P = o, l.Vp = o

D'où il suit que pour Téquilibre d*un système de forces agissant dans le méfne plan et dans les directions parallèles, il faut : i*^ que la somme de ces forces soit égale à zéro ; 2^ que la somme de leurs moments, par rapport à un point quelconque du plan, soit nulle.

7. Considérons enfin un système de points de forme invariable, sollicités par des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, et déterminons les conditions à remplir pour qu'un pareil système soit en équilibre. Soient P, P', P", etc., les intensités des forces appliquées au système; x, jr^ z^ x\ y y s', etc., les coordonnées respectives de leurs points d'application; a, 6, c, les angles que forme la direction de la force P avec les axes des jc, des jr et des z; a\ b\ c'y les angles que forme avec les mêmes axes la direction de P', et ainsi de suite. Je décompose chacune des forces P, P', P", etc., en trois autres, Pcosri, Pcosi, Pcosc, Fcosa', P'cos6', etc., respectivement parallèles aux axes des coordonnées. Je prolonge la direction de la force Pcosa jusqu'à ce qu'elle rencontre le plan des jz en un point dont jet z sont les coordonnées ; je décompose ensuite cette force en deux autres égales entre elles et parallèles à sa direction, a^ssant, l'une dans le plan des xjTj l'autre dans le plan des xz. Chacune de ces composantes sera, n^ 6, égale à \^cosa; la première agira

perpendiculairement à Taxe des y^ à une distance ^xj de Taxe des jc, la seconde perpendiculairement à Taxe des z, à une distance 2 z du même axe.

J'opère une décomposition semblable sur les forces P'cosrt', P"cos«", etc., en sorte que le groupe de forces Pcosrz, P'cosrï', elt., parallèles à Taxe des x^ se trouve ainsi remplacé par deux groupes de forces, ^Pcos«, -P'cosa', etc., agissant parallèlement au même axe, l'un dans le plan des xy^ l'autre dans le plan des xz^ aux distances respectives 2^', aj^, etc., 2 s, a z', etc., de l'axe des X.

Je remplace de même le groupe des composantes Pcosi, P'cosi', etc., parallèles à Taxe des y^ par deux groupes de forces -^Pcosô, |Pcos6', etc., agissant parallèlement au même axe, l'un dans le plan des xy^ l'autre dans le plan des /z, à des distances respectives, a^r, ajr', etc., 2z, az', etc., de Taxe des j*, et le groupe des composantes P cosc, P' cosc', etc., parallèles à l'axe des z, par deux groupes de forces \ P cosc, \ P' cosc', etc., agissant parallèlement au même axe, l'un dans le plan des xz^ l'autre dans celui des yz^ aux distances respectives ajc, ix\ etc., iy^ aj-', etc., de l'axe des z.

Ainsi donc, toutes les forces qui agissaient dans des directions quelconques sur le système que nous considérons, se trouvent remplacées par des forces agissant dans les trois plans coordonnés, et partagées sur chacun d'eux en deux groupes de forces respectivement parallèles aux axes que renferment ces plans.

Il est clair, d'après cela, que si l'équilibre a lieu sur chacun des plans coordonnés, il aura lieu dans le

système entier. Or les conditions d'équilibre sur chacun des plans des xy^ des xz^ et des ^2, seront exprimées, n** 5, par les équations respectives

|2.Pcosa = o, ^2.Pcosè = o, \ 2.[P(a/cosa — aoccosi)] = o, \ 2.P cosa = 0, 1 2.P cosc = o,

Y2.[P(acrcosc — 2z cosa)] = o, ^ 2.P cosA = 0, "1^ 2.P cosc = o,

|2.[P(2zcos6 — ijr cosc)] = o.

Ces neuf équations n'en forment véritablement que six différentes entre elles; l'équilibre du système sera donc assuré, lorsque les forces P, F, etc., satisferont aux équations suivantes :

2.Pcos« = o, 2.Pcos^ = o, 2.Pcosc = o, 2. [P ( j- cosa -^ X cost) ] = o,

2. [.P( or cosc — z cos€i)] = o, 2.[P ( ;3 cosô — ^cosc)] = o.

C'est-à-dire qu'un système de forme invariable, sollicité par des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, est en équilibre toutes les fois que la somme des composantes de ces forces respectivement parallèles à chacun dés axes coordonnés est nulle, et que la somme de leurs moments sur chacun àt^ plans perpendiculaires aux mêmes axes est respectivement égale à zéro.

Ces conditions suffisent pour assurer l'équilibre du

système, et il est aisé de démontrer que cet équilibre ne saurait avoir lieu sans elles. En effet, il existerait nécessairement sur celui des plans coordonnés pour lequel les équations d'équilibre (7) ne seraient pas satisfaites, une force libre. Si les trois plans coordonnés se trouvent dans ce cas, le système sera nécessairement mis en mouvement, parce que trois forces situées dans des plans différents ne peuvent jamais se faire équilibre. Si les équations d'équilibre sont satisfaites sur Tun des plans coordonnés, sans l'être sur les deux autres, les résultantes des forces agissant sur ces plans ne sauraient se faire équilibre, à moins d'être situées toutes deux sur leur intersection commune, égales et de direction contraire ; ce qui est impossible d'après la transformation précédente. Enfin^ si les conditions d'équilibre étaient satisfaites sur deux des plans sans l'être sur le troisième, les forces situées dans ce plan mettraient nécessairement le système en mouvement.

Si le système n'est pas en équilibre, et si les forces P, P', etc., qui le sollicitent ont une résultante R, il est clair que l'on rétablira l'équilibre dans le système en ajoutant aux forces P, P', etc., une force égale et directement opposée à la force R, Soient donc A, R, C, les angles que forme avec les axes coordonnés la direction de R; soient x, y, z, les coordonnées d'un point quelconque prissur cette droite ; désignons de plus, pour abréger, par X, Y, Z, la somme des composantes des forces P, P', etc., respectivement parallèles aux axes coordonnés, et par L, M, N, la somme de leurs moments relatifs aux mêmes axes. Les six

DU SYSTÈME DU MONDE. 3i

équations de condition (7) devront être satisfaites en y introduisant la force R en sens inverse de sa direction ; on aura donc

X — RcosA= o. Y — RcosB = 0,

Z — RcosC = o;