VITESSE, UNE CHARGE OU UNE VAPORISATION QUELCONQUES

S L De la vitesse du piston avec une vaporisation et une charge données*

Après avoir exposé d'une manière succincte , dans le premier chapitre de cet ouvrage , la manière dont nous concevons le mode d'action de la vapeur dans les machines , nous allons passer maintenant au développement complet de la théorie dont nous n'avons encore donné qu'une esquisse fort imparfaite , et à la solution des divers problèmes qui peuvent se présenter dans le travail ou dans la construction des machines à vapeur.

Pour embrasser immédiatement le mode d'action le plus complet de la vapeur , nous supposerons une machine travaillant par détente , avec une pression quelconque dans la chaudière, et avec condensation. Et , pour passer ensuite aux machines où Ton n'emploie pas la détente , ou bien à celles où l'on n'emploie pas la condensation , il suffira de faire , dans les équations générales , les suppressions ou les substitutions convenables.

Nous rappellerons avant tout que dans le § VI du chap. II , nous avons démontré que , pendant toute son action dans la machine , la vapeur reste continuellement à l'état de vapeur au maximum de densité pour sa température ; et nous en avons tiré cette déduction , que quand la vapeur passe , dans une machine , d'un certain volume connu M f à un autre volume également connu M , et que sa pression varie en conséquence, et passe de la pression connue p 1 à une autre pression inconnue p 9 cette pression p peut se déterminer par la formule suivante :

dans laquelle la constante n a , selon le cas , les valeurs indiquées § IV , chap. IL Gela posé , d'après ce que l'on sait déjà de la théorie proposée , la relation que nous cherchons entre les diverses données du problème se déduira de deux conditions générales : la première exprimant que la machine est arrivée au mouvement

i$8 CHAPITRE QUATRIÈME.

uniforme , et , par conséquent , que la quantité de travail appliquée par la puissance est égale à la quantité d'action développée par la résistance ; la seconde , qu'il y a nécessairement égalité entre la masse de vapeur dépensée par le cylindre et la masse de vapeur produite dans la chaudière.

Soient P la pression absolue de la vapeur dans la chaudière, et P' la pression moyenne qu'aura cette vapeur pendant son arrivée dans le cylindre, pression qui sera toujours moindre que P , excepté dans un cas particulier que nous traiterons plus loin ; nous disons la pression moyenne, parce que, durant son admission dans le cylindre , la vapeur subira une certaine dilatation qui fera varier sa pression , celle-ci étant plus considérable au moment de l'ouverture du régulateur pour l'admission de la vapeur, qu'au moment de la clôture du même régulateur pour le commencement de la détente proprement dite. La vapeur pénétrera donc dans le cylindre à la pression P f , et elle continuera d'affluer avec cette pression et de produire un effet correspondant, jusqu'à ce que la communication entre la chaudière et le cylindre soit interceptée. Alors , il cessera d'arriver de la vapeur nouvelle dans le cylindre , mais celle qui y est déjà parvenue commencera à se dilater pendant le reste de la course du piston , en produisant , par sa détente , une certaine quantité de travail , qui s'ajoutera à celle déjà produite pendant la période d'admission de la vapeur.

P étant la pression de la vapeur dans la chaudière , et P" la pression qu'elle prendra à son arrivée dans le cylindre, avant la détente, soit * la pression de cette vapeur en un point quelconque de la détente. Soient , en même temps , l la longueur totale de la course du piston , t 1 la course d'admission , ou portion de course parcourue pendant l'admission de la vapeur dans le cylindre , et a la portion qui correspond au point où la vapeur a acquis la pression ir. Enfin, soient encore a l'aire du piston, et c la liberté du cylindre , c'est-à-dire , l'espace libre qui existe à chaque bout du cylindre , au-delà de la portion parcourue par le piston , et quf se remplit nécessairement de vapeur à chaque course , cet espace , y compris les passées aboutissans , étant supposé représenté par une longueur équivalente du cylindre.

Si l'on prend le piston au moment où la longueur de course parcourue .est * , et la pression * , on verra que si le piston parcourt , en outre , un espace élémentaire dx , le travail élémentaire produit dans ce mouvement sera *ad\ - car d\ étant l'espace parcouru , et * la pression par unité de surface , «a sera la pression exercée sur tourte la surface du piston , et, par conséquent, noX* sera le travail correspondant. V

Mais , d'un autre côté , puisque , dans l'instant que nous considérons , l'espace parcouru par le piston est exprimé par x , il s'ensuit que , dans ce même instant , le volumœ a(?+ c ) i occupé par la vapeur avant la détente , est devenu a(* -f-c). Donc, d'après\ l'équation (c) précédemment indiquée , il existe entre les deux pressions correspoa- \ dantes P* et *, la relation

Or , en multipliant les deux membres de celte équation par adx , on en déduit

vadx = a[F-\- c)(n-f- P ! ) — p nadx.

Cette expression donnera donc la quantité de travail élémentaire produit par la détente , pendant que le piston parcourt l'espace dx j et si l'on en prend l'intégrale entre les limites F et / , on aura l'effet total produit par la détente de la vapeur , depuis le moment où elle est interceptée jusqu'à la fin de la course , savoir :

«(V+c){n + V)los^-na(l-P),

expression où le logarithme indiqué est un logarithme hyperbolique.

Cette quantité exprimant le travail effectué pendant la portion de course durant laquelle il y a eu détente, en y ajoutant l'effet P'a/', produit pendant la partie antérieure F de cette course , ou avant le commencement de la détente , on aura pour le travail total développé par la vapeur durant toute la course du piston ,

«(r + cJtn + FJ^ + logiii)-^.

Mais la machine étant supposée parvenue au mouvement uniforme , le travail développé par le moteur doit être égal à celui qui est développé par la résistance. En représentant par R la pression totale exercée sur l'unité de surface du piston , en vertu de celte résistance , ou plutôt en vertu de toutes les résistances diverses qui ont lieu dans la machine , le travail qu'elle aura développé pendant une course aura pour expression

aR/.

Donc, on doit avoir la relation

«(P + c)(« + p.)(^ c + log^)-«aJ=aIU, (A)

qui est la première relation générale entre les diverses données du problème.

Cette équation exprimant que le travail développé par la puissance se retrouve en entier dans l'effet produit, on remarquera que, pour qu'elle ait lieu, il n'est pas nécessaire que le mouvement de la machine soit strictement uniforme. Il peut également être composé d'oscillations égales, partant chaque fois d'une vitesse nulle pour revenir à une vitesse nulle , pourvu que les oscillations successives aient lieu en temps égaux , et que les changemens de vitesse se fassent par degrés insensibles , de manière à éviter la perte de force vive.

