N^Ocx'acos [i(n't — nt -b/ — «) 4- — »' — an
On aura
NO —TT b1 - 3) + sr1]’
On pourrait déduire sans aucun calcul les termes dépendans des inclinaisons de ceux qui dépendent simplement des excentricités , par les considérations suivantes f Soient
i 2 Aco cos [ ir {rit + €f) — i (nt + s)] i 2 A0) ços [( i + i) {rit + g') — (£ — i ) (nt + «)],
deux fonctions qu’il s’agit de développer en y faisant varier les quantités a, a , nt et rit, conformément à ce qui a été dit n° 3. Si le développement de la première est effectué, on en déduira immédiatement celui de la seccftde , en y changeant i' en i -f- i , et i en i — i« mais si après avoir développé la première fonction on y suppose if == i, et que dans le développement de la seconde on se borne h considérer les termes dépendans des argumens qui se forment par
voie d’addition, comme ces termes résultent nécessairement d’un des trois facteurs suivans,...
sin (fit + Z) 2 A<° cos p> cos (fi + Z) 2 cos p, sin (fit + 1 ) 2£**'4‘,AC0 sin p, où l’on fait , pour abréger, p i'n't — int + ïé — ie9 et qu’en n’ayant égard
qu’a ces termes, on a
sin (fit + 1) . 2 A^cos p = £ 2 ACi> sin (p +fit -f- /) cos ( fit + Z).2 A(0cosp = £ 2 A(0cos (p+fit + l) sin (fit+l) . '2i*k+l Acosinp= — ^2zâR4* 1 A(0cos( p+fi+l) .
Il est évident, en comparant ces relations à celles qui leur sont analogues dans le n° 3 , qu’on aura le coefficient d’un terme quelconque du développement de la fonction f 2 . A(i) cos [( £ + i ) ( nt e' ) — ( i — i) ( nt~\~ g)], en divisant par deux le coefficient du terme correspondant du développement de la fonction j 2 . Ac0 cos [i ( rit + e' ) — i ( nt e ) ], dans laquelle on suppose ï = i, après y avoir fait les substitutions indiquées plus haut. •
Cela posé , la fonction R', n° 3 , en ne considérant que les termes dont nous nous occupons en ce moment, devient
je
R' = ~ . 2A<‘) co« i (n't — nt -f- V — - «)
rrt
■+• -g* x*2.«a#B<0 cos [(i -f- 1) ( n't ■+• *') — (i — i) (nt -f- 1) •— an]
+ - 3^*42.a»a'»C<0 cos [(i -f a) (n't ■+■ 0 — (i — a) (n« -f • *) — 4n].
Si dans le développement de la fonction
mr
~ 2 . A(<) cos i ( — nt + g' — e ) , on désigne donc
par i le Coefficient de rit pour le distinguer du coefficient de nt, en multipliant chacun des termes de cette série par £ et en y changeant i' en/+ i , i en i — i , et Aco en aa! Bco, on aura le terme corres-
tri
pondant de la fonction -g- 2 ari Bco cos [ ( i + i )
( rit + g' ) — ( i — i ) ( nt + 6 )] , et en multipliant ces mêmes termes par ■^■•A4, et en y changeant i' en i + 2, i en i — 2 et en a%ri* ÇW, on aura le terme correspondant du développement de la fonction ^ . rri A4 2 a!ri% C(<) cos [ ( i + 2 ) ( rit + é' ) — ( i — 2 ) (rc£ + €)].
On peut observer que ce résultat subsistera encore même après qu'on aura converti, comme on le fait ordinairement, lgs différences partielles de A(i) relatives à ri en différences partielles relatives à a ; ce qui tient à ce que les fonctions ari B(i), a%ar% C(0, sont comme Aco des fonctions homogènes en a et ri de d’ordre — 1 .
Cette remarque facilitera Beaucoup la détermination des termes de la fonction perturbatrice qui dépendent des inclinaisons mutuelles des orbites ; mais on ne doit pas oublier qu’elle ne s’applique qu’aux termes dépendans des argumens formés par voie d’addition, et quelle ne saurait s’étendre -aux autres termes.
Termes du quatrième ordre.
