CHAPITRE PREMIER

THEORESIES FO.NDAME.MA UX,

%%. La fonction y est impaire en x. Nous écrirons, au lieu de Tcquation

différentielle en y et Xy la relation

Ç àx ^ Çy dy

Nous aurons :

(/i — A-'X* = v(£, k) = v£ = V (/l __ /«y« = vf - , /j

Pour abréger, nous poserons :

de sorte que, par exemple,

T" = M ^ 1 puisque -7- = TÏi (k M dî M

Si e change de signe et devient — e, x ou >£ devient >( — £) = — >e, et ^^e devient. — >,£. Donc quand x se change en — x, y se change en — y. Par conséquent, y est une fonction impaire de x, que nous pouvons écrire sous Tune ou l'autre de ces formes :

p (xî A*) /- —5 ^— - P(x« - A«)

-i— -( ou y^mxi/(i^x^)(i-k^x^)—-^

y = ^^ p(a.î D») «« y =mx 1^ ^1 --x-; ^1 - /C-X-; p(^,p,)

Il résulte de là, que si on fait x=3 0o, on aura y = 00, ou ye=0, mais jamais y» une valeur finie.

93. Dans le cas où y est infini en même temps que x, y : x a une valeur

finie pour x infini. Considérons d'abord le cas où y est une fraction rationnelle, et supposons que Ton ait

e = K'j/ — i et par suite >e = x=oo

-==2aL-H(26-Hi)L'(/ — i et par suite Xje = oo

Le degré de P(a:* — A*), ne sera pas inférieur au degré de P(x* — D*),

puisque y est infini en même temps que x; supposons qu'il le surpasse

. de g unités. La limite de y : x^+S pour x=»oo , sera une quantité finie; or

D'après (I, 30), la limite de - • -f est la quantité finie (— 1)" ^ 5 pour que

le second membre ait une limite finie, il faut donc que X~^ soit fini ou que g soit égal à zéro. Donc y : x a une limite finie pour x = x , et cette limite est

Mais, d'après Fexpression algébrique de y, on a :

M / Donc i;i = fe(-l)" - (A)

Dans le cas où y est irrationnel, on trouve de la même manière

Iim :^ = (— 1)« — = — mk , X ^

donc ii = (—lW. (B)

« Dans le cas où y est nul quand x = oo , yx a une valeur finie pour X = 00 . Soit

Puisque y = , •- = 2aL -♦- 26L'|/ — i.

Considérons d'abord le cas où y est rationnel en x. L'expression t/x^^

aura nécessairement une limiU finie si g est convenablement choisi. Or,

pour X = 00

lim t/ac^ = lim ^^ = - lim — p,v, - >^-^

Pour que la limite du second membre soit finie, il faut que g = i . On a ensuite (I, 50)

hmyx = -l.m-p,v,^ = -^.

L'expression algébrique de y donne d'ailleurs lim yx ==■ m ; donc

MwiA = (— i)«. (C)

Dans le cas où y est irrationnel, on trouve de même que

limyxg= =limm- ^ = limm— = — mk;

BiJC X A

donc Mwiit» = — (— i)«. (1) (D)

Valeurs de fx^e : l^e, v^^ :\ty ou de ll^e, v^e quand lt= «o; valeur de /jE : ie quand le = 0. Il est utile de chercher ces valeurs qui conduisent à des formules dont nous nous servirons en même temps que de (A), (B), (C), (D). On trouve, si i,e == oo pour ie = oo , d'après (I, 50, 31)

limt^' = li,n^f = ^:£^=-,/3T(-l)' (E)

/jE p.7'e M/Je M/ut^e "^ ^ '

