TURIN — IMPRIMERIE VINCENT BONA

Rua do l'Hôpital, N. 3.

T\É FqACE

La théorie des invariants, destinée désormais à prendre une place très-irnportante dans l'Analyse, doit son origine à un excellent Mémoire de Boole sur les transformations linéaires inséré dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal^ 1847 . Ce Géomètre, dont tous les travaux sont empreints d'autant d'originalité que de pénétration, y avait démontré que, si Ton élimine les m variables entre les m dérivées successives d'une fonction homogène de degré n k m variables ^, y, ^, etc., prises par rapport à ces mêmes variables, le résultat de l'élimination se reproduit, à un facteur près, lorsqu'on répétera les mêmes opérations sur la fonction susdite, après y avoir préalablement substitué de nouvelles variables liées linéairement aux premières. Ce beau théorème a été le point de départ d'un grand Mémoire de Cayley, inséré dans le Journal de C relie j tome 30j où, par son génie vaste et fécond, il a su créer toute une nouvelle branche d'Analyse, en jetant

ainsi les bases de la théorie des fonctions appelées par lui Htjper déterminants^ et maintenant, Invariants. Dans ce travail à jamais mémorable, M. Cayley fait voir que, pour toute fonction d'un degré supérieur à 3, il existe plusieurs fonctions des coeflScients qui jouissent de la même propriété, signalée pour la première fois parBoole sur une seule fonction de ces mêmes coefficients. Il y détermine quelles sont les fonctions de ces coefficients qui restent indépendantes entre elles, et il trouve diverses relations qui lient linéairement les autres fonctions avec celles-ci. M. Sylvester est venu ensuite, et avec cette profondeur qui caractérise tous ses écrits, il a ajouté aux précédents un grand nombre de -résultats nouveaux et importants. C'est à lui qu'on doit (à ce que je crois) la découverte des Covariants (*), nouvelles fonctions dérivées d'une fonction donnée, dans lesquelles les variables et les constantes, transformées successivement par des substitutions linéaires faites sur la proposée, reproduisent, indépendamment les unes des autres, la même fonction. M. Hermite, enfin, digne successeur d'Abel et de Jacobi, est venu couronner l'œuvre en établissant une loi de réciprocité entre les covariants des diverses fonctions, et par là, il a ouvert à cette théorie un grand et nouveau champ de recherches.

Mais ces travaux, qui forment incontestablement une des plus belles gloires de l'Analyse moderne, sont malheureusement revêtus de formes si concises et si symboliques, ils sont tellement dépourvus de détails et de

(*) M. Hease,- à la véritë, avait déjà obtenu avant lui une fonction (qu*on appelle maintenant THessien) qui jouit de la propriété cai^actéristique des covariants.

démonstrations, et chargés au contraire de nouvelles dénominations, que leur lecture, supposant presque déjà les notions qu'il s'agit d'acquérir, devient le plus souvent pénible et difficile. Il en résulte que cette théorie n'est guère connue que de leurs auteurs, ce qui la rendrait stérile et inutile pour l'avancement de la science, si l'on négligeait de l'exposer avec une clarté suffisante. Ce n'est en effet que lorsqu'une vérité est devenue accessible au plus grand nombre de personnes qu'on peut vraiment affirmer que la science humaine a fait un progrès. D'après ces considérations et sur l'invitattion de savants distingués, j'ai cru que ce serait rendre un service à la science que de mettre à la portée de tous les magnifiques résultats trouvés par ces Géomètres , en simplifiant les théories , et en m 'appuyant sur les notions les plus communes. Mais, ne pouvant pas embrasser toutes ces recherches, mon but sera également atteint, si par le peu que je me contente d'exposer, je réussis à faire comprendre le reste, contenu dans les Mémoires mêmes, et à préparer les élèves à la lecture des importants travaux publiés dans ces derniers temps, en dehors des auteurs précités (*), par Aronhold, Christoffel, Brioschi, Betti, Clebsch, etc., et surtout par M. Gordan, auquel on doit la limitation du nombre des Covariants (**). Il serait inutile de réunir dîBtns un seul

(*) Particuliârement M. Cajlej, qui dans les 8 Memoirs upon Quantics a fondé et développé la théorie des covariants.

