c'A'cos (3n'z — a ni 4- 3i' — ai

3q. On doit observer que les quantités P et P' conservent les mêmes valeurs , soit que l’on considère l’action de m sur m, soit celle de m sur m', ce qui résulte de ce que dans le développement de la fonction

I XX -\-yj'-\-zz

V/(x'— J :y-\.(jr'—jry+(z—z)‘ r'S

. . xx -4- y y' 4- zz! , .

la partie — 4^ ne produit aucun terme

de l’ordre des cubes des excentricités dépendant de l’argument 5n't — mt en sorte que ces termes ne peuvent résulter dans R que du développement de

la partie [(.r' — xY —y)% — z)]-» qui est commune aux deux planètes.

• Il suit de là que si l’on ne considère dans Sv et JV

DU SYSTÈME DU MONDE. i73

que la partie qui a pour diviseur (5 n' — 2«)*, et qui est la plus considérable de ces valeurs , on aura entre elles la relation

JV = 5-^ . JV.

im rra

ou bien en observant qu’en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, 5n' est à très peu près égal à 2 n, et que

JV

équation d’où l’on conclura la partie JV qui a (5 n' — 2 «)* pour diviseur de la partie correspondante de dV', et réciproquement.

Cette équation, d’ailleurs, n’est qu’un cas particulier d’une relation générale qui existe entre les inégalités à longues périodes des moyens mouvemens de deux planètes m et m! , troublées par leur action mutuelle , et qui est fort utile dans la théorie des perturbations planétaires , parce qu’elle peut servir soit à déterminer l’une par l’autre ces inégalités, ce qui abrège beaucoup les opérations numériques , soit à vérifier leurs valeurs lorsqu’on les a calculées séparément.

On peut démontrer à priori cette relation de la manière suivante :

En nommant R' la valeur de R relative à l’action de m sur m', on aura, n° 43, livre II,

K — ~ Sanfdtfd'R, j C= — 5a'rifdtfd"R'.\

les différences d'K , d"R' se rapportant dans chaque formule uniquement aux coordonnées de la planète troublée.

D’ailleurs , en faisant pour abréger A = [(V — x)% + (/ —y)' + (z' — z)*J-ï , on a

’ R = ni (a - "'.+■* +-!i) ,

R' = m (A - îîl±^±ü').

Si l’on multiplie par (M-f-m')m la première de ces valeurs , après l’avoir différentiée par rapport à x , y et z , que l’on multiplie de même par la seconde différentiée par rapport à æ' , y' , z', qu 'ensuite on ajoute ces deux produits, on trouvera

, , v , f x dx,+rdr/+uhf\

m)mm (a A — ■ — — J.

Si dans cette équation on néglige les termes du troisième ordre par rapport aux masses perturba-

trices ,

ce qui permet de faire p = —

<fV y d*y

—, — , — , = jf , etc. , on aura

dt‘ ’ rs dr ’ ’

~dF *

Digilizr- :

rnd'K + m'd'K' = mm'd . (a -f- dxdx‘ +ds4r'+dtdz'y

La différentielle du second membre désignant une différentielle complète. On aura donc en intégrant

m/d'R -f- m'fcT R' = mm' Çix-^±^-±dzdz' + a).

Supposons maintenant que l’on veuille déterminer les inégalités de £ et de £' qui dépendent d’un argument donné i’n't — int, et qui ont ( i'ri — in)* pour diviseur. 11 faudra, dans l’équation précédente, considérer les termes qui dépendent de cet argument, et qui sont déjà divisés par Un' — in, puisque ce sont les seuls qui puissent acquérir le carré de cette quantité pour diviseur en subissant une nouvelle intégration dans les valeurs de £ et de Or, il est évident que le second membre de l’équation précédente ne contient aucun terme semblable, tant qu’on n’a égard qu’aux quantités de l’ordre du carré des masses ; en ne considérant donc que ces termes, on aura

mfd'R -f- m'fd'R' = o.

Si l’on intègre une seconde fois cette équation , et qu’on substitue pour f dtf d' R et f dt J cTR' leurs valeurs tirées des formules (i3) , on aura

m'anÇ -f- m'a'nX' — o, ou bien en observant que n — a ’» et n' = «'“* ,

. m\/a^ -f- m' V a' C — o , d’où l’on tirera

Lorsqu’on aura calculé les inégalités de £ qui ont (i?ï — in)* pour diviseur , cette équation donnera les inégalités correspondantes de Ç' .

La relation précédente, qui lie entre elles les inégalités à longue période de deux planètes soumises à leur action mutuelle, est la même que celle qui existe en général entre les variations séculaires des élémens elliptiques dun système de planètes réagissant les unes sur les autres.