(1) Ces deux théorèmes , pour le cas où y est irrationel n'ont pas encore été remarqués, mais pour le cas ou y est rationcl, on peut les déduire de ce théorème d'AsEL : que y est de la forme a;-+- fx, ou fx : a?, fx étant une fonction de x finie pour « = oo (OEuvres^ I, XIII, p. 260 et p. 267). Jâcobi (Fundamenta^ § 10) démontre des théorèmes qui, au premier abord, pourraient être confondus avec les précédents : si y est une fraction rationelle dont le numérateur esl une fonction impaire de degré 2n — 1 ou 2n-+-l, le dénominateur une fonction rationelle paire de degré 2n, il est probable qu'une pareille valeur satisfera à Téquation diflférentielle donnée, car on aura pour déterminer les coefficients du numérateur et du dénominateur un nombre d'équations suffisant en général. Mais il ne prouve pas, comme Abel, que c'est la seule forme possible de la solution. Comparez Sanio, § 4, p. 18 et Kômgsberger, § 5, p. 8. On n'a pas signalé encore les relations (A), (B), (C), (D).

Si, au contraire Xje = pour h = x>, puisque — = 2aL -*- 26L' (/ — i

|UL,£ = (— i)«+* (G) et vje = (— i)^ (H)

Enfin, dans tous les cas, pour x = , y = et en supposant e =

lim^ = lim-rî- = -i-i— ^= (J)

X /e M |jiev£ M

34. Tous les facteurs rationnels qui entrent dans l'expression de y, dont la partie rationnelle est supposée réduite à sa plus simple expression sont des facteurs simples. Aucun d'eux ne s'annule en même temps que |/i — X* ou [/ i — k^x^, sauf au dénominateur de y dans le cas oii cette fonction est irrationnelle en xW,

Soit X — A, un facteur du numérateur de y. On a pour x = A

lim 7- = liin -= —- = lim -- -^^ — = - a \

x-A, Ae— A, M\t M|/(i— AÎ)(i-A'AÎ) ^^

valeur qui n'est pas nulle. Donc x — A est un facteur simple du numérateur de y. On a ensuite

ti P(x« — A«) : (x — A.) .- — - — — — P(x«— A*):(x2 —A.)

A;°"" P(x^-D^) '' ou = mxy^(i-x^)ii^k^x^) p^^,^J^,^ ^^ -

Nous venons de voir que pour x = A^ ces expressions ne sont pas nulles ; d'autre part, elles ne sont pas infinies, puisque aucun facteur du dénominateur de y, qui est réduit à sa plus simple expression, ne peut être égal à X — A, ; l'expression (i) étant finie, on n'a pas

A, = ±i ou A, = zb-,

autrement dit, aucun facteur du numérateur ne s'annule en même temps

que [/ i — X*, ^ i — A*x*.

On a ensuite pour x = Dj,

^ * l-*e y.e àzl ^ ^

(I) On n'a pas encore, que nous sachions^ démontré ce théorème d'une manière générale avant d'avoir cherche les facteurs eux-mêmes. Nous dirons plus loin comment Abel et Jagobi évitent la considération du degré de multiplicité des facteurs du numérateur et du dénominateur de y, de 1 — y, etc. La plupart des autres auteurs n'ont guère réussi sur ce point aussi bien que ces illustres géomètres.

quantité qui n'est pas inGnie. Tout facteur du dénominateur est donc un facteur simple. Soit de plus y rationnel en x; alors,

Nous venons de voir que pour x = D, cette expression n'est pas infinie; elle n est pas nulle non plus, car le numérateur ne contient pas le facteur (x — D,), puisque y est réduit à sa plus simple expression. L'expression (2) n'étant pas

nulle, on n'a pas

D, = =fci, ou Dj=i:-,

autrement dit, aucun facteur du dénominateur ne s'annule en même temps

que |/i — X*, (/i —AV.

Il est facile de voir que cette dernière remarque ne peut être étendue au cas où y est irrationnel.

Nous verrons plus loin qu'il existe pour les fonctions [/ i — i/*, |/i — Py' des propriétés analogues à celles qui sont démontrées ici pour y.

