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parcourpe avant la détente 5

«•rrespondante

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de

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^e la fraction

la fraction

ou de Texpression

i.aSo

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i.iii

l46 CHAPITRE TROISIJCME.

Nous nous bornerons aux formules qui pré-^ cèdent, parce que ce sont celles dont on a le plus ordinairement besoin; mais il est clair que l'on pourrait aussi, au moyen des mêmes relations générales, déterminer l'une quelconque des autres quantités qui figurent dans le problème, dans le cas où cette quantité serait inconnue ou indéterminée, et que Ton voudrait la fixer d'après une condition voulue. Ainsi, par exemple, on pourrait déterminer Faire du piston ^ ou la pression dans la chaudière, ou la pression de condensation, etc., qui correspondent à des effets donnés de la machine, comme nous l'avons fait pour les locomotives, dans un ouvrage précédent (édition anglaise du Traité des Locomolwes). Mais comme ces questions se préseiHent rarement , et que d'ailleurs elles n'offrent pas de difficultés, nous croyons qu'il sufBt d'indiquer ici comment on parviendrait à leur solution.

DU MAXIMUM d'kFFKT UTILE. 1 /^'J

ARTICLE DEUXIÈME

1>0 MAltMUM o'«FFET ÙTÏIE^ AVEC UÏTE DÊTENtË DONNÉE.

$ i. De la vitesse du maximum dejfet utile.

Les problèfiies ^e nom v^ion^ de résoudre 1*oitt été dans toate leur généralité , c'est-à-dire ^1 supposatft que la machine met en mouvement iiue charge quelconque à une vitesse quelconque, 4ivec la seule condition que cette c^rge et cette -vitesse soient <^mpatibles avec le pouvoir de la tnachine. En construisant une machine pour un objet déterminé , ou pour mouvoir une certaine charge à une vitesse donnée, on ne doit jamais l'étabKr de manière qu'enaccom plissai ft cette tâche, •qui doit être sa tâcbe régulière^ elle exerce le plus ■grand effort dbnt elle est capable; car alors ii ne lui restet^it plus *de f&toe e«i réserve pour parer aux circonstances fortuites qui peuvent se présenter dans, le service. D'autre part , le maximum d'effort de la machine , avec une détente donnée^ correspondant, ^omme nous le verrons dans un Instant, à son maxknum d'effet utile^ ii s'ensuit <ju*on ne peut opérer d*ofetenir régulièrement de la machine son ma&imum d'effet uttte, et qu'dle ne peut être construite dans cette prévision. Cependant 11 est nécessaire , quand une machine est

lO..

l48 CHAPITRE TROISIÈME.

<;onstriiite ou à construire, de connaître quelle est la vitesse k laquelle elle produira ce maximum d'effet utile, et quels seront ces effets maxima; car c'est évidemment cette connaissance qui réglera la charge du travail régulier de la machine, et qui marquera la limite possible de ses effets en, cas de nécessité.

Quelle est donc cette vitesse ou cette chaîne la plus avantageuse pour le travail , et quels sont les effets qui auront lieu , sous les différents rapports que nous avons envisagés plus haut, lorsque la machine sera effectivement placée dans ces circonstances avantageuses? Voilà te qu'il nous reste maintenant à déterminer, d'abord en supposant )a détente de la machine ûxée à priori j ensuite en faisant varier cette détente elle-même pour obtenir encore un accroissement d'effet.

