CHAPITRE XI
Expressions numériques des variations séculaires des élémens elliptiques des orbites planétaires.
90. Nous nous occuperons dans ce chapitre et dans les suivans de déterminer les valeurs numériques des inégalités des planètes résultantes de leurs attractions mutuelles. Nous commencerons par les variations séculaires. Dans le chapitre VIII du livre II, nous avons donné l’expression analytique des inégalités de ce genre qui affectent chacun des élémens des orbites planétaires; nous allons maintenant réduire ces formules en nombres. Pour cela , il faut d’abord calculer les valeurs des quantités que nous
avons désignées par [a, a'] , £ a, a' J , etc., Ça^a'^ , (a, etc. On a d’abord déterminé les valeurs de
[a, aT\9 au moyen des formules du n° 65 du
livre II, dans lesquelles on a substitué, à la place de (a 9 a') y ( a , a')', leurs valeurs en fonction des
quantités b~L , Z>('\ , qui ont été calculées précédemment. En effet, en comparant les développe-
mens des fonctions (a* — zaa! cos <p + a!% )* et
on trouvera ainsi
3m'ncL9b
li (i -f* **)&__ i ■+* il
Lorsque les quantités [a , aï’] et a, a'~) seront dé-
terminées, on en conclura les valeurs de [a! , à] et au moyen des équations suivantes, données
n08 65 et 69, livre II,
la', «] = L“ , «'] , W, «1 = ’
On pourrait d’ailleurs calculer directement les quantités [ a , a'] et Par ^es formules sui-
vantes, nos 53 et 63, livre II,
dA(P )
la, a': =
■ „ ‘ m'n f </AW 1 , J’AC)^
= - — (oA<'>-a*-s; —
2 aa1
«MCO
En substituant à la place de. A^, et de leurs différences leurs valeurs en fonction des b\ , b\ et
de leurs différences , quantités dont nous avons donné les expressions numériques dans le chapitre
précédent , les fonctions [a, a'] et [~ a, a'~\ se trouve-
ront exprimées au moyen de quantités connues.
Si dans les formules du n° 74 du livre II on substituait de même à la place de (a , a ') et de ( a , a')'
leurs valeurs precedentes, on exprimerait également
les quantités Ça, a'y (a, a'^t , etc. , en fonction de ; mais il est plus simple, pour les calculs numériques, d’exprimer ces valeurs en fonction des quantités bV , bV , etc. En négligeant les puissances
des excentricités supérieures à la seconde , on a , n* 74, livre II,
dt i dF dF
— = - ane -r- — a n*n -y .
dt a de da
On a, n° 53, livre II,
m' . /«\ . m' f dA(.°) , <f*A<°5\ ... . , , . , . .
r=TA« »-f-T (a a^r + a'-Ta-J [«■ + •*-(/-?)— (*'— 7)*1
da
I tf’A(') \ , , , .
Za'~d^~) fecos(“
La fonction ( p’ — — <?)* est le carré de l’inclinaison de l’orbitede m! sur celle de m; cette inclinaison est constante lorsqu’on ne considère que l’action mutuelle de ces deux planètes : sa variation est donc nulle, et cette fonction ne produit, par conséquent, dans l’expression de Je , que des termes proportionnels au temps t , que l’on peut négliger puisqu’ils se confondent avec le moyen mouvement dans l’expression de la longitude moyenne. En substituant
donc pour ~ et ~ leurs valeurs dans ^ , on aura ,
comme dans le n° 74 du livre II ,
+ (a?),*1 + f«Tàî).c'»— (ata')see> co* (»'— »}. (p)
38o THÉORIE ANALYTIQUE
- En supposant ici
(«2^)0— m/ltf »
(ÜÜ)t =
JAW . , <i'A(") , , d’ AW\
“* -v— + 7“' ■xr + M ~dàï~ )’
da
dA(°)
rl
4 \ •' ***’ da%
m'n / 1#lX . </A(0 e c/*A<‘) ,
— -rr— I aaAC) — aa* — = f- i5a* — : f-4fl4
8 \ da
da
, , xd> A(°) , 4</»A(°>\
Si l’on substitue dans ces expressions , à la place de A<°, ~~J^y etc* * ^eurs valeurs n° 24* elles
se trouveront exprimées en fonction de bV , i*0, et de leurs différences relatives à cl.
Au moyen de ces formules et des valeurs numériques rapportées dans le chapitre précédent , on a trouvé les résultats suivans, dans lesquels (1 +^), (i +///), etc., sont des coefïiciens indéterminés, par lesquels on a multiplié respectivement les masses de Mercure, Vénus, etc., que nous avons adoptées, afin de pouvoir corriger immédiatement ces résultats à mesure que les observations feront connaître plus exactement les valeurs des masses planétaires.
[a, «'] = (i+|k') 9*,9io335, [a, a*] = ( 1 H- *" ) o", 891 538, t>, «*] = (1 4- f*w) o", 027984, = (1 + /*") i*,5g|f51, [a, a»] ss (1 4- o", 077059,
[<t,aYt] =s (t -f-ft*1)
[a, *"] =(■+#**) o'.oof Xa,a’*l =b (» 4- A*,t)
a» aY = (1 4- yuT ) o*,oo
* a,ayi =r (i -f. /wTI)
la', a “] ta', a-]
[«', «’] la', a"]
[a*> aTI ]
a®, a] a®, a'] :«*, a"] [a®,a‘T] [a®, a’] [a*,aTI]
[«', aj
= (1 4 fi) 0», 387865,
(i 4- ^u") 6",SGoua,
= (> 4 /<") 5“,7ii9oo,
[aT^l
Dllfl]
= (1 4 /uv) 0", 018788,
fa', a"]
(1 4 fi) o",io35o6,
(> 4- fi) 5", 174037,
= (> 4 fi”) 4", 308027,