Ï5. Classification des transformations, — Soit e = 2K. On aura xe=0, V = et

p et q étant des nombres entiers. Par suite :

De même K'|/^ = M(p'L + ^'L'j/I^).

On déduit de là, en posant, n =pq — p'g',

Dans les transformations que nous considérons, p, gr, p\ q\ n'ont pas des valeurs quelconques : ces nombres doivent être tels, par exemple, que pour X = 00 , y =§ 00, ou t/ = etc. ; de là un moyen de classer les transformations d'après la parité ou l'imparité de /), gr, p\ q\

Soit e = K'[/ — i = M(/)'L -h 7X'(/ — i); x= oo; si ;/= oo, il faudra que l'on ait p pair, q' impair, et si y = 0, que p' et q' soient pairs (I, 9, 12).

Soit e = K = M(/>L + ^L'j/ — 1); x = i. Soit p pair, on aura j/ = db l{qVy-—T) = ou 00 (I, 9, 12), selon que q est pair ou impair. Donc x = i annule le numérateur ou le dénominateur de y. Mais d'après le n*' 24 cela ne peut arriver que dans les transformations irrationelles. Donc, dans les transformations rationelles, on doit supposer p impair. — D'autre part, dans une transformation irrationelle, si le facteur 1 — x* n'est pas au dénominateur, y est nul pour e = K ou a:=>e = i, à cause du facteur ^^i — x* du numérateur : on ne peut donc pas supposer p impair, car, si cela était, on aurait :

y = \(pL + ql'l/— i ) = zh >(L -+- qVi/— 1 ) = db 1 ou di /-*

selon que q est pair ou impair. Si 1 — x^ est un facteur du dénominateur, y = oo pour Ê==K ou x = i, et on démontre comme plus haut que p est pair. Les transformations ralionelles sont donc caractérisées par p impair, les irrationelles par p pair.

Nous avons par conséquent à considérer quatre classes de transformations, d'après la parité ou l'imparité de p et de q' :

4® q' impair^ p impair^ n impair : transformations rationelles où y= oo pour x=r 00. 2° q' impair^ p pair^ n pair : transformations irrationelles où y=: 00 pour x= 00, 5° g' pair, p impair^ n pair; transformations, rationelles où y = pour x= oo. 4° g^' pair^ p pair^ n pair : transformations irrationelles où y = pour x c= oo.

Dans toutes ces transformations, p est pair, ce qui est digne de remarque, et on peut supposer q pair ou impair. Il est facile de s'assurer d'ailleurs, que, si e = K'4-K'(/ — i ou x = Âr~% on n'a pas y = ou t^ ez3 00, dans le cas des transformations rationelles, ce qui est d'accord avec le n" 24 ; que dans le cas des transformations irrationnelles on a toujours, au contraire, ,v=0, ou y = oo pour cette valeur de e, comme cela doit étre(0.

Les relations entre K, K'j/ — i, L, L'(/ — i, prennent des formes simples, en supposant l'un de ces quatre nombres/), pS.q^, ç' égal à l'unité

(1) Une classification des diverses transformations fondées sur la parité et Pimparité de Py 7) P'j q' se trouve dans Briot et Bouquet, § 215, p. 2^. £lle est applicable aussi aux transformation irrationelles.

et deux autres nuls. On trouve que celle hypothèse donne les relations suivantes entre K, K'^^ — 1, L, L'(/ — 1.

i*"* classe : p = n impair ou q' = n impair

K = MwL et K'i/^ = ML^/^^ ou K = ML et KVl^ = M/tL'|/^^.

2''*' clcu^se : p = n pair

K = MnL et K'|/^^ = ML'|/^^- D'"« classe : q' = n pair

K = ML et K'|/IIT=M/iL'/^in".

4*"* classe : p =n pair

K = ML'i/'^^ et K' |/^ = wML.

