C* 1.2.3"^ V2.3.4C*"*"CV

44. La fonction r n'a pas d'autres points critiques. Si donc on pose

z =z u -h vif

et qu'on regarde w, s^ comme les coordonnées rectangulaires d'un point, la fonction r sera développable à partir du point [u =y?, v = o), suivant les puissances de ^ = 5 — /?, dans l'intérieur d'un cercle décrit de ce point comme centre, de manière qu'il ne renferme pas les points critiques.

Dans l'application IV(u*'40), on a, pour le cercle de gorge, :;= 2,673 et.

l84 CbAPITItE V.

à très peu près, pour les deux derniers points criliijues, 3=3,673 ±o,3i. Il en résulte que les développements de /■ sont peu convergents dans le haut de la goutte. Dans l'application 1 (n"37) jiu contraire, le méridien de la surface de la goutte s'éloignanl beaucoup de l'axe sur le cercle dégorge, on comprend facilement que la même série soit très convergente sur tout l'arc ad.

On s'explique de la même manière pourquoi, selon ce qui a été dit {n" 26), la série analogue relative à une goutte de mercure est très convergente au-dessous de son [ilus grand |)aiallèle, dès que le rayon de ce cercle surpasse 3""".

Compte-gouttes .

45. Quand une goutte se forme à l'extrémité d'un tube capillaire vertical, adapté au fond d'un vase, pour ensuite tomber, elle grossit peu à peu, puis s'étend au delà du rayon du tube; enfin elle se creuse. Elle afiecte finalement les figures complètes dont j'ai calculé plusieurs cas dans les n"' 37 à 40 ; alors elle se rompt sur le cercle de gorge, dont le rayon diffère très peu du rayon de la section extérieure ou intérieure du tube, suivant que la goutte est attachée au cylindre extérieur ou intérieur.

Bien que la goutte, avant de se détacher sur le cercle de gorge, prenne une ligure d'équilibre instable, on ne peut cependant considérer l'ensemble formé par la goulle et par le liquide du vase et du tube comme un système en équilibre. C'est pour cette raison que la

quantité désignée au n" 36 par — H = ^^ y ne représente pas la

hauteur du niveau du liquide du vase au-dessus du cercle de gorge. La hauteur de ce niveau n'altère pas la forme de la goutte; quand cette hauteur croit, la vitesse de l'écoulement est seulement augmentée.

En supposant même le vase d'une longueur indéfinie, la vitesse d'écoulement ne sera pas uniforme. Au moment où la goutte se creuse, il se produit une traction capillaire de dedans en dehors, qui accélère la descente du liquide du vase.

La théorie que je viens d'expliquer est confirmée par les expériences de Dupré. En efi'et, d'après les calculs que j'ai faits ci-dessus sur les

GOUTTE SUSPENDUE. ï85

figures des gouttes prêtes à se détacher, il résulte que, si le diamètre du tube capillaire est, en millimètres,

les poids des gouttes sont respectivement, en milligrammes,

7,716, îîi,o7/i, 44,18, 69,26.

Or Dupré a trouvé par l'expérience (Dupré, Théorie mécanique de lâcha- A^wr, Chap.IX) que, pour les diamètres

oim moi nioi mm mm mm mm mm mm mm

les poids des gouttes sont, à la température de 25^, en milligrammes,

et les nombres que j'ai trouvés s'accordent bien avec ces derniers. 11 faut remarquer que les diamètres donnés par Dupré sont ceux des tubes et que les diamètres que j'ai calculés sont ceux des cercles de gorge de la goutte; mais, par cette comparaison même, on voit que les seconds diamètres doivent différer très peu des premiers. Il est aussi utile de dire que Dupré déclare qu'il aurait pu arriver à une précision plus grande, s'il avait pu consacrer plus de temps à ses expériences.

46. Hagen a employé le premier le compte-gouttes pour comparerles tensions superficielles. On place le liquide à essayer dans un vase muni d'un tube capillaire par lequel il s'échappe par goutte, et l'on admet que les poids de deux gouttes de deux liquides différents, tombant de cet appareil, sont proportionnels à leurs tensions superficielles, ou, ce qui revient au même, que les volumes de ces deux gouttes sont proportionnels aux constantes capillaires d^ et a'^ de ces liquides. Hln faisant donc couler par gouttes un même volume des deux liquides et désignant par n et n le nombre des gouttes fournies par chacun, nous aurions

Mais la proportionnalité des poids des gouttes des deux liquides à

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Le rapport de - à tt a respectivement pour valeurs

(?) 0,399, o,4oo, o,58o, 0,678.

Si ce rapport était constant pour un même liquide, il le serait aussi quand on passerait d'un liquide à un autre, car chaque goutte du premier liquide a sa semblable dans le second liquide (n^* 35), et si R était le même dans deux gouttes de ces liquides, r^ le serait aussi. Les nombres (P) étant différents, cette propriété n'a pas lieu. Toutefois, comme ces nombres ne varient pas rapidement, on comprend qu'on puisse obtenir une certaine approximation, en déduisant a'^ de la formule (a), pourvu que le rapport plus grand que l'unité des deux nombres a^, a'^ ne soit pas trop grand.

47. Montrons comment on pourra vérifier si le compte-gouttes ainsi appliqué donne un résultat suffisamment approché.

Supposons que le premier liquide dont la constante capillaire est a^ soit l'eau, et concevons qu'on ait fait les calculs des n^* 37 à 40 pour un plus grand nombre de gouttes d'eau, en sorte qu'elles ne différent successivement que par petits degrés. Connaissant le volume V de la goutte d'eau qui tombe de l'appareil, nous pourrons en conclure

par interpolation, et nous n'avons pas besoin d'admettre que R soit le rayon du tube. Au moyen de la formule (a), nous calculons a ^ approximativement et nous connaissons V exactement par l'expérience.

Pour la valeur a* de l'eau, construisons la courbe qui a pour abscisses les quantités b et pour ordonnées correspondantes les quantités R.

Pour la valeur trouvée pour a'% construisons la courbe analogue à

la précédente, ayant pour abscisses b'=b— et pour ordonnées

Dans cette seconde courbe, prenons l'ordonnée égale à la valeur R du cercle de gorge des deux gouttes ; l'abscisse correspondante b' sera le rayon de courbure au sommet de la goutte du second liquide.

Considérons la goutte d'eau semblable dont le rayon de courbure au

l88 CUAPITRË V. — GOUTTE SUSPENDUE.

soiuiuet est b^ — b'-j, ei soit V, son volume. Le volume V de la goutte

liquide doit être égal à tt V, — — V,. Si celle égalité n'a pas lieu à

1res peu près, c'est que a'^ a été mal calculé au moyen de la formule 3t).

Dans ce cas, en augmentant ou diminuant a'^ et reprenant la même méthode, on pourra parvenir à corriger le premier résultat trouvé.

On peut remarquer que, dans celle recherche, R n'est pas supposé égal au rayon du tube; mais ce qui est plus exact, on le suppose égal au rayon du cercle de gorge, qu'on regarde comme le même pour les deux gouttes des deux liquides, qui tombent du même appareil.

Fix