n da

et Ton retrouve la série de Lagrange FM = F(«) + ttWF'WJy + T7Ï + -

propre à représenter une fonction F (a:) de la racine de Téquation

x = a yÿ (*)>

qui se réduit à a pour y = o.

Dans l'équation ( 2 ), faisons successivement z = y.

y 2 ,..., y n , et désignons, pour abréger,

d" <p ( x) dx n

par D n cp(.r),

nous obtiendrons les identités

(0-).D». Ÿ (x)’ + iri D»-'. T (.r)> + . . .

rf— '(6-»),

H " p-tW.

+ ^r JîD -»W*’

Ces identités font voir que si l’on a les équations

D 1 . Ÿ (x)./, + D’.^xJ’.j, +. . .+ D*. T (x;». r . = D ! .F(x),

D"-'. ï (x).>-,+ D”-'.< P (x) , .j J +....-f- D"-'. ? (x)".j„ = D”-'.F(x), D”. f (x)j, + D”. ? (x)’.j 1 +. . ,+ D". T (x)".jr„=' D”.F{x),

et qu’on les multiplie respectivement par

on trouvera

dh

D"-'.F(jr)

Mais les équations (A), résolues à la manière ordinaire, donnent

2[rfcD'.<?(:r)D I .<p(.r) J ... (•r )"- 1 D”.F(.r)]

les déterminants étant formés par rapport aux indices de différentiation. En égalant ces deux valeurs de y n , on aura

(a) dîF 7 ' [0 ~" F '(* +■ *)]• 2 [±D '.y(x)lF.y(x)’...D".F(x)]

En développant les deux membres de cette équation suivant les dérivées de F (#) et observant que les coefficients des mêmes dérivées doivent être identiques, à cause de l’indétermination de F (x ), on aura, en égalaut ceux de D".F (x),

1 2[±D'. T Cx)D’.y^) 1 ...D"-'. Ÿ (.r)"-'] .

d’où l'on tirera

[lt:D' .y (x) D’.y (x)’. . . D».y(x)«]

o = IÎ2 !...«![DÿW] 2

et, par suite, l’équation (a) deviendra