Les cas particuliers ou m = 2 sont remarquables, parce qu'ils conduisent à la plus ancienne transformation connue, dont les travaux de Richdot ont montré toute TimportanceO).

d6. Mode de détermination des valeurs de y, ]/i — t/*, [/\ — Py^. On a

y =0 pour e, = M (2aL + 26L'(/^^) j/i— y« = pour Ej = M [(2a h- i)L -+- 26L'/^] /i— /y =0 pour £3 = M[(2a-f-i)L-f-(26-^i)L'j/^] y, /i— yS /i — /*y* •= « pour £^ = M [2aL 4- (26 + i)L'|/^]

Les valeurs 6j, Sg, £j, e^ peuvent s'exprimer au moyen de K et K'j/— V, grâce aux relations

K = M(pL -+- ql'l/^^) K' (/IIl = M(p'L -+- qV y"^^)

Il en résulte que l'on aura, si le problème de la transformation est possible,

(i) Voir rintroduction, p. 15, note 2. La transformation simple de quatrième classe

correspondant à K = ML'V/ — i, et K'j/— l=nML n'a pas encore été étudiée spécialement.

On examine dans chaque cas particulier de combien de valeurs distinctes sont susceptibles les expressions X*£,, lU^, A'êj, X*£^, lorsque a et 6 reçoivent toutes les valeurs possibles; ensuite au moyen de la théorie des fonctions qui prennent la forme -, on détermine les exposants A, et A,. Pour

trouver m, m^ , m^, on donne à s des valeurs particulières. Dans plusieurs

cas, on pourra trouver de la même manière les valeurs de i àzy^ iàzly.

Quand il s'agit des transformations simples dont il est parle au numéro

précédent, on est conduit, en opérant ainsi, d'une manière très naturelle à

la valeur de y, de ^/l — y', et de j/l — /*?/'. La détermination des valeurs distinctes de Ae, , )£^, /e,, 1-^ est même plus simple que dans le problème de la multiplication. Cela provient de ce que toutes les valeurs de Êj , Sj, Ej, £4, que Ton doit considérer, sont des multiples de Tune

d'elle aux constantes près K, K-+-K.'i/ — 1, K'j/ — i.

Les transformations générales jouissent d'une propriété correspondante qui repose sur un théorème d'arithmétique que nous allons maintenant démontrer (i).

%7, Démonstration d'un théorème d'arithmétique. — Si les quatre nombres p^ q^p', q' n'ont pas de diviseur commun^ Von peut trouver un nombre JJ, tel qxie^ si ton pose

Z^p — qR

les nombres Z et 7J soient premiers entre eux.

Supposons que, pour une certaine valeur de R, Z et Z' aient un diviseur commun (/, , et soient

- Z=p — (/R = ^r/, Z' = p' -. g'R = f/'rf, (1)

(1) Jacori Fundamenta^ § 20, p. 56 et Abel I, XII, n*» 42, p. 231 ont donne cette propriété pour les transformations de la première classe ; Samo I*a étendue à celle de seconde et de troisième classe. Comparez aussi Abel, I, XIII passim^ XXI ch. IV, § 7, p. 590. Mais ces géomètres ne s'occupent guère, d'une manière générale, des relations qui existent entre les périodes de x et de y, Kômgsberger, die Transf.^ § 22, p. 68, envisage au contraire la question sous ce point de vue, comme cela était nécessaire dans un exposé de la théorie de la transformation par les fonctions Ô. C'est à cet auteur, § 21, p. 65, que nous empruntons l'important théorème du no 27.

on lire de là :

Zq' — Z'7 = /)f/' — />V/ = /* = i\^ (tuf — aV/) ;

n est donc divisible par d^, Tous les nombres Z et Z' qui ont ainsi un diviseur commun d^ , seront dits appartenir à la classe i. Si les diviseurs premiers de n sont d^, d^.,. c/a, on peut imaginer h classes correspondantes de nombres Z, Z' non premiers entr'eux; on place dans une seule classe ceux qui auraient deux ou plusieurs diviseurs premiers communs.

