Soit l'équation

(1) )/\ + a.4- ajV= 2^ v/l — x + œVa

Élevons ses deux membres au carré et simplifions. Nous trouvons

d'où; après une seconde élévation au carré|

Cette équation a ses racines imaginaires. L'équation (1) ne pouvant pas admettre (49) de racines autres que celles de l'équation (â), n'a donc pas de racines réelles.

— 141 -^ 193. Soit l'équation

dans laquelle nous supposons <i -^t h.

Elevons ses deux membres au carré. Nous obtenons Téqnation

qui équivaut à

Chassons les dénominateurs de celte équation. En raisonnant comme au numéro 186, nous constatons que l*opération n'entraîne la perte d'aucune racine, ni l'introduction de racines étrangères. L'équation

(3) f{x) = 5aj« - 5(a h- b)x -♦- a« -+- 6« + 3aô = (»,

obtenue après simplification, est donc équivalente à l'équation (2), et toute racine de l'équation (1) qui est (49) une racine de l'équation (2), est encore une racine de réq(*ation (3).

Pour résoudre l'équation (1), il suflSra donc de résoudre l'équation (3) et de choisir parmi les racines celles qui satisfont à l'équation (1).

Le réalisant de l'équation (3) est *

il est positif; les racines a/ et x" de Téquation (3) sont réelles. Par suite, lorsqu'on remplacera, dans l'équation (1), x par Tune ou l'autre de ces racines, les fonctions

et —

prendront des valeurs réelles.

Cherchons quels seront les signes de ces valeurs. Pour cela, comparons a et 6 aux racines de l'équation (3).

- us —

Les racines sont (139) dans celui des iatervalle»

— 00 a b +00 ou bien

— « b a +ot>

qui contient leur demi-somme — ^ — • Ce nombre étant compris

entre a et 6, les deux racines de l'équation (3) sont comprises entre aet&.

Les fractions

prendront donc des valeurs positives quand on remplacera x soit par x', soit par x'.

Ceci posé, remarquons (49) que l'équation (3) est équivalente à l'ensemble des deux équations

Il s'ensuit que la substituUon de l'un quelconque des nombres af el a' transformera l'une de ces équations en identité et rendra la différence

positive ou négative selon que la racine substituée conviendra à la

première équation ou à la seconde.

En conséquence, pour qu'une racine de l'équation (S) satisfasse à

l'équation {!) il faut et il suffit qu'elle rende posilive la différence

précédente; en d'autres termes, qu'elle rende

y : supérieur à y >

c'est-à-dire qu'elle satisfasse à l'inéquation

puisque les quantités considérées sont positives.

Ainsi, la résolution de Téquation (i) revient à celle du système

/(a?) =: Sa?» - S(o -+- b)x + a» + 6« 4- 3a6 = 0, (3)

Résolvons.

L'inéquation (4) équivaut au^ suivantes

(a — xY ~ (x - by {x — 6)(a — 5c)

(g -■ 6)(a + 6 - ga?) (a; — 6j(a — x)

N(»us avons vu précédemment que oi et ce" sont compris entre a

et 6. Le dénominateur du premier membre de l'inéquation (S) devient

donc négatif quand on y substitue oi ou x\ D'ailleurs^ si Ton suppose

, - a^'-i-ûc' a-\-h

X < x% comme — - — — — - — , on a

d*où

Conséqv£nce : Il n'y aura jamais qu'ua des nombres x' ou x" ([ui satisfera à l'équation (1).

Ce sera x\ si a — 6 > 0,

Ce sera a?', si a — 6 < 0,

Les racines de l'équation (3) étant données par

^- iô '

lorsque a — 6 est positif, la plus petite racine est

lorsque a -< 6 est négatif, la plus grande raciue est

Par conséquent, quel que soit le signe de a — 6, Téquation (1) a une racine unique, qui est

Remarque. — Pèt la férificatioa direcle, ou arriverait naturellement

aux mêmes résultats.