On doit observer également que si, dans cette expression, on fait F = l 9 ce qui

revient à supposer que la machine travaille sans détente, l'équation se réduit à P f ==R : c'est-à-dire que, dans ce cas, la pression de la vapeur dans le cylindre sera égale à la pression de la résistance contre le piston ; et c'est , en effet , ce qu'on doit reconnaître à priori , car la seule force motrice appliquée par la vapeur , consistant alors dans sa pression constante sur le piston , il faut, que cette force soit égale à la résistance , puisque sans cela le mouvement ne pourrait rester uniforme.

Nous venons d'obtenir la première relation générale entre les données et les inconnues du problème. Maintenant il s'agit d'obtenir une seconde relation résultant de l'égalité entre la production et la dépense de vapeur. Pour cela , si l'on exprime par S le volume d'eau vaporisé par la chaudière dans l'unité de temps , et transmis au cylindre, ce volume, en arrivant dans le cylindre, transformé en vapeur à la pression P 1 , y deviendra, d'après la relation déjà énoncée (a) ,

mS

Ce sera donc le volume de vapeur , à la pression P ! , fourni par la chaudière dans l'unité de temps, ou dans une minute, par exemple. D'autre part, a (f + c) étant le volume de cette vapeur qui se dépense par coups de piston , s'il y a K coups de piston par minute , la dépense par minute sera

Ka(P-f c).

Mais si l'on exprime par v la vitesse du piston par minute , on aura aussi v = K/ j

ce qui donne K==y". Donc, la dépense ci- dessus sera

va(V -f-c)

Donc, puisqu'il y a égalité entre la production et la dépense de vapeur, on aura l'équation

«*S r+c , nx

Ïï+F^™ l • (B)

qui est la seconde relation générale entre les données et les inconnues du problème. Par conséquent, en éliminant P f entre les deux équations ( A ) et (B ) , on aura , pour la relation définitive cherchée,

l 4-o Dans cette équation le logarithme log ~V est un logarithme hyperbolique. Gomme

on sait que ces logarithmes se déduisent de ceux des tables , en multipliant ( ces der-

ûiers par le nombre constant 2.302385 , ou approximativement par le nombre 2.305 ,

on pourrait remplacer le terme log "T par le suivant 2.303 log -^-f—i dans lequel

le logarithme serait alors un logarithme ordinaire. Mais, comme il existe, dans plusieurs ouvrages , des tables de logarithmes hyperboliques , et que , d'ailleurs , nous donnerons plus loin une table qui dispensera de toute recherche à cet égard, nous ne ferons ici aucun changement à la formule.

Cette équation est moins simple que celle à laquelle on parviendrait dans la même recherche, en supposant que , pendant toute son action dans la machine , la vapeur conserve sa température. Mais , cette dernière supposition , quoique ne produisant souvent que peu de différence dans les résultats définitifs du calcul , n'est cependant pas réellement exacte ; puisqu'il est incontestable que , dans les machines ordinaires , la vapeur change de pression , et que les expériences dont nous avons parlé plus haut prouvent qu'elle change de température d'une manière correspondante. La dernière formule que nous venons de présenter a donc l'avantage de tenir compte, dans le calcul, de cette circonstance importante, et, par conséquent, de conduire à une plus grande exactitude dans les applications. Du reste, en détruisant dans l'équation (1) l'effet du changement de température, on obtient sans difficulté les formules qui conviennent à cette supposition.

En effet, nous avons vu (chap. II, § VI) que, pour passer d'un cas à l'autre, il faut, dans les formules déjà obtenues, faire

n = et m=qP. 9

en exprimant par q le volume spécifique de la vapeur sous la pression P. Alors l'équation de la vitesse devient

.^(.iL+iogi+iV

aRU+c 1 ^ *r+c/'

et celle-ci, pour le cas des machines sans détente, ou pour P = l 9 se réduit à la suivante :

Rien n'est donc plus facile que de passer d'une hypothèse à l'autre.

La quantité R que contient l'équation ( I ) est la pression résistante qui a lieu sur l'unité de surface du piston dans le mouvement. Mais cette pression résistante se compose évidemment de trois parties, savoir: la résistance provenant de la charge proprement dite, que nous appellerons r; celle provenant du frottement propre de la machine , que nous exprimerons par f -f- sr , en appelant f le frottement de la machine non chargée , et * l'accroissement que subit ce frottement par unité de la charge r; et, enfin , la pression qui peut subsister sur la face du piston opposée à

ÎG2 » CHAPITRE QUATRIÈME.

l'arrivée de la vapeur, que nous représentons par p, cette dernière quantité p exprimant la pression atmosphérique, quand la machine est sans condensation, ou, seulement, la pression de condensation dans le cylindre, quand la machine est à condensation. Les quantités r, f, p et * sont d'ailleurs rapportées, ainsi que R et P, à l'unité de surface du piston.

Dans les calculs relatifs aux machines locomotives , nous introduirons de plus trois termes: le premier pour exprimer la résistance de l'air contre le train en mouvement , force qui , croissant en raison du carré de la vitesse , ne pourrait être négligée sans erreur; le deuxième pour représenter la résistance offerte par la machine elle-même dans le transport de son propre poids sur les rails; et le troisième, enfin, pour tenir compte de la force dépensée par la machiné à l'alimentation de son feu , au moyen de la tuyère, suivant le mode en usage dans ces machines. Mais, comme ces diverses circonstances ne se rencontrent pas en général dans les machines stationnâmes, nous les omettrons en ce moment, et Ton pourra les introduire dans les cas particuliers où cela pourrait devenir nécessaire.

D'après ce qui vient d'être dit, la résistance R peut être remplacée par

R — (i + Or+p + z:

Nous substituerons donc cette valeur dans celle de t?, et nous ferons en même temps, pour simplifier ,

expression qui , dans le cas de P = / , c'est-à-dire dans le cas des machines sans détente , se réduit simplement au rapport

Alors la valeur de v deviendra

S mk

a n-j-R ou

Et si l'on remarque que la quantité

n'est autre chose que le volume absolu occupé par la vapeur en contact avec le liquide sous la pression R, on reconnaîtra que, pour avoir la vitesse cherchée, il faut calculer le volume de vapeur qui correspond au volume d'eau S , supposé immédiatement transformé en vapeur sous une pression égale à la résistance R, diviser

ensuite ce volume par Taire a du piston, et, enfin, multiplier le quotient j*ar la quantité k , dont nous avons donné il y a un instant l'expression développée.

La formule (1 ) contient la relation générale entre toutes les données du problème; et c'est cçllç qui nous servira, à résoudre successivement les différentes questions que nous nous sommes proposées. On remarquera seulement que l'homogénéité de la formule exige que les dimensions de la machine, ou les quantités a, /, /', soient exprimées en mêmes unités que le volume S de l'eau vaporisée, et que les pressions par unité de surface P , r et p soient également rapportées à la même unité que S : circonstance que nous mentionnons parce que, d'après les usages adoptés , ces diverses quantités sont ordinairement rapportées à des unités différentes , selon ce qui semble plus commode dans la pratique pour exprimer chacune d'elles.