Pour connaître la vitesse qui correspond au plus grand effet utile, il suffit d'examiner l'expression de l'effet utile produit par la machine sous une vitesse quelconque, savoir (équ. 4)-

On y reconnaît à la première vue, que la vitesse n'entrant que dans des termes négatifs, plus cette vitesse sera petite, plus, pour une détente donnée j l'effet utile de la machine sera considérable. D'un autre côté, en se reportant à l'expression de la vi-

nu MAXIMUM d'eFP£T UTILE. l49

tesse de la machine sous une charge donnée, avant qu'on y ait mis pour P^ sa valeur, savoir (équ.B)^

on voit que la vitesse sera la plus petite possible sans perte de vapeur, quand P' sera le plus grand ; et comme P^, qui est la pression de la vapeur in« troduite dans le cylindre, ne peut en aucun cas excéder P, qui est la pression dans la chaudière, la condition du minimum^ de vitesse ou du maxi-' mum d'effet utile, sera donnée par Téquatioa P' = P, ou

En exprimant par m le v(^ume de la vapeui^, sous la pression P, rapporté au volume d'un même poids d'eau, on peut , d'après l'équation^^)) mettriei cette formule sous la forme

e = -^— . ir: — . ••••.. (12 ou}^ a i+c

De cette manière on évitera de calculer le terme Ti-f- çP; la quantité m étant donnée par les tables du chapitre If, dans lesquelles on hi relèvera avec plus d'exactitude que par sa valeur approximative

m = — ^^—r=:. Celte observation s'appliquera de

même à toutes les formules suivantes , oit les

V5o CHAPITRE TROISIÈME.

quantités n et 9 resteraient remues sous la forme W + 5P.

A regard de ia formule qui précède, nous ferons remarquer que, mathématiqiiement parlant, 1»

pression P' ne pourra jamais être tout-à-fait égale à F; parce que, comme il existe entre la chau-<^ dière et le cylindre, des conduits que la vapeur doit traverser, et que le passage de ces conduits forme un obstacle au libre mouvement de la va* peur, il cbit nécessairement exister du oôté de 1» chaudière, ua petit surplus dépression équivalant à la résistance de l'obstacle dont il est question , sans quoi le mouvement de la vapeur ne pourrait avoir lieu. Ce sur[^us de pression du côté de la chaudière empêchera donc que F' ne puisse devenir mathématiquement égal à P, et ainsi la vitesse réelle sera toujours un peu plus grande que p'. I^ différence entre P et P' (nous parlons de la moindre différence possible entre ces deux près* sions), sera d'autant plus petite que l'aire des pas* sages sera plus large et les conduits plus directs;^ mais comme avec les dimensions en usage dans les machines y cette différence est nécessairement très peu de chose, nous la négligeons ici. En la cherchant, en effet, par les formules coimues de l'écoulement des gaz, on trouve qu'elle n'est pas appréciable sur les instruments dont on se sert pour mesurer la pression dans la chaudière; et par conséquent son introduction dans les calculs compliquerait les formules sans les rendre plus exactes..

DU HAXIMUM d'eFFKT DTILE. i5i

Pour revenir k la redierche qui nous occupe»

le maximum d'efiet utile sera donné par b condition P'=:P, ou

Cest donc la vitesse k laqudle on doit faire travailler la machine » quand on veut en obtenir le plus grand effet pos^ble ; et Téquation P' = P montre réciproquement que, quand cette vitesse «ira lieu 5 la vapeur arrivera dans le cylindre à pleine pression, c'est<^à-dire avec la même pression qu'elle avait dans la chaudière*

Il est nécessaire de faire remarquer que cette vitesse du maximum d'effet, ou de pleine pression dans le cylindre, ne sera pas la même pour tontes les machines, et qu'au contraire, toutes choses, égales d'ailieui^, elle variera en raison directe de la vaporisation S de la chaudière et en raison inverse de Taire do cylindre. Elle pourra donc se trouver, dans une machine, moitié ou double deee qu'elle serait dans une autre i et cela fait voir qu'on a tort de croire que , parce que le piston des machines stationnaires ne dépasse pas, en général, une certaine vitesse de 0.80 à i.5o mètre par seconde, ou de iSa à 3k>a pieds anglais par minute, la vapeur de la chaudière par\'ient nécessairement dans le cylindre sans changer de pression. Si Ton suppose que dans une certaine machine, le maximum d^efîet se produise à la vi-

»59 CHAPITRE TnOISliME.

