0 - ay^^\ . . . , et deviendront très considérables, si 9 est peu différent de a; la convergence de cette formule exige donc que (6 - af, (G' - af soient plus grands que a; elle ne peut conséquemment être employée dans l'intervalle où [x - af est égal ou moindre que a; mais, dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante.

23. Si l'on nomme Y ce que devient y lorsqu'on y change x en a, il

est visible que [x — af étant un facteur de - -^^, ou, ce oui revient

y ax 1

Y ^log -

au même, de -~j^^ {x - af^' sera un facteur de log^- Soit donc

(logY-logj)!-+' on aura