AGES

xf^

Jr— 3

Cf^"*

br^'

ai*'

Nous aurons

J= If

f = r + Y + z, etc.

Dans ce cas, --- sera la valeur d'une annuité croisa

santé sur la tête d'un enfant qui vient de naître y c'est-à-dire d'une annuité d^tÂJi franc la première année , deux francs la seconde ^ trois francs la troisième , et ainsi de suite ; 7-;^, sera la valeur d'une semblable annuité sur la tête d'un enfant diun an,

îr

— celle d'une semblable annuité sur la tête d'un

enfant de deux ans, et ainsi de suite pour un âge quelconque.

Tels sont les principaux avantages attachés à la nouvelle disposition des tables. Il en est d'autres moins importans sur lesquels je n'ai pas besoin d'insister en ce moment, puisqu'ib se px:ésenteront d'eux-mêmes aux personnes qui appliqueront leur attention sur ce sujet. Je pense en avoir assez dit pour assurer l'adoption de cette méthode dans la formation de toutes les nousfelles tables qu'on pourrait construire par la suite ; les instructions suivantes ne seront pas inutiles aux personnes qui s'occuperaient de ces calculs.

Prenez un assemblage de petites lattes ou règles plates , larges de quelques lignes , et divisez cbaq^e.v

règle dans toute son étendue en un hoâibre convenable de parties égales. Sut là règ/e ainsi divisée, ou sur une bande de {)a]iref qu'dh y aura collée^ écrivez dans les diverses divisions > les logarithmes des nombres de vivans à tous les âges de la vie humaine , mais dans un ordre inverse , c'est-à-dire en cômmétiçant par Tàge le plus avancé de la tilble d'observations, et terminant par le plus jeune. Si Ton veut calculer là valeur d'une annuité sur (îeux têtes réunies,^ on devra former deiujc assemblages semblables de ces règles; pour trois têtes réunies ^ il faudra tr&is assemblages semblables et ainsi de suite. Le calculateur devra disposer encore un autre assem- ^biage de règles divisées aune manière semolable, et écrire dans ses divisions l^s logarithmes des isomiàes que produit le placement de i fr. après o, i ^^^ 5 ans, a après le taux a intérêt proposé. Ainsi soi't proposé de calculer la valeur d une annuité sur aëùx lètès réunies , d'aprèâ les observations de Northdmptdh et rinWret de 4 p- i^ô : dans ce cas lès lôgâritnhies de chaque asSsemolagie de règles sercMit disposés de la manière suivante :

Il » <- i a I

|o^'eoNoi)DOMby6obb6oQ(o,954a4a5

i,ao4i^

i^dbœiiia

etc.

^ '♦ 'Tf

hsi^oavwdoi

6qsk)6oo

Oi954^a5| I ,ao4iaoo

i,3&>aua

etc.

|^,ocA>ooeoJo^oi^o33& 0,0540667

etc.

( ^71 ) Quand nous opérerons avec ces règles, elles devront être rassemblées soit avec la main , soit au moyen d'une rainure pratiquée dans la table, afin qu'on puisse additionner plus commodément les nombres de chaque colonne. Si les deux têtes proposées ont le même âge , les extrémités de chaque règle devront coïncider les unes avec les autres , de manière à ce que les logarithmes correspondans de diverses divisions soient directement les uns sous les autres, comme dans l'exemple ci-dessous :

o,6oao6oo

i,ao4iaoo

etc.

o,o5iiooo

0,08516671 etc.

et les nombres correspondans aux sommes des logarithmes de chaque colonne verticale seront les valeurs qu'on devra insérer dans la colonne 21 de la table.

S'il y a une différence d^un an entre les âges des deux têtes y l'assemblage supérieur devra être avancé dune division vers la gauche, comme ci-dessous :

Oy 0000000

C vC •

etc.

o,o5iiooo

etc.

( ^72 ) et les nombres correspondans aux sommes des lo-* garithmes de chaque colonne verticale , seront les valeurs qui , dans ce cas , devront être insérées dans la colonne !2l de la table.

S'il y a entre les âges des deux têtes une différence de deiLX ans , Tassemblage supérieur devra être avancé de deux rangs vers la gauche, de trois rangs pour une différence de trois ans, et ainsi de suite ; et les nombres correspondans aux sommes des logarithmes de chaque colonne verticale, seront toujours les valeurs qui devront composer la colonne %, De sorte que ces trpis assemblages serviront à toute combinaison d'âges possible entre deux têtes : et par cette méthode, non-seulement les calculs seront infiniment plus faciles, mais de plus on évitera les erreurs auxquelles on est tellement exposé quand on est obligé de retranscrire toujours les mêmes nombres à la plume. 11 est encore à remarquer que l'assemblage qui contient les logarithmes des sommes produites par le placement de i fr. , peut être employé avec toute autre table d'observations, lorsqu'on conserve le taux de l'intérêt, et que, d'un autre côté, on se sei*vîra des assemblages qui contiennent les logarithmes des nombres de vivans, quel que soit le taux de l'intérêt proposé.