(**) L*oo?rage était achevé, lorsque j*ai reçu de cet éminent Oéomètre ima lettre bienveillante que je ferai connaître ci-après.

corps d^ouvrage les immenses travaux de généralisation, accomplis par ces auteurs. 11 n'y a rien de mieux pour le lecteur studieux qui veut avancer que de recourir aux sources mêmes, ce qu'il pourra faire avec sécurité et avec profit, quand il aura bien appris tout ce que j'expose dans cet ouvrage, et en ayant ensuite recours à la liste des ouvrages que je donne ci après.

J'avais déjà commencé ce travail, il y a plusieurs années, quand a paru l'ouvrage de Salmon. Mais cet ouvrage de maître, résumé excellent de plusieurs parties de la science, outre celles que j'ai entrepris de traiter, ne peut guère servir qu'aux Professeurs déjà initiés à cette théorie, et il ne rentre pas du tout dans le cadre d'un Traité élémentaire, à la portée des commençants. C'est pourquoi j'espère que le travail actuel pourra être encore accueilli d'une part avec faveur par le public savant, à cause de la lacune qu'il remplit dans la vulgarisation de la science, et d'autre part avec indulgence parce qu'il ne peut pas tout dire, dans les limites étroites où il s'est renfermé.

Ce qu'il y aura d'ailleurs de nouveau de ma part, soit pour les démonstrations, soit pour de nouvelles propriétés, ressortira de la comparaison de mes anciens mémoires et de l'ouvrage actuel avec les ouvrages des auteurs cités, sans que j'aie la prétention de fixer l'attention du lecteur sur ce qui m'appartient.

Brlangtn, 29 September i876.

Geehrter Herr ,

Ich habe Gelegenheit gehabt, Ihr Buch liber die binâren Formen zu lesen und habe mich sehr darûber gefreut, denn ich fiode es wohl geeignet, den Léser mit der Théorie der Invarianten vertraut zu machen. Der Stoflf îst diirchsichtet und ùbersichtlich geordnet, die Darstellung ist einfach und klar, an vielen Stellen élégant. Selbst verstândlich kônnen die vielen und verschieden Untersuchungen auf dem Gebiete dep neueren Algebra darin nicht aufgefûhrt sein, das werde zu weit fûhren und dem zwecke des Bâches wiedersprechen; aber es fûhrt in die Théorie ein und befâhigt den Léser die ihm sonst nur schwer verstàndiichen original Arbeiten selbst zu ôtudireu.

Sie haben durch dièses Werk der Wissenschaft einen Dienst

geleistet, welchen sie dankbar auerkeimen wird, indem Sie eine schmerzlich empfundene Lûoke ausfûUten.

HochachtungiUiOll t<nd ergebenst GORDAN.

Monsieur ,

J'ai ea Toccasion de lire votre ouvrage sur les formes binaires, et j'en ai été heureux, car je Tai trouva bien propre à initier le lecteur à la théorie des iovariaots. Le sujet est bieu approfondi et lumineusement ordonné, Texposition en est simple, claire et en plusieurs endroits élégante. Naturellement, plusieurs recherches qui ont été faites dans le champ de Talgôbre moderne ne pouvaient y trouver "place; cela vous aurait conduit trop loin et n*aurait pas répondu au but de Touvrage ; mais vous intix>duisez le lecteur dans la théorie et vous le mettez en état d*étudier par lui même les mémoii'es originaux dont, sans cela, la lecture lui eût été difficile.

Vous avez par cet ouvrage rendu un service à la science dont elle TOUS sera reconnaissante, puisque vous avez rempli une lacune importante et regrettable.

Votr9 Dév. Serviteur GORDAN.