II faut encore ajouter que, d'après le mode même du raisonnement, il doit être entendu que la quantité S , qui entre dans l'équation , est la vaporisation effective de la machine ; c'est-à-dire qu'elle représente le volume d'eau qui est réellement admis & l'état de vapeur dans le cylindre , et qui y a effet sur le piston. Si donc, par un mode de construction inhérent ou non au système de la machine , il se trouve qu'une portion de la vapeur produite s'échappe ou s'écoule sans agir sur le piston , cette portion ne doit pas être considérée comme comprise dans la quantité S , et ainsi doit être déduite avant tout calcul.

La formule que nous venons d'obtenir donnera la vitesse du piston pour une vaporisation et une charge r quelconques, lorsqu'on connaîtra les dimensions et les données diverses de la machine contenues dans l'équation. Cette formule est générale pour toute espèce de machine à vapeur rotative ou à un mouvement continu. Si Ton emploie la détente , il suffira de mettre pour t 1 la valeur correspondante au point de la course où la vapeur commence à être interceptée ; si la machine n'est pas à détente , il suffira de faire l } = /. Si elle est à condensation , il faudra mettre pour p la pression de condensation; et enfin, si elle n'est pas à condensation, on mettra pour p la pression atmosphérique. Néanmoins , avant de faire ces déductions relatives aux différens systèmes de machines, nous allons continuer à chercher les formules générales pour tous les problèmes que nous nous sommes proposés.

Nous ferons remarquer cependant que la vitesse du piston , dans une machine donnée , est totalement indépendante de la pression à laquelle la vapeur se forme dans la chaudière , et qu'elle dépend essentiellement , au contraire , de la vaporisation S de la chaudière par unité de temps , et de la résistance totale [(1 +*) r +P~l~/3 opposée au mouvement du piston.

$ II. Delà charge de la machine pour une vaporisation et une vitesse données»

La relation que nous venons d'obtenir fait connaître , réciproquement , la résistance que peut mettre en mouvement une machine connue , avec une vaporisation et k une vitesse dciermî&ées. En effet , il suffit d'en tirer la valeur de r ; ou plutôt , comme r

n'est que la résistance par unité de surface du piston , et qu'il convient d'avoir la résistance entière , on prendra immédiatement la valeur de a X r, savoir :

tnkS a . . t -« ,^«

D'après la forme de cette expression , il semble au premier aperçu , qu'en y fesant t> = , c'est-à-dire , en supposant la vitesse nulle , on aurait pour résultat une charge infinie ; mais, en examinant plus attentivement la formule, on reconnaît bientôt qu'elle ne donne nullement ce résultat.

En effet, si l'on a v = 0, il faut aussi qu'on ait S =0; car S est la quantité de vapeur qui traverse effectivement le cylindre dans une unité de temps, et une quantité quelconque de vapeur ne pourrait traverser le cylindre sans pousser le piston et sans créer, par conséquent, une vitesse quelconque pour la machine. Si l'on suppose la vitesse égale à zéro , il faut donc nécessairement qu'on ait en même temps S = 0. Mais , en fesant à la fois v = et S = , on trouve

et non pas ar = oo , comme il le paraissait d'abord.

Ainsi, dans ce cas, la formule se réduit à la forme indéterminée; mais il faut observer que les formules exposées ne donnent les effets de la machine qu'après que le mouvement est parvenu 5 l'uniformité. Or, nous verrons bientôt que, pour une vaporisation donnée , la vitesse uniforme ne peut jamais être moindre que

puisque c'est celle qui correspond au passage de la vapeur dans le cylindre, à son état de plus grande densité, et qu'à toute autre densité, celte vapeur occuperait un volume plus considérable, et , par conséquent , ne pourrait traverser le cylindre dans le même temp3 , sans produire plus de vitesse. Toute supposition de vitesse moindre que celle-ci est donc inadmissible dans le problème, comme étant incompatible avec letat d'uniformité de mouvement, pour lequel seul on calcule les effets des machines; et c'est pourquoi la formule se réduit à la forme indéterminée , c'est-à-dire ne donne pas de solution pour le cas de v = 0.

§ III. De la vaporisation nécessaire pour produire une vitesse voulue avec une

charge donnée.

Pour trouver la vaporisation dont doit être capable ou que doit produire une machine, pour mettre en mouvement une certaine résistance r, aune vitesse connue v 9

on tirera de la même équation ( 1 ) la valeur de S ,

Cette équation donnera la quantité d'eau que la machine doit vaporiser et transmettre au cylindre par minute. Mais , comme la quantité S représente ici la vaporisation effective , dont doit disposer la machine , il est entendu que si la construction habituelle des machines dont on s'occupe , donne lieu à une certaine perte de vapeur, soit par les soupapes de sûreté, soit autrement, on en tiendra compte avec autant d'approximation que possible , et l'on ajoutera cette perte à la quantité S déduite de l'équation précédente , pour en conclure la vaporisation brute qui doit avoir lieu dans la chaudière.

Or il existe, dans les machines à vapeur, un effet qui a été fort peu étudié jusqu'ici , et qui a cependant une importance suffisante pour qu'on doive en tenir compte dans le calcul. Nous voulons parler de l'enlèvement de l'eau à l'état liquide et mêlée avec la vapeur. Cet effet est très-considérable dans les locomotives , puisque nous avons trouvé, par expérience, qu'il s'y élève moyennement à 0.25 de la vaporisation brute observée dans la chaudière. Nous en avons expliqué les causes relativement à ces machines. Elles tiennent à l'exiguïté de la chaudière et surtout de la place réservée à la vapeur, à la grandeur des passages réservés à la vapeur, à la pression ou à la densité considérable sous laquelle elle se forme , à la rapidité excessive de la vaporisation, et enfin aux oscillations continuelles de la machine.

Ces causes n'existent pas toutes dans les machines stationnaires ; mais quelquesunes y subsistent encore d'une manière très-appréciable, et nous avons eu occasion de le reconnaître dans toutes les expériences que nous avons faites sur ces machines. C'est donc une circonstance qui appelle l'attention particulière des expérimentateurs, et nous ne prétendons nullement décider la question en ce moment; mais, à défaut d'observations plus précises, nous dirons que nous croyons pouvoir évaluer moyennement cette perte , dans les machines stationnaires , à 0.05 de la vaporisation observée; de sorte que la vaporisation effective moyenne serait les 0.95 de la vaporisation brute. Nous exceptons cependant les machines de Cornivall, dans lesquelles , comme nous le verrons plus loin , le réchauffement considérable du cylindre vaporise l'eau de suspension , pendant le travail même du piston.

