NOMBRE ENTIER D*ANNÉES

Soient

t l'intérêt de i'"^ pour i an, ou la loo* partie du taux: r-=\ +t la somme de i^*" augmentée de son intérêt pour

I an, ou le rapport de raccroissement annuel du capital; n le nombre entier d'années pendant lesquelles il a été prêté; p\e capital; M le montant de ce capital à la fin du temps donné.

i'"^ s'élève dans i an à ^^^ et, puisque toute autre somme augmente dans i an suivant le même rapport, ces r^"^ deviendront r^, et de même r^ deviendra r' au bout de i an. Donc :

r est le moniant de i^' dans i an, /'' » » dans 2 ans,

/^ » » dans 3 ans.

En géDéral,

r" sera le montant de i'' dans n années,

et si l'on multiplie cette expression par un capital quelconque /?, elle deviendra

c'est le montant de ce capital au bout de n années.

Ainsi le montant d'un capital donné au bout d'un nombre d'années donné est égal au montant de i'*^ dans i an, élevé à la puissance marquée par ce nombre d'années et multiplié par le capital.

§ II. — Avantages présentés par l'emploi des logarithmes.

Quand le taux est exprimé par un nombre entier, 4 pour loo par exemple, le rapport de l'accroissement est exprimé par deux chiffres significatifs, dont l'un est l'unité, par exemple i,o4; mais, si le taux est un nombre fractionnaire, ou si le nombre d'années est considérable, le calcul est trës-fatigant et sujet à erreur. Dans de pareils cas, et surtout dans les problèmes suivants, l'usage des logarithmes est de la plus naute importance, et pour ainsi dire indispensable. En effet, à l'aide des logarithmes, toutes les multiplications compliquées sont ramenées à une seule et très-simple opération. La plupart des mathématiciens qui se sont occupés d'intérêts composés ont recommandé l'emploi des logarithmes comme la méthode la plus sûre, la plus facile et la plus expéditive pour résoudre les diverses questions que l'on rencontre.

§ III. — Formules et questions D'iNTÉRfiTS composés.

De la formule

on peut déduire les suivantes, pour trouver une quelconque

des quatre quantités, étant données les trois autres ; ainsi

Ton a :

Pour le capital,

(^1 P = -iy Iog/>=logM — logr";

Pour le taux de l'intérêt, (3) r=y/^, losr = '23}^^

(cette valeur, diminuée d*une unité, donne / qui, multiplié par loo, donne le taux);

Pour le nombre d'années,

L'emploi et l'application de ces formules seront pleinement expliqués par les exemples suivants :

Exemple I [montant, formule (i)]. — Que deviennent, au bout de 34 uns^ au taux de 4 7» 52'j']^'j5o placés à intérêts composés?

logM= log/> -4-logr" = log5277,5o-;- logr";

log 6277,50 = 3,7224282 (Tab. 29)(*) logr»* =0,6852371

logM= 4,4076653 M =25566",! 5.

Exemple II [montant, formule (i)]. — On demande de trouver ce que deviennent au bout de iS*] ans, au taux cfe 4 |» 4i S''^ placés à intérêts composés.

logM = \o^p + log r",

logM =log4i8 -4- logr*"-»- logr*';

C^) Le mot TabU ou Tab. signifie qu'on trouTe le lojarithme sans aucun calcul dans les Tables dressées à la fin de cet OuTrage.

log4i8= 2,6211763

(Tab. 28) logr»*« = 1,9635471

logr*' = 1,1192218

logM = 5,703945a M = 5o5;6o",8o.

Exemple III [capital, formule (2)]. — Quel est le capital qui ^ placé à intérêts composés ^ au taux de 5 ^, s^ élèvera à 4 8 1 7 000'' au bout de 93 ans ?

\ogp = logM — logr" = Iog48i70oo — logr".

log 48 17000 — - 6,6827766 (Tab. 33) logr»* = 2,0666557

log/? = 4)6i6i209 p = 4i3i6'',25.

Exemple IV [taux, formule (3)]. — Supposé que l'on retire 5000'"^ pour le placement de 1 335'^ pendant 3o ans^ quel est le taux d'intérêt?

loffM — log» loçSooo — lo^ï335

logr= -^î ^- = —

log5ooo = 3,6989700 logi335 = 3, 1254813

log/^ = 0,5734887 logr= 0,0191163

Le taux = (1 ,o45 — 1) x 100 = 4 î-

Exemple V [temps, formule (4)]. — Pendant combien d'années doivent être placés 3000*^^, au taux de [\ pour 100, à intérêts composés, pour s^ élever à 102 358*^^?

lopM — \o\ip log I02358 — logSooo

"" ïôgr "" log 1,04

Iogioa358 = 5,0101218 logSooo = 3,477iîii3

log 102358 ~ log3ooo = i,533ooo5

logi,o4 = 0,01703334 i,533ooo5

~ 0,01703334 /i s= 90 ans.

