DES FORMULES (8) ET
EXEMPLE XXIX. — Quelle somme faudrait-il pour le rachal d^une annuité de 8400''^ d'une durée de 37 ans^ l'intérêt étant de {\^pour 100?
log/^^' = 9,2543008
log(i — r-"j = 9,9140269 log/ = 8,6766986
logç = 1,2373333 loga = 3,9242793
logV = 5,1616126 V = i45o8i"',70.
Exemple XXX. — Chercher la valeur actuelle d'une annuité de 8600'' , d^une durée de i ^3 ans^ le taux étant deZ\ pour 1 00 .
lo^r'^^rrr i,65iio37 logr»= 0,3797538
logr'" = 2,o3o8575
logr-»»= 7,9691425
Iog(i-r-'") = 9,9959360
logr ^ 8,5882717
log(j> — 1,4076643 loga = 3,9344985
logV = 5,3421628
valeur actuelle de i23 annuités de 8600'''.
Exemple XXXI. — Une somme de B/^ooooo^^ est empruntée au taux de ^\ pour 1009 pour être remboursée en 37 annuités. Quelle est la somme à payer chaque année?
« = ~ = -^— -— , loga = logV-log?.
logV = 6,9242793 (Ex. XXIX) logî» = 1 ,2373333
loga = 5,6869460
L'intérêt anuuel de 8400000''' étant, au taux de 4 f pour 100, de 399000'% il faudrait, pour rembourser le capital, payer, outre l'intérêt, 87346'%8o.
Exemple XXXII. — Quelle annuité ou revenu annuel, à verser pendant 64 ans 9 peut être racheté par looooo''', au taux de 5 {pour 100?
(Tab. 33) logr«'= 1,4^22146885
Cl logr-«* =8,5777853115
i-r-«*= 0,9621744448 log(i~ /-•*) = 9,9832538179
et = 0,0167461821 (Tab. Î57) log^ = 8,7201593034
logV = 5
loga =3,7369054855 a = 5456f%4o,
à peu près.
Ainsi toutes les questions qui ont rapport à ce sujet se réduisent à multiplier ou à diviser le nombre donné par 9, valeur actuelle des annuités de i^'', comme le prouvent les formules précédemment établies :
y =zao, a = — .
On emploie Tune ou l'autre de ces deux formules, suivant qu'il s'agit de chercher la valeur actuelle d'une annuité, ou l'annuité elle-même, qu'une somme donnée pourra racheter au bout d'un nombre donné d'années.
C'est le dernier cas qui se présente le plus souvent, surtout quand il s'agit d'emprunter des sommes considérables remboursables après un long espace de temps et à l'aide d'a/iniatés constantes^ dont chacune acquitte l'intérêt de l'année, en même temps qu'elle rembourse une partie du capital.
Ce mode de remboursement d'un capital offre un grand avantage à l'emprunteur, puisqu'il lui fournit les moyens d'éteindre sa dette chaque année sans aucun effort soudain ou extraordinaire et fait disparaître peu à peu le terme du remboursement de la somme totale, terme toujours fatal, nécessitant pour ainsi dire de nouveaux sacrifices.
On peut déterminer, pour rembourser plusieurs sommes différentes, une même rente annuelle, suivant le taux qui a été stipulé; ainsi, par exemple, pour Ioooo'^ empruntés au taux de 3 pour loo, on doit payer i I72^^3o; mais cette même annuité est nécessaire aussi pour rembourser goSs'Sao à 5 pour loo : c'est donc exactement la même chose d'emprunter 9o5a''",ao à 5 pour loo ou de rembourser loooo*' à 3 pour loo, sans aucun préjudice pour les contractants, puisque, dans les deux cas, i i7:i''',3o doivent être payés annuellement pendant le même nombre d'années.
On a souvent recours à cette méthode de transmutation de taux et de capitaux remboursables, surtout dans le cas d'obligations remboursables par loterie, pour lesquelles le capital restant fournit ce qu'on appelle la prime de remboursement.
§ XX. — Calcul des annuités au moyen des Tables de logabithmes.
L'emploi des logarithmes dans la plupart des calculs étant de la plus haute importance et souvent d'une absolue nécessité.
j'ai présenté dans les Tables (de i à 48) les logarithmes de -^
c* est-à-dire tes logarithmes de Tannuilé qui peut être éteinte par i'^ dans un nombre donné d'années» à 48 taux d'intérêt différents et pour un nombre quelconque d'années» depuis i jusqu'à looans.
Par conséquent, comme
a= ^ el V -— «9,
si l'on veut calculer l'annuité qu'une somme donnée rachètera dans un temps donné» on doit ajouter au logarithme du capital le logarithme tabulaire de (-] qui correspond au nombre
d'années et au taux donnés.
Si» au contraire» on demande de trouver la valeur actuelle d'une annuité quelconque» on peut ou bien soustraire du logarithme de l'annuité le logarithme tabulaire» ou bien ajouter au logarithme de l'annuité le complément du logarithme tabulaire.