S IV. Des diverses expressions de P effet utile.

i°. L'effet utile produit par la machine dans l'unité de temps, ou dans une minute , à la vitesse v , est évidemment arv , puisque ar est la charge mise en moument, et que v est l'espace parcouru par le piston, ou par la charge qu'il porte pendant une unité de temps. Par conséquent, en multipliant les deux membres

de l'équation (2) par v, on aura pour l'effet utile produit par la machine avec la vaporisation S, et à la vitesse v 9

mkS av , . . .

E.u. = arc = q- T - T -p(n + f + 0. (4)

On peut encore l'exprimer en fonction de la charge , en multipliant par ar les deux membres de l'équation (1). Alors on aura pour l'effet utile que peut produire la machine avec la vaporisation S et la charge fixée r ,

On remarquera que , dans une machine donnée , cet effet utile ne dépend pas de la pression & laquelle la vapeur se forme dans la chaudière , puisque la quantité P n'entre pas dans les expressions ci-dessus ; mais qu'il dépend essentiellement de la vaporisation S effectuée par la chaudière dans l'unité de temps.

2\ Si l'on veut avoir la force en chevaux dont est capable la machine, & la vitesse v , ou quand on la charge d'une résistance r, il faut d'abord spécifier ce qu'on entend par force d'un cheval.

On estime en Angleterre qu'un cheval peut exercer un effort de 163 livres anglaises, à la vitesse de 200 pieds par minute, qu'on regarde comme la plus avantageuse pour le tirage; de sorte que l'effet utile produit par un cheval, par minute , est de 33000 livres élevées & 1 pied par minute. Ces nombres , rapportés aux mesures françaises , donneraient pour le cheval un effort de 76 kilogrammes à la vitesse de 60 mètres par minute , ou un effet utile de 4560 kilogrammes élevés à 1 mètre par minute, et il serait certainement très-avantageux d'avoir la même mesure, dans les deux pays , pour exprimer une même chose ; mais l'usage a fait prévaloir dans les ateliers une mesure un peu différente. On estime en France qu'un cheval peut exercer un effort de 75 kilogrammes , à la vitesse de 1 mètre par seconde ou de 60 mètres par minute; ce qui donne, pour l'effet utile correspondant, 4500 kilogrammes élevés à 1 mètre par minute. Nous adopterons donc ce nombre, qui, du reste, lie diffère que de^ de celui admis en Angleterre, c'est-à-dire qui ne donne qu'une différence de un cheval un quart environ sur cent chevaux de force.

Ces effets utiles de 33000 livres .élevées à un pied , ou de 4500 kilogrammes élevés à 1 mètre , par minute , sont désignés dans la pratique par le nom de force d'un cheval par minute; mais nous ferons observer qu'Us seraient, avec beaucoup plus de raison, désignés sous le nom de effet d'un cheval par minute, puisque ce sont des effets et non des forces , ou plus simplement encore sous le nom de effet d'un cheval, puisque la minute , étant l'unité de temps , se trouve naturellement sous-entendue dans le langage. Ce mode d'expression ferait disparaître une ambiguïté qui nuit beaucoup à l'intelligence de l'effet des machines , et ne produirait qu'un changement

bien léger dans les habitudes de la pratique. Comme un certain nombre de fois l'effet d'un cheval est égal à l'effet d'autant de chevaux, on dirait qu'une machine est de l'effet de tant de chevaux, au lieu de dire qu'elle est de la force de tant de chevaux. C'est le mode que nous suivrons dans le cours de cet ouvrage ; et si nous employons accidentellement l'expression de force de cheval , ce sera uniquement pour nous faire mieux comprendre des praticiens.

On se sert quelquefois aussi , dans les ateliers , de l'expression de force de cheval par heure. Cet effet utile n'est autre chose évidemment que 60 fois le précédent. Il a l'inconvénient de changer l'unité de temps , et , par conséquent , d'introduire une nouvelle difficulté dans l'intelligence des résultats. C'est pourquoi nous n'en ferons jamais usage d'une manière directe. Si, cependant, pour faire la comparaison de nos résultats avec d'autres connus , nous employons cette expression , elle devra être en^ tendue dans ce sens : que la force d'un cheval , par heure , est égale à 60 fois l'effet utile d'un cheval par minute , ou à 60 fois ce que nous appelons effet d'un cheval.

Cela posé , pour exprimer l'effet utile d'une machine, en chevaux, il suffit évidemment de rapporter l'effet utile par minute , déjà obtenu dans l'équation (4), à la nouvelle mesure que l'on ■ vient de choisir , et , par conséquent , de diviser l'effet produit arv par le nombre qui représente l'effet d'un cheval par minute.

L-effet utile, en chevaux , dont est capable la machine , avec la vaporisation S , et ^ la vitesse v ou chargée de la résistance r , sera donc ,

arv

E. u. ch. = âflOQQ i en mesures anglaises ; ( JJ )

arv

E.q.ch. = kqq , en mesures françaises.

3°. Nous venons , dans les deux questions précédentes , d'exprimer l'effet de la machine d'après l'effet total qu'elle est capable. <te développer , sans égard à sa dépense de consommation. Maintenant , nous allons , au contraire , faire entrer cette consommation dans la considération de l'effet produit.

L'effet utile que nous avons obtenu dans l'équation (4) est celui qui est produit par le volume S d'eau transformé en vapeur; et , comme ce volume d'eau S est vaporisé dans une unité de temps , le résultat est , comme nous l'avons dit , l'effet utile produit dans l'unité de temps , ou dans une minute, par la machine. Mais, si l'on suppose que pendant l'unité de temps , il se consomme N livres ou N kilogrammes de combustible, il est clair que l'effet utile produit par chaque livre ou chaque kilogramme de combustible sera la N ièine . partie de l'effet ci-dessus.

Donc , l'effet produit par la consommation de 1 unité de combustible sera

arv

E.v,llb.co.ss -jsr-, en mesures anglaises; (6)

__ arv » «

E. u. 1 k. *. =b -=ç* , en mesures françaises.

Il suffira , pour appliquer cette formule , de connaître la quantité de combustible qui se consomme par minute , dans le foyer , c'est-à-dire , la quantité de combustible nécessaire pour produire la vaporisation S dans la chaudière. Cette donnée pourra être déterminée par une expérience directe sur la chaudière elle-même , ou par analogie avec d'autres chaudières d une disposition semblable ; mais , on devra tenir compte , avec grand soin , et de la qualité du combustible employé , et de la construction propre du foyer et de la chaudière.

4°. Nous avons vu plus haut que l'effet que nous avons indiqué par Eu. , est celui qui est dû au volume d'eau S , effectivement transformé en vapeur. Si donc , nous voulons avoir l'effet utile qui sera produit par chaque unité du volume S , il est clair qu'il suffira de diviser l'effet total E.u., par le nombre d'unités qu'il y a dans S. Ainsi, Ton aura pour l'effet utile dû à la vaporisation effective de 1 pied cube ou de 1 mètre cube d'eau dans la machine,

E.u. ip. e. = — , en mesures anglaises; (7)

E.u.im. e. = -^- , en mesures françaises.