Afin de découvrir, par un procédé différent, les erreurs qui auraient pu se glisser dans l'opération , on pourra se servir de la méthode suivante : Appelez z , r , jc, les logarithmes des nombres de vivans à l'âge le plus avancé de la table d'observations et aux âges qui le précèdent , et r le logarithme du nomI)r^

produit par le placement de i fr. après un an -, d'après le taux proposé. Les logarithmes dont on aura besoin pour trouver la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies de même âge , seront :

z-f-5r,r + r + R, x-|-^4"2R, r -^ r + 3ïij u + ir-|-4*^, etc.

Après avoir ainsi trouvé les logarithmes dont on a besoin pour les questions où les deux têtes ont le même âge , ou une différence d'âge = o , nous trouverons de la manière suivante ceux dont on a besoin pour les questions où la différence d'âge est i , 2, 5,4» ^*c. ans. Prenez les dijfferences entre les logarithmes Zf YyXy comme suit :

r— -^, x— r, r — x, cr — r, t — cr, etc.

et ajoutezAes respectivement aux valeurs trouvées plus haut , de la manière qui sera indiquée ci-après; les résultats seront les logarithmes au moyen desquels on pourra trouver la valeur d'une annuité sur deux têtes réunies qui ont entre elles une différence d'âge de 1,2, 5, 4> etc. ans. Ainsi les logarithmes , quand la différence d'âge est

an, sont =j^-|-2r, r+r+R, j:-|-x+2R, r+r+3R, etc.

ajoutez Y — z x — r r — x cr— r

1 an, sont =:z+t, r+x+R , x+r+2R , r-|-ï''+3R,.etc.

ajoutez X — r r— x r — r r— r

■ ■■ ■ — ^■— Il \

2 ans, sont =:<ar+x, r+r+R, x+r-|-2R, r+2^3R, etc.

ajoutez r — x V'-^r t — v s — t

3 ans, sont =j^+r, r+r-j-RjX+îr+^R, r+j+B»! etc., etc.

On verra facilement que les résultats obtenus par

( Û74 ) Qéiie 'tné\hodi^ iievront être exacteiâeaf semblables à ceux obtenus hn moyeu des assemblages^ si dans les deux cas on a opéré correctement. Si donc on trouve quelque différence^ on en conclura qu'on a commis une erreur, et l'on devra la corriger.

C'est à M. George Barrett qu'on est redevable de Ceiie méthode prompte, facile et ingénieuse de détermîûdr les valeurs des annuités viagères : il m'a aidé lui-même a en exposer les principes et à en faire sentit les avantages. Pendant sa jeunesse il fut attaché à cette branche des mathématiques, et vit bientôt avec regret combien les applications en étaient limitées en raison du petit nombre de tables d'annuités viagères que nous possédons. Pour remplir cette lacune il consacra ses loisirs à la construction de quelques tables qu'il destinait à une nouvelle société qui s'établissait. Bientôt il étendit son plan, et après vingt*cinq ans de travaux assidus, il a calculé la plus complète collection de tables relatives à ces matières qui ait jamais été donnée par aucun auteur. Chacune d'elles a été soigneusement calculée et corrigée séparément par deux autres personnes, dont l'une se servît des assemblages de la page 270, et l'autre de la méthode de la page 2'jZ ; la similitude des deux résultats en démontra l'exactitude , de sorte qu'elles offrent toutes les garanties que l'on peut désirer dans les calculs de cette nature.

Je n'ai pas besoin de m'étendre ici sur l'étonnante persévérance et le zèle ingénieux que déploya M. Barrett dans là construction de ces tables. Quiconque a étudié oe6 matières comprendra quels longs et labo-

rieux calculs a dû nécessiter leur formation. Ce sont en ce genre les travaux les plus utiles qui aient jamais été faits, et Ton ne peut que regretter que nonseulement ils n'aient pas été publiés, mais même qu'ils courent le risque d'être à jamais perdus pour la science. Cependant, soit que M. Barrett rencontre assez d'encouragemens pour pouvoir publier la totalité de ces tables, soit qu'il n'en puisse publier qu'une partie , ou qu'on le décide à les arranger' d'après la méthode accoutumée, conversion qui est toujours facile à faire, les développemens dans lesquels je suis entré auront le même objet; celui d'indiquer quelques-unes des propriétés curieuses de cette méthode et ses avantages sur l'ancienne, et d'ouvrir ainsi, en conseillant son adoption, un nouveau champ aux investigations des personnes qui s'occupent de ces recherches. D'un autre côté, si M. Barrett échoue dans ses eflbrts , il ne sera pas tout-à-fait inutile d'avoir montré l'écueil aux auteurs à venir, afin de les avertir de ne pas poursuivre de ce côté une course désespérée , et de ne pas perdre dans de stériles travaux les plus belles années de leur vie.