Exemple XXXIII. — QueUe annuité ou retenu annuel^ d'une durée de 20 ans^ pourrait-on acheter au prix de 100000^', au taux de'ij pour 100?
loga = logV + log - = logV -H loga.
logV = 5,0000000 (Tab. 19) loga = 8,8473325
log3t=3,84733a5 a = 7036''', 10 :
c'est l'annuité demandée.
Exemple XXXIV. — Quelle est la valeur d'un titre de 2 1 ans sur une propriété dont le rapport net annuel est de 1 35o^S le taux de l'intérêt étant de 5 pour 100 ?
Iogi35o = 3,i3o3338 (Tab. 31) loga = 8,8920730
logV = 4,2382608 V = 17308'', 55.
Exemple XXXV. — Un capital de 56oooo'' a été converti en 28 annuités y à 3 pour 100 \ le propriétaire de ces annuités désire les vendre à la fin de la seconde année; combien faut-il les payer pour placer son argent à 5 jpour 100?
log 56o 000 — 5,7481880 (Tab. 15) logfl = 8,7266720
Ioga = 4,4748600 (Tab. 32) Jogfl= 8,8479648
logV= 5,6268952 V = 423540'% 80 :
c'est la valeur cherchée.
Ainsi, pour un capital de 56oooo'S il y aurait, k 3 pour 100, 1% annuités de ^^%(\b^\io à payer, et 26 de ces annuités valent, à 5 |^ pour 100, 423540*^,80.
§ XXI. — Interpolation des Tables.
Toutes les fois que Ton demande de calculer une annuité pour un taux qui n'est pas contenu dans les Tables, on peut le faire très-exactement, dans la plupart des cas, au moyen de rinterpolation.
En général, si Ton prenait seulement des parties proportionnelles, le logarithme de l'annuité serait trop faible, parce que les différences entre les logarithmes vont sans cesse en diminuant, à mesure que le taux ou le nombre des années augmente ; au contraire, le logarithme de la valeur actuelle serait trop grand.
Or lorsque* pour le même nombre d'années, on compare les logarithmes des annuités, en augmentant successivement le taux de | pour 100, on reconnaît que les difi*érences entre les logarithmes tabulaires successifs se succèdent, à très-peu de chose près, comme les termes d'une progression arithmétique; par conséquent, pour un accroissement audessous de \ pour 100, on peut considérer les différences entre
les logarithmes comme les termes d'une progression arithmétique.
La formule générale d'interpolation , pour les équations du second degré, devient, dans le cas d'arguments (*) équidistants,
r* =r H- /«^ Ar -4- — ^— — a»j,
7 exprimant le résultat correspondant au plus haut taux tabulaire contenu dans le taux donné, A^, A^/ les premières et secondes différences, et k étant le rapport entre la différence du plus haut taux tabulaire et les différences des arguments tabulaires (^ pour loo).
Exemple XXXVI. — Chercher l'annuité que rachètera I ooo ooo'' en nZ ans y à 4 -nr P^^^ * o^-
Le taux donné étant 4 Te == 4 g-»
et ainsi nous trouverons dans la Table, pour 23 ans^ au moyen d'une soustraction,
4f = 8,844o5i2 41 ou4j = 8,8493ii8 5a6o6 — Sao 41 =8,8545404 52286
par conséquent.
Ioga= 8,844o5i2 H- \ X 62606 -h -^^-^ 320.
{*) Tonte Table numérique se compose de deux suites de yaleurs correspondantes, chaque valeur dans l'une des suites ayant dans l'autre une valeur qui lui corres* pond ; la première suite forme ordinairement une progression arithmétique.
Le nombre d'après lequel une Table numérique est dressée, c'est-à-dire le nombre donné dont on cherche dans la Table le nombre correspondant, s'appelle Vargument, et le nombre ainsi trouvé prend le nom de résultat tabulaire,
(**) aV est négatif.
Ioga = 8,844o5ia -^263o3
c.-à-d. logfl = 8,8466855 (*) logioooooo = 6
log9c = 4.B466855 a=70256'%34.
Exemple XXXVII. — Chercher la valeur actuelle de S2 annuités de Iooooo'^ à 4 20 P^^^ ^^^'
Le taux est égal à
par conséquent,
et les Tables donnent
4 l = 8,7261506 87205 iï53
i 1 donc loga = 8,7174301-1- |x 87205 -h -i--^ X ii53
loga= 8,7244157 logiooo = 3
logV = 4,^755843 V=i886i'%85.
Exemple XXXVIII. — Chercher l'annuité qui peut être rachetée par 'jSSSoo^^ dans 5 1 a/w, à 4 \pour 100.
Le taux est
(*) Rigourea sèment irai.
4Î = 8,7107130 88661 ii56
loga = 8,7018469 H- t X 88661 -H Ali 1 ,56
logfl= 8,7018469 70929
loga= 8,7089490 logV= 5,8789811
loga = 4} ^879301 a = 387i9'%54.
Exemple XXXIX. — Chercher la valeur actuelle de 48 annuités ^«3457'% à 4 \ pour 100.