5°. On a obtenu, il y a un instant , l'effet utile produit par livre ou par kilogramme de combustible. Il sera facile , par conséquent , de connaître le nombre de livres ou de kilogrammes de combustible qui représente un effet utile quelconque , comme , par exemple, l'effet d'un cheval par minute. En effet, il suffira d'une simple proportion, et l'on trouvera pour la quantité, en poids, de combustible nécessaire pour produire l'effet d'un cheval par minute ,

33000N Q.co.pp.lch.= , en mesures anglaises; (8)

Q.co.pr.ich.= , en mesures françaises.

Ces expressions donneront la quantité de combustible nécessaire pour produire Teffet utile indiqué dans les ateliers sous le nom de force d'un cheval par minute; et , par conséquent , pour produire l'effet utile désigné sous le nom de force d'un cheval par heure, qui est égal à 60 fois le premier, il faudra 60 fois la quantité de combustible obtenue par l'équation (8).

Nous revenons sur ce point, parce que pour faire connaître l'économie du travail des machines à vapeur, on a coutume d'exprimer qu'elles dépensent tant de livres ou tant de kilogrammes de combustible par cheval par heure , et non par cheval par minute. On a adopté ce mode d'expression , parce qu'on a trouvé que la dépense de combustible par cheval par minute serait une quantité trop petite pour pouvoir s'énoncer facilement. Mais il est évident qu'on arriverait au même résultat , en disant que la dépense de combustible de la machine est de tant de livres ou tant de kilo-

grammes par effet de 60 chevaux par minute, ou, si Ton veut, par effet de 100 chevaux ; et ce mode d'expression serait à coup sûr beaucoup plus clair : car , lors* qu'on dit qu'une machine consomme tant de livres de combustible par cheval par heure , l'esprit est toujours en doute si les mots par heure s'appliquent au temps pendant lequel s'exerce la force d'un cheval , ou au temps pendant lequel on doit brûler le combustible. Pour éviter cette ambiguïté , et donner cependant des résultats comparables à ceux obtenus dans les ateliers , nous donnerons , quand il y aura lieu dans cet ouvrage , la dépense de combustible des machines par effet de 60 chevaux , et cette expression coïncidera avec celle qu'on indique sous le nom de force de cheval par heure dans la pratique.

6°. On trouvera également , par une simple proportion , que la quantité ou le volume d'eau qu'il est nécessaire de vaporiser pour produire le même effet d'un cheval par minute, sera

Q.e.pr.lch. = en mesures anglaises: (9)

*■ art? ' v '

Q.e.pr.ich. — en mesures françaises.

arv

La quantité d'eau par cheval par heure serait 60 fois aussi grande.

7*. On peut encore demander quel effet en chevaux sera produit , soit par 1 livre , soit par i kilogramme de combustible; et c'est évidemment

E.u.ch.pr.iib.co.= 55000 n ' en mesures anglaises; (10)

arv E.u.ch.pr.lkco. = TkâaîJ» en mesures françaises.

8°. Enfin, l'effet en chevaux produit par la vaporisation de 1 pied cube ou de 1 mètre cube d'eau , sera de même

E. u. ch. pr. i p.c. = 55QQO S • eïl mesures ^glaises i ( * 1 )

E.u.ch.pr.lm.6. = ^ , en mesures françaises.

En mettant donc dans ces diverses équations, pour arv, sa valeur déterminée par la formule (4) ou (ibis), on en déduira immédiatement la solution numérique des problèmes cherchés.

ARTICLE III

DU MAXIMUM D'EFFET UTILE, AVEC UNE DÉTENTE OU UNE COURSE D' ADMISSION DONNÉE.

§ I. De la vitesse du maximum d'effet utile.

Les problèmes que nous venons de résoudre Font été dans toute leur généralité, c'est-à-dire en supposant que la machine met en mouvement une charge quelconque à une vitesse quelconque, avec la seule condition que cette charge et cette vitesse soient compatibles avec la vaporisation et les autres données de la machine. En construisant une machine pour un objet déterminé, ou pour mouvoir une certaine charge à une vitesse donnée, on ne doit jamais rétablir de manière qu'en accomplissant cette tâche, qui doit être sa tache régulière, elle exerce le plus grand effort dont elle est capable; car alors il ne lui resterait plus de force en réserve pour parer aux circonstances fortuites, aux accroissemens de charge ou de frottement, etc., qui peuvent se présenter dans le service. D'autre part, le maximum d'effort de la machine , avec une détente donnée , correspondant , comme nous le verrons dans un instant, à son maximum d'effet utile , il s'ensuit qu'on ne peut espérer d'obtenir régulièrement de la machine son maximum d'effet utile , et qu'elle ne peut être construite dans cette prévision. Cependant il est nécessaire, quand une machine est construite ou à construire , de connaître quelle est la vitesse à laquelle elle produira ce maximum d'effet utile , et quels seront ses effets maxima ; car ce n'est qu'en connaissant d'abord la limite possible des efforts de la machine , et faisant ensuite la part des circonstances fortuites, que l'on peut fixer d'une manière convenable la charge régulière qu'il est possible de lui donner , et se former une idée précise du surplus d'effort qu'elle sera capable d'exercer quand la nécessité s'en présentera.

Quelle est donc cette vitesse ou cette charge la plus avantageuse pour le travail , et quels sont les effets qui auront lieu , sous les différens rapports que nous avons envisagés plus haut, lorsque la machine sera effectivement placée dans ces circonstances avantageuses? Voilà ce qu'il nous reste maintenant à déterminer, d'abord en supposant la détente de la machine fixée à priori, ensuite en faisant varier cette détente elle-même pour obtenir encore un accroissement d'effet.

Pour connaître la vitesse qui correspond au plus grand effet utile , il suffit d'examiner l'expression de l'effet utile produit par la machine avec une vaporisation donnée , et sous une vitesse quelconque, savoir (équ. 4)

mkS av , , ...