Exemple VI ( temps). — Deux sommes sont placées en même temps à intérêts composés^ la prem^iére de 3 8 000*^ au taux de 4 \pour 100, la deuxième de QgSgS'*" au taux de 3 \pour 100. On demande de déterminer au bout de quel temps les deux sommes seront égales .

logggSpS — log 38000 log 1 ,045 — log I ,o35 '

par conséquent

log99398= 4,9973776 log 38000= 4,5797836

log 99398 — log38ooo = 0,4175940

(Tab. 54) log 1, 045 =: 0,01911629 (Tab. 54) logi,o35 — o,oi494o35

log 1,045 — logi,o35 = 0,00417594

// = 100 ans.

§ IV. — Temps requis pour doubler un capital.

Exemple VII. — Combien de temps un capital quelconque mettra» t-il pour se doubler à 3 pour 1 00 par an^ à intérêts composés?

Nous avons [formule (4)]

^^ logM — iogp logr '

mais ici M = 2p; par conséquent,

logap — log/? loga 1og2 o,3oio3oo ,».

logr logr logi,o3 0,0128372^ '*

n = 23^449^ ^"s ou ^3 ^^^ ^l 1^4 jours.

Si Ton demandait de trouver seulement le temps approximatif nécessaire pour doubler un capital à un taux quelconque, on pourrait le faire facilement en divisant le nombre 70 par

le taux. Ainsi, dans Texemple précédent, /i=^ = 23,333.

En outre, si l'on demandait de trouver approximativement à 3 jours près le même temps, pour tous les taux compris entre zéro et 10 pour 100, on pourrait diviser 69,3i5 ans par le taux d'intérêt et ajouter au quotient —^ de ce nombre, c'est-à-dire o,346. Ainsi, pour le taux de 3 pour 100,

comme plus haut.

§ y. — Montant d'un capital quelconque a intérêts composés, l'intérêt étant payable chaque année, tous les six mois, tous

LES trois mois, ETC.

Jusqu'ici nous avons toujours supposé l'intérêt convertible en capital à la fin de chaque année ; considérons maintenant le cas où il doit être converti k fois par an, à k intervalles égaux et en k payements, chaque payement étant la jième partie de l'intérêt annuel.

(•) logii = log'3 — log*r

log«2= 9,4786098

(Tab. 57) log*r= 8,1084711 logn = 1,3701387

n = 33,4^98 = a3 ans, 164 jours.

Il ne faut pas oublier qu'en finances le jour est indivisible.

Le procédé sera encore le même que dans le cas des années entières, pourvu que le nombre n exprime toujours le nombre total des payements dans le temps donné» et / l'intérêt de i'' d'un payement à l'autre.

Voyons d'abord ce que devient» à l'expiration d'un an, un capital de loo^'» au taux annuel de 4 pour loo» payable en portions égales et à des intervalles de temps égaux.

Si l'intérêt est payable chaque année, le capital i^'^ s'élèvera a la fin d'une année à i'So4.

Si l'intérêt est payable chaque semestre et par moitié, c'est-à-dire a 2 pour 100 pour 6 mois, nous trouvons qu'à l'expiration du premier semestre chaque franc deviendra 1^^,02; cette somme, au bout du second semestre, deviendra 1,02, et par conséquent le montant du capital 100'^ sera

100 X 1,02'= io4'So4.

Si l'intérêt est payable par trimestre, c'est-à-dire est de I pour 100 pour 3 mois, le capital 100^'' deviendra à la fin de l'année

100X1,01*=: io4'',o6o4oi.

Si l'intérêt est payable tous les mois, c'est-à-dire est de \ pour 100 pour 1 mois, le capital 1 00'' s'élèvera, à l'expiration des la mois, à

ICO (14-

( I 4- 2 — ) = io4'',074i55.

Si enfin l'intérêt doit être converti à chaque instant, car nous pouvons prendre des intervalles de plus en plus petits et par conséquent infiniment petits, le montant atteindra à la fin de l'année son maximum 104*081077.

Donc, le taux nominal étant de 4 pour 100 par an, le taux vrai sera :

Pour des payements semestriels 4 ,04

» > trimestriels 4 ,060401

» }) mensuels 4 ,074155

» » continus 4 ,081077

Ainsi nous voyons que le montant du capital augmente avec le nombre des intervalles, et atteint son maximum quand l'intérêt doit être converti à chaque instant; par conséquent, les avantages sont d'autant plus grands que le nombre des payements annuels est plus considérable.

§ Yl. — Application de la formule uênêralb aux intébêts conybr-