LIVRE VI

Suite de la théorie des mouvemens planétaires.

Nécessite d^ane seconde approximation des moavcmens planétaires, pag. i

CHAPITRE I«^. Développement de la fonction perturbatrice en série ordonnée par rapport aux excentricitéé et aux inclinaisons des or^ hites y jusqu'aux ^termes dépendons de la septième puissance de ces élémens page 3

Ejtpression de la fonction perturbatrice, an moyen des rayons vectenra et des longitndes yraics de la planète troublée, et de | la (planète per* tnrbatrice, et de Tinclinaison mutaelle de leurs orbites n«* i et a

Développement de l'expression précédente en série de cosinns des multiples des anomalies moyennes des denx planètes, ordonnées par rapport anx puissances des excentricités et des inclinaisons. Expression da terme général de cette série n** 3

Considérations sur la forme générale du développement de la fonction perturbatrice, résultant de l'action de deux planètes soumises à lenr attraction réciproque n» 4

Expressions analytiques des diférens termes du développement de la fonction R • • -. page 26

Termes de l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons. Moyen facile de vérifier lears expressions analytiques n^ 6

Termes da troisième ordre, relativement anx excentricités et aux incli- Baisons • • • • ^ . •^ - • • • n* 7

xij TABLE DES MATIÈRES.

Termes da quatrième ordre q« 8

Termes du cûiqaième ordre n» g

Termes du sixième ordre. .........' n<>io

Termes da second ordre, qni ont marnes argumens que les termes inddpendans des excentricités no 1 1

Termes du troisième ordre , qni ont même argument que ceux du premier ordre ^ ^ n* 12

Termes du quatrième ordre, qni ont mémesargumens que les termes indëpendans des excentricités et des inclinaisons n^ i3

Termes du quatrième ordre , qui ont mêmes argumens que les termes du second ordre , n® 14

Termes du cinquième ordre , qui ont mêmes argumens que ceux^do premier ordre , , « n® i5

Termes du cinquième ordre, qui ont mêmes argumens que ceux du troisième ordre n^ 16

Expressions générales des inégalités de chacun des élémens de Torbite elliptique , correspondantes à un terme donné du développement de la fonction perturbatrice. Moyen d'en déduire, dans tous les cas, toutes les inégalités sensibles des mouvemens planétaires. — Développement de la partie non périodique de la fonction perturbatrice, en portant l'approximation jusqu'aux quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons inclusivement • n^ 17

CHAPITRE II. Formules générales pour le calcul numérique des différens termes du développement en série de la fonction perturbatrice page 60

Formules qni donnent les coefficiens des di£Férens termes de la fonction (i — aa cos ^ -f* f'-*)'''» développée en série, an moyen d'intégrales définies. Différentes relations qui existent entre les termes consécutifs de ce développement , et qui sont propres h en faciliter le calcul numérique. Additions àcequiaété ditsnr ce sujet dans le n® 49 ^^ second livre... n<>>i8, igetao

Digression sur le calcul des fonctions elliptiques. Leur division en fonctions elliptiques de i"^*, a™® et 3™® espèce. Ce qu'on nomme V amplitude, le module et le paramètre* Division et multiplication des fonctions elliptiques de 1'® et de a™® espèce; intégration de ces fonctions par la variation du module. Énoncé du théorème de Landen. Échelles de modules ascendantes et descendantes ^ l'une a pour- limite l'unité , l'autre a pour limite zéro. On peut toujours exprimer de deux manières Ja valeur d'une fonction elliptique de 1^^ espèce dont le module et l'amplitude sont donnés. La même méthode d'approximation s'applique aux fonctions de a^® espèce. Réflexions sur les recherches des géomètres relatives à ce genre de fonctions.. n"^ ai

Application du calcul des fonctions elliptiques à la détermination des deux

TABLE DES MATIÈRES. xii}

picmiers coefficMns delà fonction (i — sitcos^-f* «*)~ ' en série. Exemple de calcul. Dëterminatioit des fonctions A(<0,A<0, etc., qni entrent dans le dëveloppement de la foncdon perturbatrice, et de leurs différence»

successives. y n<>* aa et a3

Moyen de déterminer par des quadratures , les coefficiens des di0erens termes d'une fonction de deux variables , de'veloppée en série de sinus et de cosinus des multi^es de ces variables. Ces coefficiens sont donnes par des intégrales doubles, qu'on calcule par la méthode d'approximation connue sons le nom de courbes paraboliques ^ et développée n« 34 du livre III. Formules diverses pour faciliter le calcul numérique de ces intégrales n<>* aS et 26