Comme la vitesse n'y entre que dans les termes négatifs, on reconnaît à la première vue que , plus cette vitesse sera petite , plus , pour une détente donnée , ou

DU MAXIMUM D'EFFET UTILE. È7

pour une valeur constante de k, l'effet utile de la machine sera considérable. D\m autre côté , en se reportant à l'expression de la vitesse de la machine sous une charge donnée, avant qu'on y ait mis pour P f sa valeur, savoir (équ, B),

ffiS l

on voit que la vitesse sera la plus petite possible sans perte de vapeur , quand F sera le plus grand ; et comme P 1 , qui est la pression de la vapeur introduite dans le cylindre, ne peut en aucun cas excéder P, qui est la pression dans la chaudière, la condition du minimum de vitesse ou du maximum d'effet utile sera donnée par Féquation P' = P , ou

* - ^+py -jqp ■<«)

Cette vitesse est celle du maximum d'effet utile , pour la vaporisation donnée S , qui figure dans l'équation; mais, on remarquera qu'en la substituant dans l'équation (4), on a , pour l'effet utile correspondant de la machine ,

1 + A fl + c n + P y

et Ton voit, dans cette expression, que l'effet utile qui est le plus grand possible pour la vaporisation donnée S , continue néanmoins de croître encore avec les accroissemens de la quantité S ; c'est-à-dire que , si la vaporisation donnée n'est pas la plus grande que puisse produire la chaudière, on pourra encore, en poussant le feu avec plus d'intensité , obtenir une augmentation d'effet. Il est donc entendu que ce n'est qu'en donnant dans cette équation à S la plus grande valeur possible , qu'on aura le maximum d'effet utile dont est réellement capable la machine. En exprimant par q le volume de la vapeur sous la pression P, rapporté au volume d'un même poids d'eau , on peut , d'après l'équation (a) mettre l'équation (12) sous la forme

tf = ii. L-. Uïbis)

ni De cette manière, on évitera de calculer le terme , , la quantité q étant donnée

par les tables du chap. II , dans lesquelles on la relèvera avec plus d'exactitude

m que par sa valeur approximative q = . Cette observation s'appliquera de

#f ™| • et

même à toutes les formules suivantes, où les quantités m et n resteraient réunies

sous la forme — r— .

 l'égard de la formule qui précède , nous ferons remarquer que, mathématiquement parlant, la pression P ! ne pourra jamais être tout-à-fait égale à P ; parce que, comme il existe , entre la chaudière et le cylindre, des conduits que la vapeur doit traverser, et que le passage de ces conduits forme un obstacle au libre mouvement de la vapeur , il doit nécessairement exister du côté de la chaudière un petit surplus de pression équivalent à la résistance de l'obstacle dont il est question , sans quoi le mouvement de la vapeur ne pourrait avoir lieu. Ce surplus de pression du côté de la chaudière empêchera donc que P' ne puisse devenir mathématiquement égal à P, et , par conséquent , la vitesse minimum de la machine sera toujours un peu plus grande que V. En même temps , comme la pression P f indique la charge de la machine, on voit que cette charge sera, au contraire, un peu moindre que celle qui correspond à P' = P. Ainsi , le maximum d'effet , qui suppose cette condition , ne se réalisera jamais entièrement ; mais , comme la différence entre P f et P , dans le cas dont il s'agit, c'est-à-dire la moindre différence possible entre ces deux pressions, est toujours fort petite en comparaison de la pression dans la chaudière , nous ne chercherons pas à introduire cette circonstance dans les calculs , qui en deviendraient plus compliqués sans être sensiblement plus exacts»

Pour revenir à la recherche qui nous occupe, le maximum d'effet utile sera donné par la condition P ! = P , ou

t mS l

Cest donc la vitesse à laquelle on doit faire travailler la machine , quand on veut en obtenir le plus grand effet possible; et l'équation P f = P montre réciproquement que , quand cette vitesse aura lieu , la vapeur arrivera dans le cylindre à pleine pression , c'estrà-dire avec la même pression qu'elle avait dans la chaudière.

Il est nécessaire de faire remarquer aussi que cette vitesse du maximum d'effet , ou de pleine pression dans le cylindre , ne sera pas la même pour toutes les machines , et qu'au contraire , toutes choses égales d'ailleurs , elle variera en raison directe de la vaporisation S de la chaudière et en raison inverse de l'aire du cylindre. Elle pourra donc se trouver , dans une machine , moitié ou double de ce qu'elle serait dans une autre ; et cela fait voir qu'on aurait tort de croire que , parce que le piston des machines stationnaires ne dépasse pas , en général, une certaine vitesse de 0.80 à l.bO mètre par seconde , ou de 1 50 à 300 pieds anglais par minute , la vapeur de la chaudière parvient nécessairement dans le cylindre sans changer de pression. Si l'on suppose que , dans une certaine machine , le maximum d'effet se produise à la vitesse de 200 pieds par minute , il ne sera pas difficile d'en établir une autre où le même effet aura lieu à une vitesse fort différente. Il suffira évidemment pour cela de conserver la même chaudière et de diminuer ou d'augmenter le diamètre du cylindre ; ou bien de conserver , au contraire , celui-ci en changeant les dimensions de la chaudière.

DU MAXIMUM D'EFFET UTILE. 173

Bien plus , il suffira de laisser languir le feu , ce qui changera la vaporisation , et la vitesse de pleine pression variera en même temps.

Il n'y a donc d'autre moyen de connaître la vitesse du maximum d'effet utile ou de pleine pression d'une machine , que de la calculer directement pour cette ma* chine ; et c'est l'objet de la formule que nous avons donnée plus haut. Cette formule est d'ailleurs d'une simplicité remarquable et n'exige de connaissance expérimentale que celle de la production de vapeur dont est capable la chaudière. Quant à cette production de vapeur , on peut la déterminer par une expérience spéciale , ou la déduire de la surface de chauffe de la chaudière et de la qualité du combustible employé , en se fondant sur quelque expérience à ce sujet , faite , non sur la chaudière de la machine elle-même , mais sur quelque autre chaudière de construction semblable. Ainsi , la vitesse du maximum d'effet utile d'une machine peut toujours être connue à priori.

§ II De la charge du maximum d'effet utile.

Pour connaître la résistance utile que la machine est susceptible de mettre en mouvement à sa vitesse de maximum d'effet ci-dessus , il suffit , dans l'expression générale de la résistance , ou dans l'équation (2), de mettre pour v la valeur que nous venons de trouver; et l'on obtient pour la charge correspondante r<,

En examinant la même équation (2) ci-dessus, qui donne la résistance dans le cas général , on voit que cette résistance est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus petite. La résistance que nous venons d'obtenir comme correspondant à la vitesse du maximum d'effet utile ou à la moindre vitesse sans perte de vapeur , est donc en même temps la plus grande résistance dont est capable la machine avec la détente donnée. Ainsi , le plus grand effet utile s'obtiendra en fesant marcher la machine à sa moindre vitesse pour la vaporisation donnée , et avec son maximum de charge , ce qui est d'ailleurs évident à priori.

On peut aussi trouver directement cette charge convenable à la production du maximum d'effet utile. Il suffit pour cela de considérer l'expression de l'effet utile en fonction de la charge, c'est-à-dire d'examiner l'équation (ibis). On y voit que le maximum d'effet , pour une détente donnée , correspond au maximum de la fraction

mrkS n + (l +*) r +J , + /°

qui, pour une vaporisation déterminée, ne contient de variable que r; et le maximum de cette fraction sera évidemment donné par le maximum de la résistance r. On retombe donc dans la même solution que ci-dessus.

On remarquera, du reste, que celte charge maximum de la machine fixée par l'équation (15) est tout-à-fait indépendante de la vaporisation de la machine, mais résulte expressément de la pression P dans la chaudière.