tesse de aoa pieds psur minute, il ne sera pa» difficile d'en établir une autre où le tuéme effet aura lieu à une vitesse fort différente. Il suffira évidemment pour cela, de conserver la même chaudière et de diminuer ou d'augmenter le-diisir mètre du cylindre; ou bien de conserver au contraire celui-ci en changeant les dimensions de la chaudière. Bien plus : il suffira de kisser languiv le feu, ce qui changera la vaporisation^, et la vitesse de pleine pression variera en même temps. On ne peut donc prononcer à priori , comme on le fait dans la tliéorie ordinairement appliquée aux machines à vapeur, que ia vitesse de i5o ou 25p pieds par minute soit, pour toutes les machines, celle de pleine pression.

Le fait est qu'il n'y a d'autre moyen de connaître la vitesse du maximum d'effet utile ou de pleine pression d'une machine , que de la caU culer directement pour cette machine ; et c'est l'objet de la formule que bous avons donnée plus haut. Cette formule est d'ailleurs d'une simplicité remarquable et n'exige de connaissance expérimen-i taie que celle de la production de vapeur dont est capable la chaudière. Quant à cette production de vapeur, on peut la déterminer par une expérience spéciale, ou la déduire de la surface de chauffe de la chaudière et de la qualité du combustible employé, çn se fondant sur quelque expérience à ce sujet, faite,. non sur ia chaudière de la machine elle-même, mais sur quelque,.

DU HTAXIMUM d'eFFET UTILE. 1 53

autre chaudière de construction semblable. Ainsi ^ la vitesse du maximum d'effet utile d'une machina peut toujours être connue à priori.

$2. De la charge du maximum deffet utile.

Pour connaître la résistance utile que la machine est susceptible de mettre en mouvement à sa vitesse de maximum d'effet ci-dessus, il suffit, dans l'expression générale de la résistance ( équa-> tion 3), de mettre pour i^la valeur que nous venons de trouver; et l'on obtient pour la charge correspondante r' :

£d examinant la même équation (2) ci*dessus , qui donne la résistance dans le cas général, on voit que cette résistance est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus petite. La résistance que nous venons d'obtenir comme corres^ pondant à la vitesse du maximum d'effet utile ou à la moindre vitesse sans perte de vapeur, est donc en même temps la plus grande résistance dont est capable la machine avec la détente donnée. Ainsi le plus grand efTet utile s'obtiendra en faisant marcher la machine à sa moindre vitesse et avec son maximum de charge, ce qui est d'ailleurs évident à priori.

On peut aussi trouver directement cette charge

l54 CHAPITRE TROISIÈMB*

convenable à la production du maximuni d'effet utile. Il suffit pour cela de considérer l'expression de l'effet utile en fonction de la charge, c'est-àdire d'examiner l'équation (4 bis). On y voit que le maximum d'effet, pour une détente donnée, correspond au maximum de la fraction :

Srk

qui ne contient de variable que r; et le maximum de cette fraction sera évidemment donné par le maximum de la résistance r. On retombe donc dans la même solution que ci-dessus.

§ 3. Mode fourni par la recherche précédente, pour déterminer le frottement des machines non chargées , et leur fwttement additionnel par unité de la charge.

La relation que nous avons obtenue plus haut, peut servir à déterminer le frottement de la machine fonctionnant sans charge et son frottement additionnel par unité de la charge. En eff^, on doit remarquer que puisqu'il y a une charge maximum correspondante à chaque pression dans la chaudière, on peut faire de toute charge quelconque une charge maximum pour la machine, en baissant suffisamment la pression. Supposons donc qu'on ne donne aucune charge à la machine, mais qu'on baisse de plus en plus la pression dans la chaudière ,^ au moyen de la soupape de

DU MAXIMUM d'kFFET UTILE. 1 55

sûreté , jusqu'à ce que tout ce que peut faire la machine, soit de se maintenir elle-même en mouvement en surmontant son propre frottement* Avec cette pression réduite, le frottement seul de la machine deviendra pour elle une charge maximum. Soit donc P" cette pression déterminée par l'expérience; l'équation précédente (i3) aura lieu en y mettant P'^ au lieu de P, et en y faisant en même temps r = o. Donc on aura

et cette équation déterminera d'abord la quantité fj ou le frottement de la machine sans charge.