CHAPITRE III. Inégalités planétaires dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons. . . page i3a

Considérations sur les causes qni peuvent rendre ces inégalités sensibles. In^alités à longue période. Elles croissent avec une grande lenteur, et peuvent devenir considérables par le rapport commensurable qni existe entre les moyens mouvemens des deux planètes, à raison des très petits diviseurs dont elles sont affectées n* 27

Expressions générales des inégalités du rayon vecteur, de la longitude , et de la latitude de la planète troublée. Considérations qui servent à distinguer les plus sensibles de ces inégalités. n«s 98, ag, 3o, 3r , 33 et 33

Développement particulier des inégalités dépendantes du carré des excentricités et des inclinaisons. Examen des cas où ces inégalités deviennent considérables par les rapports qui existent entre les moyens mouvemens n* 34

Développement particulier des inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons. Les seules inégalités de cet ordre qui puissent devenir sensibles , sont celles qui acquièrent de très petits diviseurs par l'intégration. Forme des termes qui les produisent. Développement des mêmes inégalités par la variation des constantes arbitraires. Accord des deux méthodes, n^* 35 et 36

Examen des cas où l'on doit préférer nue méthode k l'antre. . • . n* 37

Application à la théorie de Jupiter et de Saturne, des formules précédentes. Développement des inégalités du troisième ordre de ces deux planètes n** 38 jusqu'à 4t

Les inégalités du 5i°® ordre, dépendantes de l'argument de la grande inégalité, sont sensibles dans la théorie de Jupiter et de Saturne. For-^ mules qui les déterminent n« 4a

Inégalité du troisième ordre, qui devient sensible dans la théorie de Mercure troublé par la Terre • b« 43

Inégalité du cinquième ordre, qui devient sensible dans la théorie-de la Terre troublée par Vénus ^ «• 44

xtv TABLE DES MATIÈRES.

Féfaw gMnle des inëgalit^ du rayon yecteary de la longitude, et delà latiinde dans TodÂte troublée. Gonsidératioot sur ce sujet n9 ^5

CHAPITRE IV. Inégalités dépendantes du carré des forces per^ turbatrices.» • page 194

Les inégalités les plps sensibles de cet ordre, résultent de l'influence que les inégalités à longue période ont sur les termes dépendans du carré des masses. La méthode la plus simple pour les déterminer est celle de la Ta* riation des constantes arbitraires. Formules des variations de chacun des élémens de l'orbite elliptique, en ayant égard au carré de la force perturbatrice. • n<>* 4^ et 47

Examen des cas oii les inégalités du second ordre peuvent devenir sensibles. Les inégalités du moyen mouvement sont les plus considérables par les petits diviseurs qu'elles acquièrent n^4^

Application des formules précédentes h la théorie de Jupiter et de Saturne. Détermination des inégalités du second ordre , qni dépendent du double de rai|;ument de la grande inégalité. Les variations du grand axe , de Pexcentricité, du périhélie , de Tinclinaison et des nœuds , introduisent des termes semblables dans l'expression du moyen mouvement: mais ces termes se détruisent d'eux-mêmes, en sorte qu'il n'en résulte aucune inégalité à longue période qui puisse devenir considérable; ce qui est conforme au théorème sur l'invariabilité des grands axes et des moyens mouvemens , démontré u^ 60, livre II n9 49> 5o et 5i

Variations des excentricités et des périhélies dépendantes du carré de la force perturbatrice, et relatives au double de l'argument de la grande inégalité b9 5o

Inégalités que les variations précédentes introduisent dans l'expression de la longitude vraie de Jupiter et de Saturne n^ 53

Variations des inclinaisons et des nœuds , dépendantes du carré des masses. La partie non périodique de ces variations , c'est-à-dire celle qui se rapporta ans inégalités séculaires, est la seule qui puisse acquérir une valeur sensible no 54

Équation de condition à laquelle doivent satisfaire les variations précédentes ; conséquences qui en résultent relativement à la stabilité du système plané* taire, en ayant même égard an carré des forces perturbatrices. .... n^ 55

Considérations sur les conditions d'oii dépend la stabilité du système solaire relativement aux excentricités et aux inclinaisons des orbes planétair. n^ 56

Examen des inégalités du premier ordre , qui peuvent , par leur combinaison, produire, dans l'expression des longitudes vraies de Jupiter et Saturne , des inégpdités du second ordre affectées de l'argument delà grande inégalité, n^ 57