S III. Mode fourni par la recherche précédente, pour déterminer le frottement des -machines non chargées, leur frottement additionnel par unité de la charge, *t leur charge totale, lorsque celle-ci n'est pas connue par un calcul direct.

La relation que nous avons obtenue plus haut peut servir à déterminer le frottement de la machine fonctionnant sans charge et son frottement additionnel par unité de la charge. En effet, on doit remarquer que, puisqu'il y a une charge maximum correspondante à chaque pression dans la chaudière , on peut faire , de toute charge quelconque, une charge maximum pour la machine, en baissant suffisamment la pression. Supposons donc qu'on ne donne aucune charge à la machine, mais qu'on baisse de plus en plus la pression dans la chaudière , au moyen de la soupape de sûreté , jusqu'à ce que tout ce que peut faire la machine soit de se maintenir ellemême en mouvement en surmontant son propre frottement. Avec celle pression réduite , le frottement seul de la machine deviendra pour elle une charge maximum. Soit donc P" cette pression déterminée par l'expérience; l'équation précédente (i3) aura lieu en y mettant P" au lieu de P, et en y fesant en même temps r = 0. Donc, on aura

et celte équation déterminera d'abord la quantité /", ou le frottement de la machine sans charge.

Pour avoir ensuite la quantité j, on se servira d'un moyen analogue. Sans rien changer à la pression ordinaire de la machine, on augmentera sa charge de plus en plus , jusqu'à ce qu'on voie qu'elle s'arrêterait si on lui imposait une résistance plus considérable. Alors on sera parvenu à la charge maximum correspondante à la pression de la chaudière. Si donc on appelle r" cette charge déterminée par l'expérience, P étant toujours la pression dans la chaudière, on voit que l'équation (13) donnera

qui déterminera la quantité <?, ou le frottement additionnel que subit la machine par unité de la charge qui lui est imposée.

Si la charge de la machine n'était pas susceptible d'augmentation, au lieu d'accroître cette charge autant que possible , comme nous venons de le dire , on baisserait au contraire la pression dans la chaudière, jusqu'à mettre cette pression en

BU MAXIMUM D'EFFET UTILE. 175

équilibre avec la charge ordinaire de la machine, et ce serait la valeur de P ainsi trouvée qu'il faudrait mettre dans l'équation , comme dans le cas où Ton fait fonctionner la machine sans aucune charge.

Les quantités f et 9 étant ainsi déterminées, le frottement de la machine avec une charge quelconque r sera

Ces moyens sont ceux qui nous ont servi à déterminer le frottement des machines locomotives isolées ou suivies de leur charge, et nous les proposons de même à l'égard des machines à vapeur de toute espèce.

Enfin, le même procédé peut encore servir à évaluer la charge totale de la machine quand celle-ci n'est pas susceptible d'être déterminée par des calculs directs , comme cela arrive très-souvent. Il suffira pour cela de chercher quelle est la moindre pression de vapeur qui peut maintenir la machine en mouvement avec sa charge. En effet, soit P" 1 cette pression absolue; il s'ensuit que, dans ce cas, la machine travaillera avec son maximum décharge pour cette pression. Donc, l'équation (13) aura Keu en y mettant pour P cette pression , c'est-à-dire qu'on aura

P4. c (1 ^ S ) r'-f-p +/"= — I- k (Ti-f P w ) — n.

Comme tout est connu dans le second membre , on aura sans difficulté la valeur de la quantité

qui est la charge totale de la machine, c'est-à-dire sa charge, y compris les frottemens et la pression de la vapeur non condensée sur la face opposée du piston. On verra plus loin que nous avons employé ce moyen pour déterminer la charge totale d'une machine à haute pression et d'une machine d'Evans; nous pouvons donc le proposer pour toute autre machine. Il a. sur le frein dynamométrique, l'avantage de n exiger ni appareil, ni montage, ni dépenses; et l'on remarquera qu'il revient précisément à peser la charge dans une balance , puisque le grand balancier de la machine n'est autre chose qu'un fléau de balance ordinaire, dont l'une des extrémité? supporte la pression de la vapeur comme un poids placé sur le plateau formé par le piston , et dont l'autre extrémité supporte le poids de la charge. Enfin, l'opération que nous avons indiquée pour arriver à l'équilible est précisément celle qui se pratique dans les arts pour peser les objets dont le poids est inconnu.

§ IV. De la vaporisation de la machine.

La vaporisation que doit avoir une machine , pour mouvoir une charge donmée r 1 , ou pour prendre une vitesse voulue v } , en produisant son maximum d'effet

Utile , ou en travaillant de la manière la plus économique , avec les conditions prescrites, sera donnée par l'équation (3), en y faisant la substitution de r ! et v\ au lieu des valeurs générales r et f; ou, plus simplement , on la tirera directement de l'équation (12 bis), ce qui revient au même et donne

s-LLîjlLI*. ( u)

On remarquera qu'en substituant r' et t? 1 au lieu de r et v dans l'équation ( 5 ) , on aurait

mk

mais, en y mettant pour r sa valeur, telle qu'elle est donnée dans l'équation (13), on retombe sur la formule précédente (14).

La vaporisation donnée par ces formules est la moindre que puisse avoir la machine pour mettre en mouvement la charge donnée r f , ou pour travailler à la vitesse prescrite v\ Cela résulte évidemment de ce que l'effet at*v' est le plus grand qu'on puisse obtenir de la vaporisation S. Cette recherche fait donc connaître le moyen de faire exécuter à la machine une tâche déterminée, de la manière la plus économique ; car la moindre vaporisation correspond évidemment à la moindre dépense de combustible.

§ V. De Veffet utile maximum de la machine.

Le maximum d'effet utile que peut produire la machine dans l'unité de temps , avec une détente donnée, sera connu par la formule générale (4), en y introduisant la vitesse convenable à la production de cet effet, ou se déduira du produit des deux équations ( 1 2 bis) , (13), savoir:

On remarquera que cet effet utile maximum ne dépend nullement de l'aire du cylindre, ni de la vitesse ou du nombre des coups de piston par minute. Si Ton suppose une machine fonctionnant sans détente , ce qui revient à faire P — l et

réduit l'expression k à la valeur . , , on trouve même que l'effet utile maximum

ne dépend plus de la longueur de la course du piston ; car la quantité y, > , qui

subsiste encore dans l'équation, n'exprime qu'un rapport, celui du volume parcouru par le piston au volume réel du cylindre. D'autre part, les quantités fet $ sont •constantes dans une machine donnée, et varient très-peu entre les machines d'un même système ; les quantités n et q sont des nombres constans , comme on Fa

DU MAXIMUM D'EFFET UTILE. 177

vu ; enfin , la pression de condensation p tient au mode de condensation employé , et surtout à la quantité et k la température de l'eau appliquée à produire la condensation , ce qui fait qu'elle est une constante , dans des conditions données. On peut donc dire que l'effet utile maximum d'une machine ne dépend essentiellement que de deux choses : la force de vaporisation S de la chaudière, et la pression P sous laquelle se forme la vapeur. Ce résultat doit d'ailleurs paraître évident à priori , car ce sont là les seules causes réelles de puissance. Quant aux dimensions du cylindre et de la course , elles ne sont que des moyens de transmettre cette puissance sous une forme ou sous une autre , mais sans pouvoir la créer ou la changer au fond ; et , quant à la vitesse du piston , elle ne doit effectivement influer en aucune façon sur l'effet utile maximum , puisque, pour une production donnée de vapeur , cette vitesse peut prendre toutes les valeurs, selon le diamètre qu'on donne au cylindre.