Pour avoir ensuite la quantité J\ on se servira d'un moyen analogue. Sans rien changer à la pression ordinaire de la machine, on augmentera sa charge de plus en plus, jusqu'à ce qu'on voie qu'elle s'arrêterait si on lui imposait une résistance plus considérable. Alors on sera parvenu à la charge maximum correspondante à la pression de la chaudière. Si donc on appelle r^' cette charge ainsi déterminée par Texpériente , P étant toujours la pression dans la chaudière y on voit que l'équation (i3} donnera

qui déterminera la quantité cP, ou le frottement additionnel que subit la machine par unité de la charge qui lui est imposée.

l56 CHAPITRE TROISIÈME.

Si. la charge de la machine n'était pas susceptible d'augmentation, au lieu d'accroître cette charge autant que possible, comme nous venons de le dire, on baisserait au contraire la pression dans la chaudière, jusqu'à mettre cette pression en équilibre avec la charge ordinaire de la machine, et ce serait la valeur de P ainsi trouvée, qu'il faudrait mettre dans l'équation , comme dans le cas où l'on fait fonctionner la machine sans aucune charge.

Les quantilés^et «T étant ainsi déterminées, le frottement de la machiné avec une charge quelconque r, sera

Ces moyens sont ceux qui nous ont servi à déterminer le frottement des machines locomotives isolées ou suivies de leur charge , et nous les proposons de même à l'égard des machines à vapeur de toute espèce.

On remarquera que si , ayant omis de s'assurer préalablement que la machine travaille à son maximum de charge, il arrivait qu'on prît par erreur un cas de vitesse générale pour un cas de vitesse minimum , et qu'on prétendît en déduire le frottement de la machine, la valeur ainsi trouvée serait nécessairement trop grande, et d'autant plus exagérée que la machine aurait été loin de travailler avec sa charge maximum. En effet, l'effort dont la machine est capable diminuant à mesure que sa

DtJ MAXIMUM D*FFFET TTTILE. 1 $7

vitesse augmente, oh voit que Ton emploierait alors pour r^^ dans le calcul ci-dessus, une quantité trop petite, d'où résulte que la quantité /, et par suite le frottement définitif de la machine, paraîtrait trop grand. C'est ce qui explique ()ourquoi la théorie ordinaire , en comparant ses résultats théoriques à ceux de l'expérience , parvient à des coefficients de réduction qui font paraître le frottement de la machine beaucoup plus considérable qu'il n'est réellement.

^ ^. De la vaporisation de la machine.

La vaporisation nécessaire à une machine pour exercer un certain effort maximum / à sa vitesse minimum (^', sera donnée par l'équ. (3) , en y faisant la substitution de / et v\ au lieu des valeurs générales r et s>\ ou plus simplement, on la tirera directement de l'équation (la), ce qui revient au même et donne

S = (iH- ^P)fli.'.^Lf.... (i4)

On remarquera qu'en substituant r' et p' au lieu de r et i' dans l'équ. (3), on aurait

mais en y mettant pour r' sa valeur^ telle qu'elle est donnée dans l'équ. (i 3), on retombe sur la formule précédente (i4)*

t58 CHAPITBE TROISlèMK.

§ 5. Z?e Vejfet utile maximum de la machine.