Si deux nombres Z et Z' appartiennent à la classe 1, on ne peut pas supposer que q et q' soient divisibles à la fois par (/,, car des équations (1) résulterait que p et p' seraient aussi divisibles par rf,, ce qui est contraire à l'hypothèse que les quatre nombres entiers p, y, p\ q' n'ont pas de facteur commun. Supposons donc que l'un des deux nombres q ou q\ q par exemple, ne soit pas divisible par d^ et considérons deux nombres Z, et Z^ appartenant à la classe i ; on aura

la différence Rj — R, doit donc être divisible par d^. Ainsi tous les nombres R relatifs à une même classe i satisfont à la eongruence :

R=R, (module (/,)

R, étant l'un de ces nombres, si q n'est pas divisible par d^. Si c'est q' qui n'est pas divisible par d^y en partant des égalités :

on arrivera à la même conclusion.

Il résulte de là que tous les nombres R donnant des nombres Z et Z' non premiers entr'eux sont déterminés par les h congruences :

R = R, (mod. rfj R = Rg (mod. rfg)

R = Ra (mod. rf/i)

Il suffit de trouver un nombre R qui ne soit compris dans aucune de ces classes pour que, substitué dans p — gfR, p' — gr'R, il donne deux nombres premiers entr'eux. Il en sera évidemment ainsi du nombre R

salisfesant aux h congruences suivantes, incompatibles avec les précédentes

R = R, + i (mod. rf,) R = R, + 1 (mod. c/,)

R = RA-*-i (mod. rf*)

11 est clair que Ton peut toujours trouver un nombre R satisfesant en effet à ces h congruences. Le théorème est donc démontré. — On peut démontrer un théorème analogue sur les formes ;>R — f/, p'R — q'.

Lorsqu'on a trouvé un nombre R donnant deux nombres premiers Z et Z' on peut en trouver une infinité de la manière suivante. Posons

Z^ = Z±qn^p — y{Ripn), Z\ :^ Z' zt q'n = p — q'{Rzpn)

ou déduit de là :

Tout diviseur de Z, et Z\ diviserait aussi n, et par conséquent Z et Z'; ceux-ci étant premiers entr'eux, il en résulte qu'il en est de même de Z, et Z',. Dans les formes p — gR, p' — q'R, on peut donc remplacer R, par R-i-ww, m étant un nombre entier quelconque, sans que les nombres ainsi obtenus cessent d'être premiers entr'eux.

Voyons dans quel cas R est pair ou impair. Dans les transformations de première classe {p impair, q' impair) n est impair, R et R-*-n sont de parité différente; par conséquent R peut être choisi indifféremment pair ou impair^

Dans les transformations de troisième classe {p impair, q' pair), on doit supposer R pair quand q est impair, car autrement Z et Z' seraient tous deux pairs. Si q est pair, on peut prendre R pair ou impair à volonté. Soit, en effet, n = 2**ff, <r étant un nombre impair. Considérons deux nombres Z, et Z',, tels que

Z\ = Z' ± q'7 =p'— ï'(R =F t) On aura

Tout facteur commun de Z,, qui est impair, et de Z',, qui est pair, diviserait 7 et par suite Z et Z' ; mais Z et Z' sont premiers entre eux ; il en sera donc de même de Z^ et Z', et on peut remplacer dans les formes

p — q]\^ p' — g'R, R par R 4- iw^r, sans que les nombres ainsi obtenus cessent d^étre premiers entre eux ; a- étant impair, il en résulte que Ton peut supposer R pair ou impair. Si <t est égal à Tunité, toute valeur de R donne deux nombres premiers entr^eux Z et Z'.

Dans les transformations irrationnelles {p pair), on doit prendre R impair, autrement Z et Z' seraient tous deux pairs.