Expressions analytiques des inégalités précédentes les plus sensibles. , nO« 58, 59, 60, 61, et 6a

Relation |;énérale qui existe entre les parties dépendantes du carré de la force

TABLE DES MATIÈRES. xv

peitnrbatrice , det inégalités correspondantes de dens planètes soumises à leur action réciproque. Cette relation est analogue à celle qui lie entre elles les inégalités correspondantes du premier ordre. n^ 63

Inégatiiés de la longitude de Tépoque dépendante du carré des forces perturbatrices , et relative à la grande inégalité de Jupiter et de Saturne. . n^ 64

Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne , doivent s'ajouter aux longitudes moyennes dans les expressions du rayon vecteur et de la longitude « no 65

Manière d'avoir égard aux cbangemens qn^épronrent les coefficiens des iné' galités planétaires par l'effet (^es variations séculaires des élémens elliptiques • • n^ 66

CHAPITRE V* Des perturbations dans les mout^emens des planètes et des comètes , dues à la résistance d'un milieu très rare page 971

Expressions des variations différentielles des élémens de Porbiie elliptique, en supposant la résistance du fluide proportionnelle an carré de la vitesse dont la planète est animée n«« 67, 68 et 69

L'efiêt de cette résistance est de diminuer progressivement le grand axe et l'excentricité de Torbite, tandis que le périhélie, l'époque, rinclinaison, et ie nœud ne sont assujettis qn^à des variations périodiques. La résistance du milieu ne change donc à la longue ni la position du plan de l'orbite , ni celle du périhélie i mais elle diminue sensiblement la durée de la révolution u9 70

Exameii particulier du cas 011 les orbites sont très excentriques, comme celles des comètes. Intégration des formules différentielles dans diverses snppositioms snr la loi de densité du fluide éthéré. n^' 71

Applications de la théorie précédente à la comète à courte période de 1819 i n® 7a

Application des mêmes formules à la détermination des inégalités dn mouvement des planètes et des comètes, produites par l'action de la lumière solaire , soit qu'on la regarde comme due aux vibrations d'un fluide élastique t soit qu'on la considère comme une émanation du Soleil. Équation séculaire qui en résulte dans le moyen mouvement no 73

(«a dimination de la masse du Soleil dans le système de l'émission , produit une seconde équation séculaire dans les mouvemens moyens des planètes et des comètes. Pour la Terre, cette équation est à celle qui résulte du choc de la lumière y dans le rapport de — 1 à o,oooa3ia4' L'impulsion de la lumière est insensible sur le mouvement de la Terre , et elle n'influe pas d'un 4fuart de seconde sur l'équation séculaire de la Loue. Il résulte encore d* cette tb<$orie, que depuis deux mille ans la masse du Soleil n'a pas éprouve denz millionièmes d'altération n» 74

Bechercbc de l'équation séculaire qui résulte, dans les mouvemens planétaires de la transmission successive de la pesanteur, en la regardant comme

xvi TABLE OES MATIÈRES.

l'effet de rimpnUton d^nn floide. En comparant l'equatîon «ëciilaire de la Lune dae à Pimpalf ion de la Inmière , à celle qui rësnltc de la transmittion de la pesanteor, on trouve qu'il faut supposer an fluide gravitiqne une viteise an moins cent millions de fois plus grande que celle de la lumière. On peut donc supposer, comme on le fait ordinairement, cette Titesse infinie, et regarder la iraùsmission de la gravité comme instantanée. L'ëqûation séculaire de la Terre, due à la même cause , n'étant qu'un sixième environ de celle de la Lune , on peut la regarder comme absolument insensibic.— Identité de l'action delà pesanteur sur tous les corps célestes. Considérations sur ce sujet n*. 75

CHAPITRE VI. Perturbations des moupemens des planètes , dues à la non sphéricité du Soleil page .3o8

Développemeut de la fonction perturbatrice , en ayant égard à l'eillpticité du Soleil. Expressions des variations différentielles des élémens elliptiques qui en résultent. L'influence de la figure du Soleil introduit des termes croissant comme le temps dans les longitudes de l'époque et du périhélie, taadis que l'excentricité n'est assujettie, en vertu de ces mêmes causes, qu'à des inégalités périodiques n* 76

Recherche des inégalités séculaires qui en résultent dans l'expression elliptique du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. Ces inégalités sont d'autant plus sensibles que la planète est plus voisine du Soleil. Le calcul montre qu'elles sont insensibles pour Mercure, et à plus forte raison par conséquent pour les autres planètes n*> 77