L'effet en chevaux , de la machine , quand elle exerce son plus grand effort , ou qu'elle produit son maximum d'effet utile , pour une vaporisation donnée , sera , comme précédemment,

E.u.m.ch. = -— — , en mesures anglaises; (16)

-, ar ! t? f ,

E.u.m.ch. === —— , en mesures françaises ;

et, enfin, les autres modifications de l'expression de l'effet utile seront connues par les formules données pour le cas général , en y remplaçant seulement les quantités r et v par leur valeur actuelle r f et v\

ARTICLE IV

DU MAXIMUM ABSOLU D'EFFET UTILS

§ I. Détente qui produit le maximum absolu d'effet utile.

Les recherches qui précèdent suffisent pour les machines où la détente est fixée à priori ; elles suffisent aussi pour les machines sans détente , parce que celles-ci- retombent dans le cas des précédentes, et qu'il suffit alors de faire dans les formules

P = l 9 ce qui donne, en même temps, k = # , . Mais il y a une recherche de

plus dont nous devons nous occuper, pour les machines dans lesquelles on est libre de faire varier la détente à volonté.

Nous avons vu que , pour une détente donnée , le mode le plus avantageux de faire travailler la machine est de lui donner sa charge maximum que nous avons fait eonnaitre plus haut, et qui peut se calculer à priori jar l'équation (13). D'après cela,

178 CHAPITRE QCÀTWèMI.

pour chaque détente , on sait quelle est la charge à préférer ; mais , il s'agit maintenant , entre les diverses détentes qu'on peut donner à la machine , et chacune accompagnée de sa charge maximum correspondante , de trouver celle qui procurera le plus grand effet utile définitif.

Pour cela , il faut recourir à l'équation (15), qui donne l'effet utile maximum de la machine , avec une détente F , savoir , en y développant la quantité k ,

et chercher , parmi toutes les valeurs qu'on peut donner à F , celle qui rendra cet effet utile un maximum ; or , en égalant à zéro le coefficient différentiel de cette expression, pris par rapport à /*, on trouve, pour la condition du maximum cherché,

Cette équation peut s'écrire comme il suit

et sous cette forme , on reconnaît que le second membre n'est autre chose que le rapport des volumes spécifiques de la vapeur formée sous les pressions respectives P et (p-J-/*).

p Par conséquent , pour connaitre la valeur du rapport -j , qui produit dans la machine le maximum absolu d'effet utile , il faut chercher , soit au moyen de la forroule (a) , chap. II , § IV, soit au moyen des tables données chap. II, § III , le volume spécifique de la vapeur formée sous la pression P de la chaudière , puis ensuite le volume spécifique de la vapeur supposée formée directement sous une

pression indiquée par la somme (p + /")j et le premier volume divisé par le second

F fera connaitre la valeur cherchée de y , c'est-à-dire , le rapport qui doit exister entre

la portion V de la course parcourue avant le commencement de la détente , et la course totale du piston, pour produire le maximum d'effet utile»

On voit aussi qu'en supposant n = dans cette relation , elle se réduirait à la suivante :

Par conséquent , si l'on négligeait , dans le calcul des effets de la machine , l'influence

p du changement de température de la vapeur, la valeur du rapport -y , qui convient à

DU MAXIMUM ABSOLU DEFFET UTILE. 479

b production du maximum absolu d'effet utile , serait alors donnée simplement pur le rapport entre les deux quantités (p -f-/*) et P. On peut donc regarder cette dernière

équation comme une approximation de la précédente.

p En introduisant la valeur de y donnée par l'équation (17), dans les formules de

l'article III , on aura toutes les déterminations relatives à l'effet utile maximum que peut produire la machine avec cette détente; et puisque celle-ci est elle-même la détente la plus favorable pour la machine , il s'ensuit que ces déterminations seront celles qui correspondent au maximum absolu de l'effet utile qu'est capable de produire cette machine.

La seule remarque que nous ferons au sujet de cette recherche, c'est que la charge convenable à la production du maximum absolu d'effet utile, dans les machines à détente, n'est pas la charge maximum dont est capable la machine. En effet , si l'on se reporte à l'équation (13), qui représente la charge maximum avec une détente donnée, savoir , en y développant la quantité k,

et que l'on cherche , par la différentiation 4 la valeur de / T qui en fera un maximum » «on trouvera que cette condition est exprimée par F = / , et non par

Par conséquent , si Ton veut que la machine mette en mouvement la plus grande charge dont elle est capable , il faut la faire travailler sans détente ; mais cette charge n'est pas celle qui produit le maximum absolu d'effet utile. Celle-ci sera donnée par la solution de l'équation (4 bis), introduite dans la formule (13), comme on vient de le voir plus haut.

§ IL Table pour la solution numérique des formules présentées dans les divers

articles précédens.

Comme les formules que nous venons d'obtenir , et celles qui vont suivre , contiennent des logarithmes hyperboliques , dont l'usage est peu commode , nous joignons ici une Table qui donnera sans calcul les élémens principaux des équations , et simplifiera considérablement toutes les recherches. Nous répéterons, néanmoins, que , si l'on n'avait pas cette Table sous les yeux , on y suppléerait facilement en cherchant , dans les Tables de logarithmes ordinaires , le logarithme du nombre

, et multipliant ce logarithme par le nombre 2.303 , ce qui donnerait son loga-

rithme hyperbolique ; alors , les formules n'offriraient plus aucune difficulté.

Dans la table qui suit, nous avons supposé la liberté du cylindre c = 0.05 J, comme cela a lieu dans les machines rotatives ou à volant , auxquelles nous nous bornons en ce moment. Dans les machines à simple effet , ou sans volant , dont nous parlerons plus loin , la liberté du cylindre , passages aboutissans compris , se fait souvent de 0.1 de la course , ou même plus , parce que le mouvement du piston n'étant pas limité par une manivelle , il y a plus de danger qu'il ne vienne à frapper le fond du cylindre.

TABLE pour la solution numérique . des formules (Machines rotatives).

FOlTIOlf

VALEUR

PORTION

VALEUR

PORTION

VALEUR