4o. Considérons enfin les inégalités du mouvement en latitude : l’expression de R contient les deux termes suivans :

N(o)eÀ*cos(5/2^ — 2 nt 5ê' — 26 — a — 2IT),

NCl)e,Âscos(5w/^ — 2 + 5é' — 26 — cJ — 2II).

En vertu dë ces termes, on aura pour les inégalités de latitude, n° 56.

am'nn T cxlNC0) sia ( 5n't — 3 ni -4-5/ — 3* — » — n) “1

S 5/*' — an [ -f- e'xINC1) siu (5 n'i — 3nt -f- 5/ — 3t — u — n) J

En changeant dans la formule (K) tout ce qui se rapporte à m dans ce qui est relatif à m' et réciproquement , et en observant que ]\'Co) et N'co désignant ce cpae deviennent N(o) et 1N^ relativement km', on a

T, flO N/(,)= — ™ Nco, on aura pour l’inégalité correspondante du mouvement en latitude

DU SYSTÈME, Dy MONDE.

de

SWs: q

. ’xman m J" exl\(0) sin W*'t — sn* *4- 4^~ 5S — « — n)l

5 n' — a/t m! e'xNC*) sin {\n'l. — ml -f- — ’Jt* — «' — II) J’

n désignant, comme dans ce qui précède, la longitude du nœud de l’orbite de rri sur l’orbite de m .

Ces inégalités peuvent s’élever h ^ à peu près pour Jupiter, et à io" pour Saturne. Ce sont les seules inégalités de la latitude dépendantes du produit des excentricités et des inclinaisons , qui soient sensibles dans le système planétaire.

On a vu , dans le n° 33 , que la valeur de J’s introduit dans l’expression de la longitude rapportée a un plan fixe le terme — tang ç£s cos (y, — fl), en substituant donc pour JV sa Valeur, il en résultera un terme dépendant de l’angle §nt — 2 nt qui devra ètrè ajouté à la grande inégalité qui affecte la longitude

de m : mais ce terme est insensible pour Jupiter et

c . « in; *•

pour Saturne. ,

41 . On déterminera, au moyen des formules précédentes, toutes les inégalités de l’ordre des cubes des excentricités et des inclinaisons, qui dépendent de l’angle 5n't — 2 nt , et qui peuvent devenir sensibles dans les longitudes, les latitudes et les rayons vecteurs de Jupiter et de Saturne, en vertu de la commensurabilité approchée de leurs moyens raouvemens. Comme les inégalités du mouvement en longitude sont très considérables, il sera nécessaire, dans JV et JV , d’avoir égard aux variations séculaires des élémens elliptiques de m et de m' ; pour cela, dans les expressions de ces deux quantités , à la place de a'T et de a' P', on substituera les séries Tome III. *2

• ' (5n' —i.n)dl {5ri — p.n)dtr ,

! • • „ WP ' 3 JP

r. (5rt'-^aw)rf/ (&fc<m-^)3l^;Jir,!';:K- y.

/fP tfP'

..* * * 1 * clt et r cil.

et l’on déterminera les différences -j . , -^r > ^7 >

ii*P' ï » , ..1* (i- «r •' * - .■ l •:

7 comme ôn Ta explique n* 29.

^îiiD après la théorie des perturbations planétaires, les inégalités dépendantes de 1 angle 5 nt — ont doi— vent su reproduire parmi les termes du ci nquiem& ordre relativement aux excentricités çt aux incli-p liaisons , et la petitesse du diviseur 5ri — on oblige Ravoir égard à ces termes. Il sera facile de les déterr miner par les formules precedentes du rpoment que l’on aura effectué le développement des termes du mnquiènie p^e'^e la fonction R qui dépendent de l’angle 5n't — an* ; pour cela il suffira de faire ic=5 dans l’expression de R du n* i6.0n aura ainsi

. i R «ti Mc<& éo$(5 rit •— 2 nt 5.è! ^ ari^àJ^^sri) i >1

. , ) j dos (Sri t •^ant 2* f*- ^*0 : : } '

> !d — tri ^ i&yil

. y, y -tapM^cos &) : y •

- . ,f' lu^iyi^eos r- 2Wt-4-5â/^aé^3de/)

im un

t, y n c0s(5 rit^2tit -J- Si' -+±24 —fyri -Ha) 1

i .- •> î.q-» fco&(5/i,i- — 2nt-t- 5^— 'âk -^2#

, ‘t'iînipl#» tte(5rit a«e4- 5^~

2/ii5+5ê^^2É^ 2n) ,ï-->

, cos (Srit^snt^Srè'^ÿè^

"j ' ••‘ci cos{5ft!t 4ny -<i -f-NC5) cos (5n'f — 2«< -h Sê^ai-^

DU SYSTÈME DU MONDE. J?g

et pourde'teiminer les quantités M« M<» etc., on aura

m'eVI , (6) ‘ * "*i d'h,

' ~ÜS"l 4n48*i +i83gj«-~. +i78o«*— -i.