L'ellipticité du Soleil ne donne donc Heu à aucune inégalité sébulaire appréciable dans les. monvcmens planétaires. Les formules précédentes peuvent s'appliquer à la détermination des inégalités lunaires, résultantes de la non sphéricité de la Terre n«* 78 et79

CHAPITRE VII. De l'action des étoiles sur le système planétaire \ page 3i7

ï«xpression de la fonction perturbatrice, en regardant la distance des étoiles au Soleil comme extrêmement grande , et leur position comme invariable pendant un grand nombre de siècles. Variations séculaires qui en réiultent dans l'expression de l'excentricité et dans la position du périhélie. . n* 80

Détermination des inégalités séculaires que ces variations introduisent dans l'expression du rayon vecteur, et de la longitude vraie n* 81

Kecherche des inégalités correspondantes du mouvement en latitude. Etlet sont beaucoup plus considérables que celles du' mouvement en longitude. Le calcul montre qu'il faudrait supposer aux étoiles nne masse cent fois plus grande que celle du Soleil, pour que Tinégalité du mouvement en latitude de la Terre due h leur influence pût s'élever à lo'' dans un million d'an-

TABLE DES MATIÈRES. xtïj

nées. On peut donc regarder leur action sur le Bystème piane'taire comme absoloment insensible ,.eC sa stabilité n^en peut être altérée no 83

CHAPITRE Vm. Inégalités du mouvement des planètes , produites par Inaction des satellites et des comètes page S97

Les inégalités qai résultent de l'action des satellites, dans les monvcmens des planètes, sont tontes périodiques, et la petitesse de leurs masses comparées à celles des planètes principales, rend ces inégalités très peu considérables. Elles sont insensibles dans les monvemens de Jupiter, et il est probable qu'il en est de même pour Saturne et Uranns n<* 83

L'action des comètes sur les planètes cfrt tout-à-fait insensible. Ainsi Faction de la comète de 1770, celle qui a le plus approché de la Terre, n'a pas altéré de o",9 la durée de l'année sidérale j elle a traversé le système entier des satellites de Jupiter sans y canser aucune perturbation. On en doit conclure qnc les masses des comètes connues jnsqu'ici sont trop petites pour avoir aucune influence appréciable sur les mouvemcns et la stabilité du système planétaire , ou sur l'exactitude des tables astronomiques. . n<* 84

CHAPITAE IX. Du plan invariable du système du monde, . . page 33o

Examen nouveau des formules qui le déterminent, tendant h prouver : i«« qu'on a h dessein, et avec connaissance de cause, négligé jusqu'ici d'avoir égard aux aires'introduites par les mouvemens de rotation des planètes, a^. Que la partie de ces aires , qui dépend de la non sphéricité du Soleil et des planètes, la seule qui puisse altérer, dans les siècles futurs, la position du plan invariable, est absolument insensible. L'action des satellites ne peut y produire non plus aucune altération appréciable. L'action des étoiles pourrait seule, à la longue, en changer la posuion ; mais les effets dus à cette cause ne se manifesteront que dans un grand nombre de siècles. Réflexions générales sur les objections élevées contre l'exactitude deceite théorie no» 86 et 85

CHAPITRE X. Masses et élémens des orbites des pla nètes, . . page 34o •

Valeurs numériques des masses des planètes. Considérations sur les moyens

qu'on a employésponr les déterminer n^ 87

Tableau des élémens elliptiques des planètes n** 88

Valeurs numériques des principales quantités qui entrent dans l'expression du développement en série de la fonction perturbatrice n^ B9

XTiij TABSLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE XI. Expressions numériques des variations séculaires de» élémens elliptiques des orbites planétaires page 3^7

DéTeloppemcnt de ces inégalités en séries ordonnées par rapport an temps n«* 90 et 91

Calcul namériquedes formnles qui donnent, sous forme finie, les inégalités séculaires de Texcentricité, du périhélie, ^de Tinclinaison et dn nœud. Les conditions nécessaires pour la stabilité du système planétaire, énoncées no* 65 et 69 dn livre II, sont remplies relativement au système des sept planètes principales n* 93

Calcul de la variation séculaire He Tépoque dans la théorie de Jupiter et de Saturne. Cette variation est insensible pour les autres planètes. . . n^ 93.

CHA.PITRE XII. Détermination de quelques constantes qui entrent dans les expressions du rayon vecteur ^ et du mouvement en longitude et en latitude des planètes page foS

Théories particulières des sept planètes principales,