Le taux
41=8,6916882 ^ __ 41 = 8 ,7004849 87967 io85 41= 8,7091731 86882 dcDC loga =s 8,6916882
loga = 8,6975648
log3457 = 3,5386994 logV = 4,8411346
Notons, en passant, que, dans les quatre exemples précédents, les logarithmes obtenus au moyen des parties proportionnelles seraient trop faibles de 4o, 92 et 120.
§ XXII. — Amortissbmbnt et fonds d'amortissement (sikking fund]. De l'équation (8),
on déduit directement
Mais Yt représente l'intérêt annuel du capital Y; par conséquent, l'annuité qu'une sonime donnée rachètera dans n années peut être considérée comme composée de deux parties distinctes, dont la première serait spécialement consacrée au payement de l'intérêt annuel, et la deuxième, que j'exprime par 5, serait affectée au rachat graduel du capital.
Il est évident que, pour payer l'intérêt et le capital, l'annuité doit excéder l'intérêt annuel. La différence — entre
l'annuité et l'intérêt annuel a reçu le nom à^ amortissement. Dans les emprunts contractés par l'État, le remboursement du capital est effectué au moyen de fonds spéciaux, auxquels on a donné le nom de fonds d^ amortissement [sinking fund)^ parce qu'ils sont affectés à l'extinction de la dette publique {voir R. Price, Observations sur les payements réversibleSy t.I, p. 299).
On peut donc considérer l'annuité comme comprenant deux opérations distinctes :
i^ Le payement à la fin de chaque année des intérêts simples et annuels du capital emprunté;
2° Le remboursement graduel du capital.
Ainsi, si l'on déduit du montant d'une annuité la somme a payer chaque année pour l'intérêt simple du capital reçu» le surplus, placé successivement à intérêts composés et au taux fixé, doit donner une somme égale au capital, remboursable conformément aux conventions faites.
Si l'on exprime par s la somme annuelle affectée au fonds d'amortissement, ou l'amortissement annuel, dont le montant reproduira le capital, on aura
a = V/ + 5, et par suite, comme ^ = — 9 en remplaçant dans celte équa-
tion a par sa valeur a = 1 on trouvera
OU enfin
(lo) s =
Mais a exprime l'annuité et — exprime la valeur actuelle de
cette annuité a l'expiration de n années; par conséquent, l'amortissement, ou le fonds d'amortissement annuel, est égal à la valeur actuelle de la dernière annuité.
Exemple XL. — Un emprunt de ^5ooooo^\ remboursables au moyen de 73 annuités, est contracté au taux de 3 \pour 100. Quelle somme ^ outre l'intérêt^ faut-il payer annuellement pour racheter cet emprunt dans un temps donné?
donc
ce I
s—- et a = V- =Va;
r* cp
log 4500000 = 6,6532125
(Tab. 19) ]oga= 8,5808292
(Tab. 19) CMog/' = 8,9093545
Jogj = 4, 1433962 s = 13912,20.
Par conséquent, pour éteindre graduellement une dette de 45ooooo'% il est nécessaire de payer annuellement, outre l'intérêt qui est de i575oo'S une somme de 13912*^,20.
Exemple XLI. — Une personne achète, au prix de 50000*^ et pour 60 anSf la jouissance d'une certaine propriété ; elle désire connaître quelle somme elle doit mettre de côté chaque année^ à
3 pour loOf pour remplacer son capital à l'expiration du bail.
■•Il
mais
5oooo
donc
5oooo
JogSoooo = 4 1^9^97
(Tab. i5) et logy ou logfl= 8,55790
(Tab. 15) CMog/^ = 9,22977
logj = 2,48664 j=3o6'',65.
Le calcul de ramortissement nous fournit un excellent moyen de confirmer et de déterminer avec un soin plus scrupuleux la valeur d'une annuité.
L'intérêt annuel d'un capital pouvant toujours être obtenu avec l'exactitude désirable, il suffit, pour trouver la valeur de l'annuitét de calculer V amortissement, auquel on ajoute ensuite l'inlérêt. Or, l'amortissement étant r" fois plus petit que l'annuité, l'erreur sur le dernier chiffre de l'annuité sera r" fois moindre que l'erreur provenant du calcul direct.
Exemple XLIL — Afin de rembourser en 83 ans un capital de I 000000''' emprunté au taux de 4 jpour 100, quelle somme faut-il payer chaque année ?
Calcul direct :
loga=r logV-i- loga.
logV = 6 (Tab. 30) logfl = 8,6964123
loga = 4,6964123 a — 49706'', 40.
Calcul au moyen de l'amortisseinent ajouté à l'intérêt :
logj = loga — logr".
loga = 4,6964123 (Tab. 30) logr"= 1,7157738
logj = 2,98o6385
fr
s= 956,3976 (amorlissemenl) 48750 (intérêt annuel)
49706,3976 (annuité)
A mesure que le taux d'intérêt augmente, la valeur actuelle d'un certain nombre d'annuités de l'^
3 Mil
diminue; par conséquent» l'annuité