Le maximum d'effet utile que peut produire la machine dans l'unité de temps , avec une détente donnée, sera connu par la formule générale (4), en y introduisant la vitesse convenable à la production de cet effet , ou se déduira du produit des deux équations (12), (i3), savoir:

On remarquera que cet effet utile maximum ne dépend nullement de T^ire du cylindre, nî de la vitesse ou du nombre des coups de pistons par minute. Si l'on suppose une machine fonctionnant sans détente, ce qui revient à faire Vtsil et réduit

l'expression A: à la valeur rr— % on trouve même

que l'effet utile maximum ne dépend plus de la longueur de la course du piston. £n effet, la

quantité j-— qui subsiste encore dans l'équation ,

n'exprime qu'un rapport , celui du volume parcouru par le piston au volume réel du cylindre. D'autre part , les quantîtésyet cT sont constantes dans une machine donnée, et varient très peu entre les machines d'un même système ; les quanfîtes n et ^ sont des ooe£(iotents €(Histaiits>, eomnM on r» vu; enfin la pression de condensation p^ tient an mode de condensation employé, et sur*

DU MAXIMUM d'effet UTILE. iSg

tout à la quantité et à la température de l'eau appliquée à produire la condensation ; par conséquent elle est une constante , dans des conditions données. On peut donc dire que l'effet utile maximum d'une machine 9 ne dépend essentiellement que de deux choses ; la force de vaporisation S de la chaudière et la pression P sous laquelle se forme la vapeur* Ce résultat doit d ailleurs paraître évidej^X à priori j car w sont là les seules causes réelles de puissance. Quant aux dimensions du cylindre et de la course 9 elles ne sont que des moyens de transmettre cette puissance sous une forme ou sous une autre, mais sanii pouvoir la créer ou la changer au fond; et quant à la vitesse du piston, elle ne doit effectivement influer en aucuue façon sur l'effet utile maximum, puisque, pour une production donnée de vapeur, cette vitesse peut prendre toutes les valeurs^ selon le diamètre qu'on donne au cylindre.

On voit par*là dans quelle fausse voie on se jette y quand on prétend calculer l'effet utile des madiiiies, (f après le diamètre de leur cylindre, et $ans tenir compte de la vaporisation produite, laquelle, non -seulement n'entre pas dans le cal*' cul, mais ne fait pas même partie des obser^ vatîons.

On remarquera également que, pour passer de l'effet utile qui se produit à une vitesse quelconque i^, à l'effet utile maidmum de la même machine, il faut, au résultat observé danâ le premier

1 6o CHAPITRE TROISIÈMC.

cas, ajouter le terme

Celte expression donne donc la mesure de l'erreuï" que Ton commet dans les calculs ordinaires , et que Pon rejette ensuite sur le compte des frotte^ ments , lorsque ayant admis avant tout que la Va^ peur passe dans le cylindre sans changer de pression , on se trouve , par cette supposition , prendre Teilfet produit à une certaine vitesse Çj comme TefFet maximum de la machine , sans s'être assuré préalablement que cette vitesse i> est bien celle de pleine pression de la machine.

La force en chevaux de la machine, quand elle exerce son phis grand effort, ou qu'elle produit son maximum d'effet utile, sera, comme précé-^ demment, en mesures anglaises :

Les autres modifications données déjà , de l'expression de l'effet utile, seront encore, en mesures anglaises :

Effet utile maximum dû à I Ib de combustible.

Effet utile maximum dû k là Vaporisation de i pîed cube d'eau.

1 Ib.eo,

u.màx.

ip.r.

u,maic.

DU MAXIMUM ABSOLU d'eFFET UTILE. l6r

(igy..Q.^^'Co.pr. ick. ^^2^, . . Quantité minimum de

combustible consommée par force de cbeval •

(!io)...Q.'"''P^»''^- = P ^^^^ ...Quantité minimum d'eau

vaporisée par force de cbeval.

g u»max,

(2i)...F.«-«*'*-^-»»-^'>=5^ =.. . . Maximum de la force en

odooerr ,

chevaux, que peut produire I Ib de combustib.

(22)...F.»-" ^•/'^••P'ss^l^'-l- • • ^**™^"* ^« ^a ^o.^ce en 33oooS chevaux , que peut pro-

duire I pied cube d'eaii vaporisé.